一元函数微分学(30学时).doc

第二章 一元函数微分学（30学时）微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。 微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。 微分，它是函数增量的线性主部， 它是函数增量的近似表示。 微分与导数密切相关， 这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法则。相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。第二部分首先建立导数应用的理论基础微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式）、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则）、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。 具体的要求如下：1 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2 会用导数描述一些物理量。3 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。4 了解高阶导数的概念。5 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。7 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日（Lagrange）定理。8 了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。9 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。11. 会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。12. 会用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限。13. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。14. 了解求方程近似解的二分法和切线法。2-1导数的概念一、 导数概念的引入问题：瞬时速度问题。直线运动方程s=s(t)时间间隔的平均速度时刻的瞬时速度问题：曲线切线的斜率。x TyoM0y=f(x)x0 Mx0+xN二、 导数的定义定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得增量时，相应地函数y取得的增量，若极限存在，则称函数在点处可导，称这个极限为在点处的导数，记为，即定义2（导函数）导函数导数（值）2-2求导法则一、 函数的线性组合、积、商的求导法则1若，则 为常数2若，则推广：3若，例1求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4），求；例2设，求y；例3设，求y；二、 反函数的导数在单调、连续反函数在单调、连续。，例4求反正弦函数的导数。解是（）的反函数，类似地例5求反函数的导数。解类似地例6求对数函数（）的导数解，特别地三、 复合函数的导数，例7求下列复合函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）。例8求下列函数的导数（1），求f(1)；（2）；（3）；（4）；例9冥指函数的求导法，比如，求y。四、 高阶导数设，例10求的n阶导数；例11求（n为正整数）的n阶导数，n+1阶导数，并求，；例12求的n阶导数；例13证明函数满足关系式；例14设f二阶可导，求或的一阶、二阶导数；例15设f二阶可导，求的二阶导数。复习P.99-112习题2-2（P.112）2（3）（7）（9）（12）（13）（14），3，4，5，6（1）（8）（11）（13）（15）（18）（20）（22）（23），7，8（1）（3），9，10（2）（5）（6），122-3隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数一、 隐函数的导数方程函数（显化）（不能显化，或很难显化）例1 求由方程所确定的隐函数的导数；例2 求由方程所确定的隐函数y在x=0处的导数；例3 求由方程确定的曲线在点(0,0)处的切线方程；例4 求由方程确定的隐函数y的二阶导数y。二、 由参数方程确定的函数的导数表示圆例5抛射体运动的参数方程，求时刻t的运动速度；解，且的方向：例6求摆线方程所确定的函数的二阶导数。三、 相关变化率，且x与y之间存在联系，从而，之间也存在一定关系。复习P.114-121习题2-3（P.123）1，2，3（1）（4），5，62-4函数的微分一、 微分的定义引入：边长为的正方形全导法加热，问薄板面积改变了多少？定义：设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量时，如果函数的增量可以表示为其中A是与有关而与无关的常数，是比高阶的无穷小量，则函数在点处可微，称为微分，即定理：函数在点处可微的定义的充分必要条件是函数在点处可导。证：若可微，若可导， ，可导可微连续极限存在二、 微分公式与运算法则微分形式不变性：故例1求函数的微分；例2填空：（1）d()=xdx(2) d()=(3) d()=(4) d()=cos三、 微分的意义与应用微分任何意义如图所示。，由，令，则有特别地，当，很小时，有例3证明如下一次近似式：（1）；（2）；证：（1）令，当x=0时，f(0)=1,f(0)=1，由，即；（2）令，当x=0时，f(0)=0,f(0)=1，由，即。复习P.124-133习题2-4（P.133）1，2，4，5，62-5微分中值定理引理（费马定理）：设函数在点的某邻域内有定义，且在处可导，若，有（或）则定理1（罗尔中值定理）：设函数满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b)。则在（a,b）内至少存在一点，使得（）。定理2（拉格朗日中值定理）：设函数满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导。则在（a,b）内至少存在一点，使得，推论：在区间I内，若，则f(x)=C。定理3（柯西中值定理）：设函数f(x)，g(x)满足如下条件：（1） 在闭区间a,b上连续；（2） 在开区间（a,b）内可导；（3） 在开区间（a,b）内。则在（a,b）内至少存在一点，使得（）柯西定理拉格朗日定理罗尔定理例1 证明当x0时，。例2 证明：当时，。例3 证明（）。证：令，由推论知f(x)=常数！再由，故。例4 若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。证明：令，在闭区间上满足罗尔定理的三个条件，故上式表明（）即为方程的根。复习P.134-140习题2-5（P.140）2，3，4，5，7，92-6泰勒公式要求（k=0,1,2,n）易得：，定理1（泰勒中值定理）：如果函数f(x)在含的某个开区间（a,b）内具有直到（n+1）阶导数，即，则对于，有其中，在与x之间。例1 求出函数的n阶麦克劳林公式；解：，由得（），当x=1时，例2 求出函数的n阶麦克劳林公式；解：（），于是，有（）当m=1时，。定理2：如果函数在含有的开区间（a,b）内具有直到n阶的导数，且在（a,b）内连续，则在（a,b）内有n阶带皮亚诺余项的泰勒公式。证：由定理1，有的（n-1）阶泰勒公式：由条件，在可导，则在点处连续，故当时，因而有，（是当的无穷小量）于是有：，它是比高阶的无穷小，记为练习：1 设，求y；2 计算下列各题：（1） 设f(x)=25，求；（2） 设，求；（3） 设，求，；3 设（x1），求y；4 设曲线方程为，求此曲线在纵坐标为y=0的点处的切线方程；5 证明：当x0时，；6 证明：方程（a,b0）至少有一个正根，并且它不超过a+b；复习P.138-149习题2-6（P.149）2（1）（3），3，5。2-7洛必达法则定理1：设f(x),g(x)在点的某去心邻域内可导，且并满足条件：（1），；（2）极限存在或为。则：证明：补充定义：在与x为端点的闭区间上，f(x),g(x)满足柯西定理的三个条件，故（介于与x之间）故有例1求下列极限（1）；（2）；（3）（，n为正整数）；（4）；例2求下列极限（1）（n0）；（2）；（3）；例3求；例4；例5验证极限存在，但不能用洛必达法则得出。复习P.149-154习题2-7（P.154）1（3）（5）（6）（8）（11）（13）（14），4，5习题课参考习题一、计算下列各题：1设，求；2设，求；3设（x0），求；4设，求，；二、设，求；三、求由方程确定的曲线在x=1处的切线方程与法线方程；四、设f(x)和g(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)。证明：在（a,b）内有根；五、设f(x)在0,a上连续，在（0,a）内可导，且f(a)=0。证明：存在一点，使得六、设f”存在，求的一阶、二阶导数；七、设f存在，求的一阶导数；八、证明：当x0时，。2-8函数单调性与凸性的判别法一、函数单调性的判别法从直观观察可得到结果；用拉氏中值定理可证明结果； 函数单调性的判别法：设函数，且（1）若，有，则f(x)在a,b上单调增加；（2）若，有，则f(x)在a,b上单调减少。例1判定下列函数在指定区间上的单调性：（1），0,；（2），（，+）；例2确定函数的单调区间；例3证明：当x1时，；二、函数的凸性及其判别法函数的凸性在近代分析与优化两大领域中具有重要作用。设函数的图形如右，曲线是凹的。（），其中任一点为（），弦AB的方程为定义（凸函数）：设函数f(x)在区间I内有定义，（），且对任一，总有则称函数f(x)在I内是凸的（凸函数）；反之，为凹的（凹函数）如果f(x)之在点（）改变了凸性，称该点为拐点。函数凸性的判别法1：设，且导函数f(x)在I内单调增加（减少），那么函数f(x)在I内是凸（凹）的。函数凸性的判别法2：设，若f(x)0，则函数f(x)在I内是凸的，其图形在I内是凹的！例4讨论下列函数的凸性：（1）；（2）；例5讨论函数的凸性。解：定义域：（），当x=0时，f(x)不存在，f”(x)不存在；当时，f”(x)=0。列表讨论：X0（0，1）1f(x)+不存在-0+f”(x)-0+不存在+f(x)拐点极值例6讨论函数的凸性，当时，a,b为任意的实数，证明：解：（1），在定义域（0，+）内，y”=0，故y=lnx是凹函数（图形是凸的）（2）由凹函数的定义证毕。复习P.155-164习题2-8（P.164）1，2（1）（3）（4），3（1）（4），5（2）（6），6，72-9函数的极值与最值一、函数的极值及其求法极值，最值可疑极值点定理1（第一充分条件）：设函数f(x)在点处连续，在点的某去心邻域可导。1若点的左右两侧，导数变号，则点为极值点；2若点的左右两侧，导数不变号，则点不是极值点。进一步，导数从+变为，为极大值点；从变为+为极小值点。例1求函数的极值；例2求函数的极值；解：令f(x)=0，驻点为x=0,x=1,x=-1。例3求函数的极值。二、最大值与最小值问题例4求函数在1，3上的最大值、最小值；解：由例3知f(-1)=10，f(3)=-22，再求出f(-2)=3，f(4)=-15，比较可得出最大值与最小值。例5AB=100km，AC=20km且，选择点D，公路与铁路运费之比为3:5，使运费最省，D去何处？ 解：（）令y=0，得x=15（唯一驻点）且，例6已知平面曲线L的方程为，考虑把L围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形的面积的最小值；解：虽然，L通过原点（0，0），关于x轴对称，且位于右半平面（）上，易求出L与x轴的另一个交点为x=2，即（2，0）。为求把L围在内部，且各边平行于坐标轴的矩形面积的最小值，可转化为求函数（）的最大值。令，得（驻点唯一）最大值点（最大值）于是所求矩形一边长的最小值为2，另一边长最小值为，故矩形面积的啊小值为复习P.166-174习题2-9（P.174）1（1）（3）（6），2，3，4（1）（4），6，7，92-10曲线的曲率一、曲率的概念1，切线转过角度；，切线转过角度；，比较平直，比较弯曲。2，切线转角均为，但一个弧长，一个弧短，长者比较平直。3平均曲率平面光滑曲线C：，为变量的基点，记，点处切线倾角为，而，点处切线倾角为，设，二阶可导，由导数任何意义：即，则另一方面故有例1计算抛物线上任意一点处的曲率，并且求出曲率最大处的位置；解：，k最大，分母最小，故2ax+b=0，顶点处曲率最大。习题课一、求在上的最大值和最小值；