清华大学计算流体力学第一次作业答案.pdf

计算流体力学 作业 1 线性对流方程初边值问题 0 0 sin 2 1 1 uu tx u xx utut l 设 22111 jjjjjj xxxxxx 试利用 j 2 j 1 j 三点构造非均匀网格非均匀网格上逼 近一阶导数项 jx u 的差分公式 并分析上述差分公式的截断误差 解 待定系数法 12 k xjjj j uaubucux 1 泰勒展开 23 1111 1 2 jjjxjxxj jj uuxuxux 23 2121212 1 2 jjjjxjjxxjj jj uuxxuxxuxx 2 代入待定系数表达式得 22 121121 1 1 2 jjjjxjjjxx jj abc ucxxb xucxxbxuT E 33 3 112 1 6 jjjxxx j T EbxcxxuOx 求解关于 abc的方程组 12 112 12 121 12 22 121 1 212 2 0 10 11 0 22 jj jjj jj jjj jj jjj j jjj xx a xxx abc xx cxxb xb xx cxxbxx c xxx 整理得 22 2 12212112 1212 2 jjjjjjjjj x j jjjj xxxuxxuxu uT E xxxx 2 32 112 1 6 jjjxxx j T ExxxuOxOx 故截断误差为 2 阶 2 若网格均匀 试用一阶后差离散源方程中的空间导数项 时间方向采用一阶前差 写出 完整的差分格式 编程计算 T 2 4 时的数值解 并讨论计算参数对计算结果的影响 其 中网格点数取为 20 时间步长分别取为2 1 1 5 0 x t c 要求 编程计算 并整理文档 其中写明计算格式 初始 边界条件 计算结果图 给出图 中结果对应的计算参数 如时间 空间步长 推进步数等 并附上源程序 解 精确解 sin 2u x txt 差分格式 1 11 1 0 1 nnnn jjjjnnn jjj uuuu uc ucu tx x u 1 5 1 0 500 511 5 2 5 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 c 0 5 c 1 0 c 1 2 exact 图 1 T 2 时取不同 c 值得到的数值结果与精确解对比 x u 1 5 1 0 500 511 5 6 4 2 0 2 4 6 c 0 5 c 1 0 c 1 2 exact 图 2 T 4 时取不同 c 值得到的数值结果与精确解对比 由图 1 图 2 可得 c 1 时计算结果与精确解符合的很好 c 0 5 时 差分格式具有正耗散性 数值解的振幅随时间减小 虽然格式是稳定的 但由于耗散太大 因此 数值解的精度很低 c 0 5 时 差分格式具有负耗散行 数值解的振幅随时间增大 随着时间推进 数值解将发 散 Von Neumann 稳定性分析 m k ik xnn km uA e 1 1 1 m km km k ik xik xik xnnn mmm Aec A ecA e 1 2 22 11cossin 1cossin 121 1 cos1 01