2010年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

精品文档 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国全国 卷 卷 数学数学 文文 试题试题 一 选择题一 选择题 本大题本大题 共共 1212 题题 共计共计 6060 分分 1 设全集集合 则 6 xNxU 5 3 3 1 BA BA A B C D 4 1 5 1 4 2 2 2 不等式的解集为0 2 3 x x A B 32 xx 2 xx C D 3 2 xxx或 3 xx 3 已知 2cos 3 2 sin x则 A B C D 3 5 9 1 9 1 3 5 4 函数的反函数是 1 1ln 1 xxy A B 0 1 1 xey x 0 1 1 xey x C D 1 1 Rxey x 1 1 Rxey x 5 若变量 x y 满足约束条件的最大值为yxz yx xy x 2 5 23 1 则 A 1 B 2C3 D 4 6 如果等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么 721 aaa A 14B 21 C 28D 35 7 若曲线在点 0 b 处的切线方程是则baxxy 2 01 yx A a 1 b 1B a 1 b 1 C a 1 b 1D a 1 b 1 8 已知三棱锥 S ABC 中 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形 SA 垂直于 底面 ABC SA 3 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 精品文档 A B C S E F A B C D 4 3 4 5 4 7 4 3 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封 放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 A 12 种B 18 种C 36 种D 54 种 10 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分若ABC ACB a 1 b 2 则 bCAaCB CD A B ba 3 2 3 1 ba 3 1 3 2 C D ba 5 4 5 3 ba 5 3 5 4 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的距离相等 的点 A 有且只有 1 个B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个D 有无数个 12 已知椭圆的离心率为过右焦点 F 且斜率 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 2 3 的直线与 C 相交于 A B 两点 若 则 0 kkFBAF3 k A 1B C D 223 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡上 13 已知是第二象限的角 cos 2 1 tan 14 的展开式中的系数是 9 1 x x 3 x 15 已知抛物线的准线为 过 M 1 0 且斜率为的直 0 2 2 ppxyCl3 线与 相交于点 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p lMBAM 精品文档 16 已知球 O 的半径为 4 圆 M 与圆 N 为该球的两上小圆 AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦 AB 4 若 OM ON 3 则两圆圆心的距离 MN O M N E A B 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 17 本小题满分 10 分 中 D 为 BC 边上的一点 BD 33 ABC 求 AD 5 3 cos 13 5 sin ADCB 18 本小题满分 12 分 已知是各项均为正数的等比数列 且 n a 111 64 11 2 343 342 21 21 aaa aaa aa aa 1 求的通项公式 n a 2 设 求数列的前 n 项和 2 1 n nn a ab n b n T 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B2C1中 AC BC AA1 AB D 为 BB2的中点 E 为 AB1上的一点 AE 3EB2 1 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 2 设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 求二面角 A2 AC1 B1的大小 45 精品文档 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中共有 4 个元件 分别标为 电流能通 4321 TTTT 过的概率都是 p 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件 321 TTT 相互独立 已知中至少有一个能通过的概率为 0 999 321 TTT I 求 p II 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 33 22 xaxxxf I 设 a 2 求的单调区间 xf II 设在区间 2 3 中至少有一个极值点 求 a 的取值范围 xf 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 与双曲线相交于 B D 两l 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 点 且 BD 的中点为 M 1 3 I 求 C 的离心率 II 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 精品文档 A B C S E F 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国全国 卷 卷 数学数学 文文 试题试题 答案解析答案解析 一 选择题 1 C 本题考查了集合的基本运算 属于基础知识 基本运算的考查 A 1 3 B 3 5 故选 C 1 3 5 AB 2 4 U CAB 2 A 本题考查了不等式的解法 故选 A 3 0 2 x x 23x 3 B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 1 2sin 9 4 D 本题考查了函数的反函数及指数对数的互化 函数 Y 1 LN X 1 X 1 11 ln 1 1 1 1 yx xyxeye 5 C 本题考查了线性规划的知识 作出可行域 作出目标函数线 可得直线与 与的交点 yx 325xy 为最优解点 即为 1 1 当时 1 1xy max 3z 6 C 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 7 A 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 在切线 0 2 x yxaa 1a 0 b10 xy 1b 8 D 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所 成角 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 连结 SE 过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC 中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE 精品文档 AF 面 SBC ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角 由正三角形边长 3 AS 3 SE AF 3 AE32 2 3 4 3 sin ABF 9 B 本题考查了排列组合的知识 先从 3 个信封中选一个放 1 2 有 3 种不同的选法 再从剩下的 4 个数中 选两个放一个信封有 余下放入最后一个信封 共有6 2 4 C183 2 4 C 10 B 本题考查了平面向量的基础知识 CD 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 11 D 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为 半径的圆柱面上 三个圆柱面有无数个交点 12 B 2211 yxByxA 2 3 3 3 21 eyyFBAF 设044 3 2 222 tyxtbtcta 直线 AB 方程为 3tsyx 代入消去 x 032 4 222 tstyys 4 4 32 2 2 21 2 21 s t yy s st yy 解得 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡上 13 本题考查了同角三角函数的基础知识 2 5 5 精品文档 O M N E A B 1 tan 2 2 5 cos 5 14 84 本题考查了二项展开式定理的基础知识 9 19 1 rrr r TC x x 923 3rr 3 9 84C 15 2 本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB 代入得 33yx 2 2ypx 2 3 62 30 xp x 又 解得 AMMB 2 2 1 px 2 4120pP 解得 舍去 2 6pp 16 3 本题考查球 直线与圆的基础知识 ON 3 球半径为 4 小圆 N 的半径为 7 小圆 N 中弦长 AB 4 作 NE 垂直于 AB NE 同理可得 ME 33 在直角三角形 ONE 中 NE ON 3 3 MN 3 3 6 MONEON 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 17 解 解 由 由已知得 3 cos0 52 ADCB 知 124 cos sin 135 BADC 从而 sinsin BADADCB sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 由正弦定理得 AD sinsin BD BBAD 精品文档 所以 sin AD sin BDB BAD 5 33 13 25 33 65 18 解 解 设公比为 q 则 由已知有 1 1 n n aa q 化简得 11 11 234 111 234 111 11 2 111 64 aa q aa q a qa qa q a qa qa q 2 1 26 1 2 64 a q a q 又 故 所以 1 0a 1 2 1qa 1 2n n a 由 知 2 21 21 111 242 4 n nnn n nn baa aa 因此 11 1 1 1 11411 4 14 41 224421 1 444 13 1 4 n n nnn n n Tnnn 19 解法一 解法一 连结 记与的交点为 F 因为面为正方 1 A B 1 A B 1 AB 11 AA BB 形 故 且 又 所以 11 A BAB 1 AF FB 1 AE 3EB 1 FE EB 又 D 为的中点 故 1 BB 1 DEBFDEAB 作 G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 CGAB 又由底面面 得 ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 连结 DG 则 故 由三垂线定理 得 1 DGAB DEDG DECD 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为 故为异面直线与的夹角 1 DGAB CDG 1 ABCDCDG 45 设 AB 2 则 1 AB2 2 DG 2CG 2AC 3 精品文档 作 H 为垂足 因为底面 故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作 K 为垂足 连结 由三垂线定理 得 因 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 此为二面角的平面角 1 B KH 111 AACB 2 2 111111 1 11 1 22 2 3 ABACAB B H AC 22 1111 3 3 HCBCB H 22 11 1 1 2 3 2 3 7 3 7 AAHC ACHK AC 1 1 tan14 B H B KH HK 所以二面角的大小为 111 AACB arctan 14 解法二 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐x 标系 Bxyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 D 0 1 0 1 B 0 2 0 1 3 E 0 2 2 又设 C 1 0 c 则 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 故 1 DE B A 0 DE DC 0 AA 1 DEB ADEDC 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为等于异面直线与 CD 的夹角 1 B A DC 1 AB 故 即 11 cos45B A DCB A DC AA 2 2 2 224 2 c 精品文档 解得 故 又 所以2c AC 22 1 11 AA BB 0 2 0 11 AC AC AA 1 22 设平面的法向量为 则 11 AAC mx y z 11 0 0m ACm AA AA 即22020 xyzy 且 令 则 故 令平面的法向量为2x 1 0zy 2 0 1 m 11 ABC np q r 则 即 11 0 0n ACn B A AA220 220pqrpq 令 则 故2p 2 1qr 2 21 n 所以 1 cos 15 m n m n m n A 由于等于二面角的平面角 所以二面角的 m n 111 A AC B 111 A AC B 大小为 15 arccos 15 2020 解 解 记表示事件 电流能通过 1 AT 1 2 3 4 i i A 表示事件 中至少有一个能通过电流 123 TTT B 表示事件 电流能在 M 与 N 之间通过 相互独立 123123 AA A AAAA AA 3 123123 P 1 AP A A AP A P A P Ap AA 又 P 1P A 1 0 9990 001A 故 3 1 0 0010 9pp 44134123 BA A A A A A A A AAAAA 44134123 P B P A A A A A A A A AAAAA 44134123 P A P A A A P A A A A AAAAA 精品文档 44134123 P A P A P A P A P A P A P A P A 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 9891 2121 解 解 当 a 2 时 32 631 3 23 23 f xxxxfxxx 当时在单调增加 23 x 0 fxf x 23 当时在单调减少 23 23 x 0 fxf x 23 23 当时在单调增加 23 x 0 fxf x 23 综上所述 的单调递增区间是和 f x 23 23 的单调递减区间是 f x 23 23 22 3 1 fxxaa 当时 为增函数 故无极值点 2 10a 0 fxf