风和喷水池问题.pdf

数学建模练习数学建模练习 第 3 次练习 姓名 程涛 胡铭 李冲 题目 风和喷水池问题 风和喷水池问题 摘 要 本文针对露天广场喷泉高度控制问题 将实体喷泉简化为图一所示的平面喷 泉 在水柱上升和水滴下降过程中 运用流体力学和运动学方程的相关理论 先 适当给定喷泉的初速度 采用数值积分的方法 并且通过 MATLAB 软件编写计算 程序 求出喷泉上升的高度和水平位移 通过比较水平位移和喷泉池半径的大小 来调整喷泉的初速度 直到喷泉上升的高度达到最大值 并且尽可能要求水珠不 会被吹到喷泉池外面 这时求得的速度即是喷泉实际要求的初速度 最后通过控 制喷泉的初速度来达到控制喷泉高度的要求 具体编写的程序见附录 关键字 喷泉高度控制 流体力学 数值积分 1 一 问题重述 1 1 问题背景 随着社会的发展 城市环境建设已经成为国民经济建设的一个新主题 而随 着城市环境的日益改善 一座座壮观 整洁的大型喷泉广场相继出现在人们的面 前 因此 大型喷泉的设计就成为环境建筑设计的一个重要组成部分 但是 在 一些经常刮风的城市 强大的风力使喷泉喷射出的水喷洒到喷泉水池以外 观赏 者也很容易被淋湿 这大大影响了喷泉的观赏效果 因此 通过测速计所测的风 速来调节喷泉的高度已成为一个厄待解决的问题 1 2 问题描述 在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上 装饰喷泉把水喷向高空 刮风的日 子 风把水花从喷泉吹向过路行人 喷泉射出的水流受到一个与风速计 用于测 量风的速度和方向 相连的机械装置控制 前者安装在一幢邻近楼房的顶上 这 个控制的实际目标 是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受 的平衡 风刮得越猛 水量和喷射高度就越低 从而较少的水花落在水池范围以 外 要求设计一个算法 随着风力条件的变化 运用风速计给出的数据来调整由 喷泉射出的水流 二 问题分析 本文的研究背景为露天广场的装饰喷泉 无风时喷泉喷出的水花能为过往的 行人提供一个赏心悦目的风景 但是当有风的时候 由于风作用就可能使水花溅 出水池 这样就要求设计一个算法 在有风的情况下也能做到随着风力的变化运 用机械装置调整喷泉的初速度 使得水花既不溅出水池又能够使行人观赏到喷泉 的景象 由于水是流体 则水分子之间有一定的粘滞力 并且水上升阶段速度很大 由于水柱受重力和空气阻力作用 水柱速度会逐渐变小 因此 不会出现水柱的 脱节 现象 水柱受到的空气阻力相对其重力影响较小 故在上升过程中忽 略了空气阻力的影响 当水柱达到最高处 水柱会喷散开 形成水滴 在水柱上升过程中 先适当给定喷泉的初速度 这样便可以求得水柱上升到 最高点用的时间和高度 根据所求得的时间将上升过程分成n个阶段 当n取较 大的值时 竖直方向和水平方向每个阶段都可以近似看做匀加速运动 根据运动 学方程可以解出每个阶段水柱的水平位移和竖直位移 再将每个阶段的位移值求 和 即是水柱上升过程中的水平位移和竖直高度 在水珠下降过程中 为方便计算 假设水柱到达最高处变成水珠的瞬间 水 珠只有水平方向上的初速度 将水珠下降过程也同上升过程的时间间隔来分阶 段 每个时间段内都可以视水珠在做匀加速运动 运用运动学方程可以求出每一 阶段的水平位移和竖直位移 每次通过比较每阶段竖直位移叠加的值和竖直高度 的值来判断水珠是否已经落地 到水滴已近十分接近落地时 将各下降过程每阶 2 段的水平位移叠加 最后求出下降过程中水滴的水平位移 最后通过比较两个阶 段总的水平位移和喷泉池半径的大小来重新调整喷泉的初速度 直到喷泉上升的 高度达到最大值 并且尽可能要求水珠不会被吹到喷泉池外面 这时喷泉初速度 来调整的值即为喷泉实际要求的初速度 最后通过初速度求出喷泉上升的最大高 度 三 模型假设 1 喷泉喷出的水流在上升过程中不会散开 2 水流喷出时在喷口形成的水雾忽略不计 3 风向为水平方向 4 风速的变化时阶段性的 即风速不会突变 5 喷口与地面垂直 6 水珠当做球体考虑 7 各水滴的相互影响忽略不计 8 测速计能够正常运作 四 符号说明 0 v 水流喷出的初始速度 r 喷口的半径 0 r 水珠的半径 R 喷泉池的半径 0 m 水珠的质量 m 微单元水柱的质量 0 V 水珠的体积 1 V 微单元水柱的体积 r 空气的密度 0 r 水的密度 H 水柱所喷射的最大高度 v 风速 f 水珠受到竖直方向的空气阻力 F 水柱所受的风力 1 s v 水柱到达最高点的水平速度 t 水柱上升到最高所用的时间 1 s 水柱到最高点时的水平位移 2 s 水珠从最到点运动到地面的水平位移 3 g 重力加速度 五 模型的建立与求解 5 1 将实体喷泉简化为的平面喷泉图形如图一所示 模型的建立 图一 降过程中 空气阻力对水珠的影响较大 故竖直方向上的空气阻力不 可忽 微单元水柱作为研究对象 则 h 1 水柱的质量为 力的作用 则水柱在水平方向上做匀减速直线 运动 水柱到达的最大高度为 因水分子之间有一定的粘滞力 并且水上升阶段速度很大 由于水柱受重力 和空气阻力作用 水柱速度会逐渐变小 因此 不会出现水柱的 脱节 现象 水柱受到的空气阻力相对其重力影响较小 故在上升过程中忽略了空气阻力的影 响 而在下 略 取高度为h的一段 水柱的体积为 2 1 Vrp 0 1 mVr 2 在竖直方向上 水柱只受到重 2 0 2 H g v 3 水柱到达最高处所用的时间为 0 v t g 4 风压的贝努力公为 1 式 2 2 m wvr 1 5 4 其中w为风压 m v为风相对物体的速度 水平方向分力对水柱有效作用面积为 5 1 1 水柱上升过程 6 2srh 则水柱受到的风力 Fws 7 水柱上升过程按照上升总时间t来分成 100 nn 取各阶段 每个阶段的所 用的时间为 t t n D 则将总时间分成了n个时间区间 在每个过程中 由于时 间变化量很小 近似将每个过程的竖直方向和水平方向看作在做匀变速直线运 动 如下图二 考虑的是第 i个时间区域内水柱的运动情况 其中 i h表示第i个时间段内水柱的竖直位移 is表示第 个时间段内水柱的水 平位移 设这个时间段内水柱的起始速度为 末速度为 竖直方向上的 起始初速度为 末速度为 i v i x v 则这个时间段内 1i x i y 水柱的竖直位移为 v 1i y v 2 tD 8 1 2 i iy hvtg D t 9 其中 水平方向水柱的加速度为 竖直方向末速度为 1ii yy vg Dv 1 0y vv 10 风相对水柱的速度为 i y 11 m vvv i F a m 12 5 则水平方向上的位移为 2 1 2 i ixi svtat D D 13 水平方向末速度为 15 则上升过程的水平位移为 16 都可以求出到达最高处 时 水珠的水平速度为的值 5 1 半径为的水珠的体积为 1i x i xi vvat D 14 其中 1 x v 0 1 1 对于适当给定水柱初速度 0 v的值 通过式 n i i sh 1 16 1 s 2 水珠下升过程 0 r 3 0 Vr0 4 3 p 17 半径为水珠的质量 18 水平方向风力对水珠的有效作 一个水珠时间段 如下图三 为水珠 下降过程中第 个时间段内的运动情况 0 r 000 mVr 用面积为 2 0 srp 19 水珠在下降过程中 每隔时间tD作为 j 其中 j h表示第j个时间段内水珠的竖直位移 j s表示第 个时间段内水珠 的竖直位移 设第j个时间段内 水珠竖直方向的起始速度为 j y v j 末速度为 根据流体力学型阻理论公式得到水珠在竖直方向上面受到的阻 1j y v 水平方向的起始速度为 j x v 末速度为 1j x v 在这段时间内 2 力为 6 2 1 2 j D y fC v s 20 其中为型阻系数 取 0 2 D C 则水珠竖直方向的加速度为 0 j y f ag m 21 则水珠的竖直方向位移为 2 1 2 jj jyy hvtat D D 22 若 则竖直方向末速度为 0 m gf 23 1jj yyj vva Dt 否则 0 2 j y D m g v C s 24 其中 25 1 0 y v 水珠水平方向受到的风力为 2 1 2 j x Fvvr s 26 水平方向水珠的加速的为 0 j x F a m 27 水珠水平方向的位移为 2 1 2 jj jxx svtat D D 28 水平方向的末速度 1jjj xxx vva Dt s h s 29 并且 30 11 x vv 则 水珠下降总的高度为 1 j j j h 31 水珠的总水平位移为 2 1 j j j s 32 通过式 可以求出水珠每个时间段内的竖直下降高度 再求水珠下 降总的高度 通过比较水珠下降总的高度和H值的关系 来判断水珠是否已经 接近落到地面上 倘若水珠比值大 说明水珠已经落地 并且此时求得的即 为水珠下降时的水平位移 否则 继续增加时间段 直到水珠下降的总高度接近 的值 17 32 H 2 s H 则喷泉总的水平位移为 通过计算出s的值 再和所给水池的 12 sss 7 半径作比较 倘若s 说明首先设定的喷泉初速度太大 需要减小喷泉的初 速度 使得s接近R的值 最后得到调整后的喷泉初速度即为喷泉实际的初速度 相反 倘若s 则需要增大的初始值来得到实际喷泉的初速度 R R0 001 v2 v0 竖直初速度 也表示瞬时速度 t v0 g 上升总时间 t0 t 100 时间间隔 l 0 11 p 0 累加竖直位移 s 存放水平位移点矩阵 h 存放竖直位移点矩阵 k 0 作为循环次数累加器 t1 0 作为t的中间的迭代变量 v1 0 水平初速度 也表示瞬时速度 D 0 2 阻型系数 上升阶段 while t10 001 k k 1 if v1b