本科毕业论文：偏导数在微积分解题中的若干应用.doc

编号： 本科毕业论文（设计）题目：偏导数在微积分解题中的若干应用 学 院 XXXXX学院 专 业 数学与应用数学 学 号 XXXXXXXXXXXX 姓名 XXX 指导教师 XXX 职称：XX完成日期 201X-XX-XX 诚 信 承 诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文偏导数在微积分解题中的若干应用均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）：XXX 201X 年 XX月 XX日偏导数在微积分解题中的若干应用姓名：XXX 学号：XXXXXXXXXX指导老师：XXX摘要：本文主要介绍偏导数的定义、意义以及它在极限、积分、几何和求极值问题中的具体应用，给出相关定义、定理、推论，然后用它们来解决相关问题。关键词：偏导数 积分 多元函数 微分 法向量偏导数在微积分解题中处于重要的地位。一方面它能衔接初等高等数学中的数学知识，对学生在由有限到无限这种思想教育方面起到特殊作用，关于许多初等数学在思想和方法上的不足有所突破，为解决更多数学问题提供了方法，而且更具技巧性；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如与极限、积分、几何和经济学中的极值等内容联系紧密，融会贯通，并成为解决相关问题的重要工具，更加方便快捷。本文主要介绍偏导数的定义、价值以及它在极限、积分、几何和求极值问题中具体应用。其中在极限方面的应用主要是利用偏导数为工具，给出二元函数的洛必达法则，进而求出二元函数的极限；在积分方面的应用主要是通过三个重要公式格林公式、高斯公式、斯托克斯公式三者所揭示的曲线积分、曲面积分和重积分的关系，依据三者之间的转化关系把它们运用到对问题的转化之中；在几何方面的应用主要是利用多元函数的偏导数求解空间曲线的切线与法平面方程以及求曲面的切平面和法线方程，然后将多元函数微分法在几何中的应用移植到平面相关问题中，求解二维相关问题；最后将介绍偏导数在求极值问题中的应用，主要是对二元函数极值判定的应用。多元函数的关于其中一个自变量的变化率，就称为多元函数对于的偏导数，这里只回忆二元函数偏导数的定义。定义：设函数 的某一邻域内有定义，则当极限 存在时，称这个极限为函数。若函数在区域上每一点都存在对的偏导数，则得到函数在区域上对的偏导函数（也简称偏导数）记作，。下面我们将一一介绍偏导数在极限、积分、几何以及求极值问题中的应用。一、利用二元函数的洛必达法则求函数极限1. 二元无穷大量与无穷小量的阶 我们以前曾学过一元无穷大量的阶定义为：设函数为当 (为某一正数)时，称为阶无穷大量，此时等价。类似地这样我们可以定义二元无穷大量的阶。定义.设二元函数无穷大量无穷大量，若以 作为基本无穷大量，则当（为某一正数）时，称为阶无穷大量，此时与等价。定义.设二元函数为当时的无穷小量，若以作为基本无穷小量，则当（为某一正数）时，称为阶无穷小量，此时与等价。2. 二元函数的洛必达法则根据上面给出的相关定义，我们可以对照一元函数的洛必达法则来给出二元函数的洛必达法则，可以参见文献5,这里重述如下：定理.若二元函数,满足：（1） 在区域内有定义，为的一个聚点;（2） ;（3） 在区域内有对的连续偏导数，且（4） 存在（或为无穷大）则=。其中：定理1只是当型不定式极限的情形，以下再给出当型的不定式极限的形式。定理.设二元函数 ，满足：（1）（2）对充分大的，有对的连续偏导数，且（3）存在（或为无穷大）则=。其中：定理1、定理2是二元函数的型不定式极限的洛必达法则，对型不定式极限也可以给出相类似的定理。说明：在型或型不定式极限中，若自变量的变化过程为则若则同理，若。对于一些特殊的二元函数的型或型极限如果使用二元函数的洛必达法则变换后得到此极限的常数倍，那么此极限由这个常数的范围决定。定理.设，则（1） 当时=0；（2） 当时=说明：（1）将定理3中的改成或，结果不影响。（2）当时，此极限是否存在不一定，需要用其他方法求解。定理.设，且，则（1）当时=0；（2）当时=注：（1）将定理4中的改成，结果不影响。（2）当时，此极限是否存在不一定，需要用其他方法求解。以下我将用几个实例来说明二元函数洛必达法则的应用，以达到熟悉理解的程度。例1解： = = =4 例2. 解：= = =0例3解：= 由定理4及1得=以上是二元函数的洛必达则及应用把它推广到三元函数同样适用如：例4. 解：= 由定理3及1得=0二、偏导数在格林公式、高斯公式和斯托克斯三大公式中的应用 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式分别揭示了曲线积分、曲面积分和重积分三者的关系，因此在解题中可通过转化条件将问题进行转化，提供了一种解题方法，这里先对这几个公式作一介绍。.格林公式其中函数在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数（表示沿闭曲线正向积分）.高斯公式其中函数在空间区域上具有一阶连续偏导数（表示沿闭曲面外侧的积分）.斯托克斯公式其中函数在光滑曲面上具有一阶连续偏导数，且也必须在上具有一阶连续偏导数。 下面我们将通过例题来分别论述如何利用格林公式将平面上的曲线积分通过二重积分来计算；利用高斯公式将空间上的曲面积分用三重积分来计算；利用斯托克斯公式将空间曲线积分用曲面积分来计算，从而使解题过程更加简单易懂，更具技巧性。例5.求其中为曲面的交线，的方向是从轴正方向看为逆时针方向。解：联立方程组化简可得曲线的方程为将曲线的方程代入题中得说明：例5中的必须是分段光滑的曲线的正向围成的单连通区域。例6.计算其中是立方体表面的外侧。解：由题设条件知 由高斯公式知 说明：例6中的必须是由分片光滑的闭曲面所围成的空间曲域。例7.计算，其中为与三坐标面的交线，方向为所围平面区域的左侧部分。解:由题设条件知由斯托克斯公式知说明：例7中的是以分段光滑的空间曲线为边界的曲面。三 、多元函数的偏导数在空间几何和平面几何上的应用首先，我们将通过多元函数的偏导数，微分及隐函数的导数间关系，将公式的不同形式加以转换。进而求解空间曲线的切线和法平面方程，以及曲面的切平面和法线方程。接下来我们将从多元函数的微分法入手，将三维空间的相应命题给出二维平面的相应形式。（一） 求曲线的切线和法平面方程设空间曲线：,过点，由空间解析几何得向量向量为过点的切向量，此时 若改变空间曲线形式，则相应的切向量形式也不同，如下空间曲线形式 切向量形式 例8.求过点（1，2，-2）的切线与法平面方程解：， 切向量所以点切线方程为即点法平面方程为即（二）求曲面的切平面和法线方程 设曲面，由全微分得其中切向量，为曲面过点的法向量。类似的，当曲面为时，法向量为。例9 .求过点（2，1，0）的切平面及法线方程解：令法向量所以点切平面方程为即所以点法线方程例10. 求曲面解：法向量所以点切平面方程为，即点法线方程为即（三）多元函数偏导数在平面几何中的应用 对于前面讨论，我们知道若空间曲线形为，则它在处切向量为 （1）若空间曲线形式为,则它在处切平面的法向量为 （2）这里将（1）（2）式作为以下讨论的引理（1），引理（2），得到以下的定理和推论。定理 . 设平面坐标上曲线的方程为（为参数），其中都可导，且曲线上点则过点方程为推论5.1 .平面坐标上曲线方程为则曲线在处切线方程为定理 .设平面坐标上曲线方程为,曲线上点假设函数的偏导数在点的某邻域内连续，处法向量为推论6.1.设平面坐标上曲线方程为,曲线上点，假设函数 的偏导数在点的某邻域内连续，且则曲线在处切向量为例11.设函数由方程所确定，则曲线在点(0,1)处的法线方程为多少？解 令则故所求法向量为所求法线方程为即此例题依据定理5和定理6，在解决隐函数形式给出的平面曲线在某点的切线或法线问题是，使解题步骤简化，从而使问题更简单。四、利用偏导数求经济学中的极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微积分学的重要应用，这里我们将讨论以二元函数偏导数来求函数极值问题，首先我们来回顾一下二元函数极值判定的相关定理定义 (2)(3) (4) 有了以上的定义定理，下面我将通过一个具体的实例来阐述二元函数偏导数在求极值问题中的重要作用，让大家更好地理解其实用价值，并学会如何应用。 例12.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为，总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大总利润是多少？解：由题意知，厂家的总收益为总利润函数令可得驻点又所以，在时，既能取得极大值，也能取得最大值，故最大利润通过以上几个问题的讨论，我们可以清楚的认识到偏导数在许多数学问题如极限，积分，几何以及经济学中求极值问题起着举足轻重的作用，丰富了许多问题解决的思路，方法和技巧，优化了解题过程。当然，偏导数在微积分中应用不仅局限于此，这也为我们以后学习提供了更多的空间。参考文献：1华东师范大学数学系主编，数学分析（下册）（三版）.高等教育出版社.2赵树源主编，经济应用数学基础（一），微积分（三版）.中国人民大学出版社.3吴赣昌，高等数学（理工类）M北京：中国人民大学出版社，2007：56.4陈传璋，金临福，数学分析（第二版上册）M北京：高等教育出版社.1983：92.5张立新，二元函数的微分中值定理及洛必达法则J.辽宁教育学院学报，2001（9）：21.6盛祥耀，高等数学（第二版 下册）M,北京：高等教育出版社，2003：52.7屈文文，偏导数的几何应用,山西教育学院学报（2002年第1期）.8刘金林，高等数学M北京：机械工业出版社，2009：8182.9杨勇，谢巍，高等数学（下册）（第二版）M北京：高等教育出版社，2007：4452.10吴一梅，赵临龙，一元函数与多元函数基本性质异同性的分析J信息系统工程，2009（11）：109111.11同济大学数学教研室，高等数学（第四版）M北京：高等教育出版社，2007：445Several Application of Partial Derivative in theSolution of Calculus FunctionsName:Zhao Yanyan Academic Number:200725020450 Supervison:Sheng XingpingAbstractThe article introduces the definition and the value of Partial derivatives and the application of it in the limit, integral,geo