摔碎的砝码还能用吗 孙子定理 抽屉原则.doc

数学美欣赏第8讲罗氏几何(下)4 罗氏平面上的三种圆曲线1. 三种线束和三种圆曲线定义 在一平面上的下列三种直线的集均称为线束：（1）过同一点的一切直线的集（称为有心线束，称为其中心）；（2）垂直于同一直线的一切直线的集（称为分散线束称为其底线）； （3）直线及平行于此直线于方向的一切直线的集（称为平行线束射线称为该平行线束的方向射线） 定义 共面二直线、上的各一点、，若使截此二直线所成的同侧二内角合同，则线段称为、的等倾割线，、称为、的对应点 定理 一直线上的一点在共面的另一直线（不过）上必有一对应点B当、不相交时，的对应点唯一定义 线束中一直线上的已知点（当线束有中心时，不取此中心）及在线束的每一异于的直线上的对应点的集称为一个圆曲线（当线束有中心时，对的对称点亦命其属此集）线束的每一直线均叫此圆曲线的轴点叫此圆曲线的起点定理 有心线束上的点（不是中心）及其对应点以及关于的对称点组成的圆曲线是一圆，以为圆心，以为半径定义 分散线束上的点及其对应点组成的圆曲线称为等距线或超圆.定理 在分散线束的一直线上给定一点，则以为起点的圆曲线上的各点到底线的距离相等定义 平行线束上的点及其所有对应点组成的圆曲线称为极限圆或拟圆其中射线为此平行线束之方向射线.定理 平行线束（方向射线为）上的点及其对应点组成的圆曲线是当沿射线无限远离时的极限位置设直线于点射线, 则圆曲线是以为底线、为起点的等距线当沿射线无限远离时的极限位置. 定理 在一平面上，三角形的三边的中垂线属于同一线束2.圆曲线的性质定理 圆曲线有下列性质（圆、等距线、极限圆的共性）：（1）它上面的每一点均可作起点； （2）它的每一轴都是这曲线的对称轴；（3）它和任何直线的交点不多于两个（圆曲线退化为直线的情形除外即除去圆曲线是等距线且其起点在底线上的情况此时圆曲线即底线上的点的集）；（4）经过它的一点且垂直于过此点的轴的直线和它没有第二个公共点（圆曲线退化为直线的情况除外） 极限圆的一个特有性质所有的极限圆都合同注 圆与等距线不具有此性质.摔碎的砝码还能用吗？1624年，法国数学家德梅齐里亚克(Meziriac，15811638)提出并解决了下面的砝码问题.一位商人有一个磅的砝码，不慎跌落在地摔成四块. 称得每块都是整磅数，且可以用它来称磅到磅的任何整磅数的重物，问这四块砝码碎块各重多少?天平的砝码盘只能放一些砝码，而称重盘上可以重物砝码混放. 例如，可以用磅与磅的两块砝码称出磅的重物. 为此只需把磅砝码放在砝码盘上，把重物与磅砝码放在称重盘上，如果天平平衡，则知重物是磅.一般地，我们有命题 设有个砝码, , , ，从中恰当地选取一些砝码放入两个盘上，可以称出, , , , 磅的重物. 今再取一新砝码磅，则用, , , , 可以称出, , , , 磅的重物.例如, 我们有个砝码磅, 磅, 显然可以用它们称出磅, 磅和磅的重物. 再取一新砝码磅, 则用, , 可以称出从磅, 磅, 磅, , 磅的重物. 具体称法如下.重量(磅)砝码组合上述命题的证明（自学） 若重物的重量磅，则用, , , 去称即可；若，先把放在砝码盘上，把重物放在称重盘上(重物比较轻)，这时, 重物已抵消了砝码上的一部分重量, 砝码还剩磅重, . 把这部分视为磅的重物，可通过, , , 的适当摆放而使天平平衡；若，则把放入砝码盘之后(重物比较重)，砝码抵消了重物上的一部分重量磅，重物还剩磅重，可以通过适当摆放, , , 而被抵消，从而使天平平衡.现在回到磅的砝码摔成四块的问题. 因为磅的砝码可以称出磅的重物，由上述命题，取磅的砝码，则用磅和磅两个砝码可称出磅, 磅, 磅, 磅的重物.重量(磅)砝码组合仍上述命题，再取磅的砝码，则用, , 可以称出磅, 磅, 磅, , 磅的重物；重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合再用上述命题，取磅，则用, , , 可以称出磅, 磅, 磅, 磅的重物.重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合综上，若这四块砝码碎块分别重磅，磅，磅和磅，则可以用它们称出磅的重物.中国剩余定理（孙子定理） 孙子算经成书于公元三世纪前后，原始作者已不可考. 魏晋时期的著名数学家刘徽曾为孙子算经作注. 书中有两则“妇孺皆知而乐道之”的名题，一题称为“物不知其数”，一题则是“韩信乱点兵”.通过对“物不知其数”的解决, 人们总结出了在世界数学史上影响深远的“中国剩余定理”或称“孙子定理”，该定理比内容相同的高斯定理早问世1500年左右. 南宋大数学家秦九韶(约公元12021261)在他的巨著数书九章中又提出一个脍炙人口的“余米推数”问题，并总结出“大衍求一术”. 秦九韶, 字道古，四川安岳人，曾在川、皖等地为官，1260年贬至广东梅州，次年卒于任所. 他博学多才，史称秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以至营建等事，无不精究”，“戏、球、马、弓、剑莫不能知”. 在南宋兵荒马乱的年代，他能够潜心研究数学，实为难能可贵. 二十多万字的数书九章是他在12441247年为其母亲守孝期间写成的. 该书立论新颖，构思风趣，是我国乃至世界的数学瑰宝. 美国数学史家萨顿(GSarton, 18841956)说，秦九韶是“他的民族，他的时代，以致一切时期最伟大的数学家之一.” (1)物不知其数与中国剩余定理题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?” 宋朝时有歌谣口诀称：三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇,七度上元重相会,寒食清明便可知.其中的上元指正月十五元宵节, 从正月十五至寒食清明共天. 明朝程大位的歌诀则唱道：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.这两首歌谣比较晦涩难懂, 但它们实际上给出了上题的解法：用乘三三数之的余数，用乘五五数之的余数，用乘七七数之的余数，再把三个乘积相加，减去的若干倍，即可得所求的数的最小值. 即:即所求的物件数目的最小值. 其实, 上面得到的和也都是满足原题条件的数, 但在满足条件的正数中, 是最小的. 上面用到的实为、的乘积: . 一般地, 若已求出一数，它满足所说的条件, 即被除余，被除余，被除余，则(是整数)仍然满足条件，所以有第四句“除百零五便得知”. 这里的“除”字是删除，即减去的意思.上述解法的理论根据是如下的孙子定理. 但该定理用到了一些初等数论的概念和性质，我们先简述如下. 定义1 设和是整数. 若存在整数, 使得, 则称整除, 记作. 例如, , 所以. 定义2 若用自然数除整数和所得的余数相同, 则称和关于模同余, 记作().例如, 用除和, 余数都是, 所以().又如, 用除, 余数为; 用除, 余数为, 所以和关于模不同余. 命题1(同余的判定) 设和是整数, 是自然数, 则().例如, , , 所以(). 事实上, 用除和, 余数都是, 因而().又如, , 不整除, 所以和关于模不同余. 事实上, 用除, 余数为; 用除, 余数为, 故和关于模不同余.命题2 (同余的性质) 设, , 是整数, 是自然数, 则1. (), (反身性);2. 若(), 则()(对称性);3. 若(), (), 则()(传递性). 定义3 若两个整数和的最大公因数, 则称和互素(互质). 例如, , 所以和互素. 又如, , 所以和不互素. 定义4 设为正整数, 和为任意整数. 若(), 则称是()的数论倒数. 例如, (), 所以是()的数论倒数.命题3 整数()有数论倒数.若有数论倒数(), 则整数()是的数论倒数(). 这说明, 的数论倒数的集合.例如, , 故()有数论倒数. 事实上, 是()的一个数论倒数, 且的数论倒数的集合. 又如, , 故()没有数论倒数. 数论倒数的求法不再讲述, 但在简单的情形, 我们可以通过试验几个数值而求得.中国剩余定理(孙子定理) 设, , , 是两两互素的正整数, , (, , , ), 则下列一次同余方程组, , , 的解为.其中(, , , ).实际上, 求物件数即求解一次同余方程组, , .此时，孙子定理中的; , , ; ，, , 它们两两互素. , , , . 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以. 于是, 所求的解答为.但, 所以. 即(是整数). 当取时, 我们得到了最小正整数解. 当为其它整数时, 也是解. 例如, 时, , 它显然也是解. 用孙子算经的这种算法，还可解决下面的韩信点兵问题. (2)韩信乱点兵 据司马迁史记：“淮阴侯列传第三十二”与“韩信卢绾（音晚）列传第三十三”载，“韩信者，淮阴人也. 始为布衣时，贫无行，不得推择为吏，又不能治生商贾，常从人寄食饮，人多厌之.”足见其贫贱之身世，被人欺凌，受过“胯下之辱”. 后发奋习武，熟读兵书，成为统率刘邦全军的元帅，助佐刘邦得天下. 但刘邦过河拆桥，欲车裂韩信，韩信留下“狡兔死，走狗烹；飞鸟尽，良弓藏; 敌国破，谋臣亡”的千古哀怨! 帝王之中，有几个不是无赖?! 假设韩信自幼立志于数学，也许会对人类做出更大的贡献. 下面是孙子算经上所载的“韩信乱点兵”的名题.韩信有兵一队，若列为五行纵队，则末行一人; 成六行纵队，则末行五人; 成七行纵队，则末行四人; 成十一行纵队，则末行十人. 求兵数. 军师答曰：“人或人加若干倍的人”(这说明答案不唯一). 韩信答曰：“多多益善!”求士兵人数实际上是求下列一次同余方程组的解:, , , .此时, 孙子定理中的; , , , ; ，, , , 它们两两互素. , , , , . 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以. 于是, 所求的解答为即(是整数). 当取时, 我们得到了最小正整数解. 即韩信至少有兵人. 当为其它整数时, 也是解. 例如, 时, , 易知它也是解. (3)余米推数 题曰：“米铺被盗，去米一般三箩，皆适满，不记细数. 今左壁箩剩一合(音葛)，中壁箩剩一升四合，右壁箩剩一合. 后获贼系甲乙丙三人. 甲称当夜摸得马杓(音彪)，在左壁箩舀入布袋；乙称踢着木履，在中壁箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩舀入袋. 将归食用，日久不知数. 索到三器，马杓容满一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合，欲知所失米数，计赃结断，三盗各几何?” “合”读音“葛”，是一种体积单位. 十勺为一合，十合为一升. 用现代汉语来讲，题文为：一米店被盗. 米店原有三个装满米的箩，三个箩容量相等. 米被偷后，左边箩里剩下一合米，中间箩里剩下一升四合米，右边箩里剩下一合米. 后把甲乙丙三个小偷抓获. 甲供认当夜摸到一只马杓，他从左边箩里把米舀入他的布袋；乙供认踢着了一只木鞋，就用木鞋从中间箩里把米舀入他的布袋；丙供认他摸到一只漆碗，他用此碗把右边箩里的米舀入他的布袋. 三个小偷把盗得的米背回各自的家中食用. 他们也糊里糊涂，不知当初偷来了多少米. 后经判官查明, 那只马杓可容米一升九合，木鞋可容米一升七合，漆碗可容米一升二合. 现在要按每个小偷盗去的大米数量分别给予他们应得之惩处. 问: 三人各偷了多少米? 设是箩的容量，以合为单位，欲求的实际上是下面的一次同余方程组的解:, , .此时, 孙子定理中的; , , ; ，, , 它们两两互素. , , , . 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以. 于是, 所求的解答为.即(是整数). 当取时, 我们得到了箩的容量的最小正整数解(合). 即每箩至少装米合. 当为其它整数时, 也是解. 例如, 时, , 易知它也是解.甲盗走的米为(合).乙盗走的米为(合).丙盗走的米为(合). 三个小偷盗走的米都不少，也差不太多，应各打四十大板，并处相当于多合米的罚金.抽屉原则三只鸽子出去觅食，晚上归巢栖息，它们共有两个窝，显然必有一个窝里至少住有两只鸽子. 不然，即使每巢一只鸽子，还有一只鸽子不能回巢. 一般而言，对于自然数，只鸽子住在个巢中，则至少有一巢中有不少于两只鸽子. 这一结论称为抽屉原则或鸽笼原理. 一般地, 我们有下列定理.抽屉原则 若把本书放入个抽屉，则至少有一个抽屉里放了多于本书. 这里, 表示的整数部分. 证明 若每个抽屉里放的书都不超过本，则书的总本数不超过，这与共有本书矛盾.例如, 若, , 则. 即把本书放入个抽屉, 则至少有一个抽屉中里放了至少本书.若, 则. 即把本书放入个抽屉, 则至少有一个抽屉里有书.若, , 则. 即把本书放入个抽屉, 则至少有一个抽屉里有书.推论1 若把本书放入个抽屉，则至少有一个抽屉里放了至少两本书. 证明 由可知, 从而. 故. 由抽屉原则, 至少有一个抽屉里放了多于本书, 即至少有一个抽屉里放了至少两本书. 推论2 若把多于本书放入个抽屉(和都是自然数)，则至少有一个抽屉里放了至少本书. 证明 设书的本数是, 则, 从而. 故, 所以. 由抽屉原则, 至少有一个抽屉里放了多于本书, 即至少有一个抽屉里放了至少本书. 抽屉原则可以推广到无穷个元素的情形.命题 若把无穷个元素任意分成有限个集合, 则至少有一个集合中有无穷个元素.证明 若分成的有限个集合中的每一个集合都含有有限个元素, 则这有限个集合中的元素的总数就是有限个, 这与已知矛盾. 就是这么一个几乎不证自明的道理却能解千种难题，有万般应用! 下面是一些应用抽屉原则的生动实例. 某军弹药库每天需一个班保卫，保卫排共六个班，则一周内至少有一个班值班两天.13个人中必有两人同一个月份出生；商店里有双皮鞋放在货架上，有位顾客同时来购鞋. 售货员给每位顾客拿出一只鞋试穿，则顾客们手中必有两只鞋恰是一双. (自学)从, , , 中选个数，则其中必有两个，一个是另一个的整数倍.证明 因为取出的每个数可表成，是非负整数，是奇数，故对到中的每个数，是个