绝对收敛与条件收敛.pdf

二 绝对收敛与条件收敛二 绝对收敛与条件收敛 第三节 一 交错级数及其审敛法一 交错级数及其审敛法 任意项级数的审敛法 第十一十一章 一 交错级数及其审敛法一 交错级数及其审敛法 LL n n uuuu 1 321 1 交错级数交错级数 定理定理11 6 莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法 若若交错级数交错级数满足满足 则则 2 1 1 1 L nuu nn 0lim 2 n n u n n n u 1 1 1 收敛收敛 且其和且其和 1 uS 其余项满足其余项满足 1 nn ur 0 n u 1 定义定义 称满足条件称满足条件 1 2 的级数 为 的级数 为莱布尼茨 交错级数 莱布尼茨 交错级数 43212 uuuuS n Q 543212 uuuuuS n 1 u 单调增加且有上界单调增加且有上界 2n S 12 limuSS n n 22 n S n u2 1 先证先证部分和数列部分和数列S2n单调增加且有上界单调增加且有上界 212nn uu L 1222 nn uuL 21222nnn uuS 0 un 递减递减 证证 证明思路 证明思路 lim 2 SS n n SS n n 12 lim SSn n lim 故级数收敛于故级数收敛于S 且且 1 uS 的余项的余项 n S nn SSr 21 L nn uu L 21nnn uur 1 n u limSSn n 仍为莱布尼茨 交错级数 仍为莱布尼茨 交错级数 2 再证再证SS n n 12 lim 又又 12 lim n n S n n S2lim S lim 122 nn n uS 注注1 莱布尼茨定理中的条件莱布尼茨定理中的条件 1 可换成 可换成 1 Nnuu nn 不单调不单调 2 n u o 0 1 1 1 发散 发散 n n n n uu 反例 反例 对于对于 n n n n 2 1 2 1 1 1 n n n u 2 1 2 0 不单调不单调 虽然虽然 n u事实上 事实上 单调增加单调增加 3 n u o 0 1 1 1 发散发散 n n n n uu 0lim n n uQ 12 12 2 1 k k u k2 2 2 2 3 2 2 k k u n n n u 2 1 2 n n n n 2 1 2 1 1 1 但但 2 1 2 1 1 1 n n n 收敛 收敛 1 1 1 1 n p n n 例例1 证明交错级数 证明交错级数 L pp 3 1 2 1 1L p n n 1 1 1 0 p 收敛 并估计其余项收敛 并估计其余项rn 解解 p n n u 1 因因 0 n p n n u 1 且且 1 1 1 n p u n 由莱布尼茨审敛法由莱布尼茨审敛法 p nn n ur 1 1 1 且 且 知级数收敛知级数收敛 需证需证un递减趋于零递减趋于零 得收敛级数取得收敛级数取 1 p 1 1 1 n n n 即和为即和为 2ln 2ln 1 1 1 n n n 2 3 1 2 1 1 LL n n 1 1 1 注注 1 第五节第五节 1 1 1 1 n n n 收敛收敛 1 1 发散但发散但 n n 绝对值级数绝对值级数 问题问题 敛散性的关系 与敛散性的关系 与 11n n n n uu 二 绝对收敛与条件收敛二 绝对收敛与条件收敛 1 定义定义 1 1 1 1 n p n n 1n n u若若收 敛 收 敛 1 1 n n u 1 2 n n u 条件收敛条件收敛 例 如 例 如 绝对收敛 条件收敛 绝对收敛 条件收敛 1n n u 发散发散 1n n u若若 收敛 但 绝对收敛 收敛 但 绝对收敛 1 1 发散但发散但 n p n 1 1 1 1 n p n n 收敛收敛 10 p 收敛收敛 1 1 n p n 2 定理定理 绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系 证证 设设 1n n u n v令令 0 1n n v收敛收敛 1 2 n n v 2 nnn vuu 而而 1n n u 1n n u 收敛收敛 2 1 nn uu n v n u 收敛收敛 定理定理11 7若级数绝对收敛 若级数绝对收敛 1n n u 则该级数必收敛则该级数必收敛 则 由收敛级数的基本性质 则 由收敛级数的基本性质 注注 收敛收敛 1n n u绝对收敛 绝对收敛 1n n u 由比较审敛法知由比较审敛法知 1 n n u 1 2 n n v 均收敛均收敛 1 2 sin n n n 级数级数 1 sin 22 nn n un Q解解 例例2 sin 1 2 n n n 绝对收敛绝对收敛即即 1 1 2收敛 收敛而而 n n 1 2 sin n n n 收敛收敛 条件收敛 绝对收敛还是发散 条件收敛 绝对收敛还是发散 判定交错级数 判定交错级数 1 10 1 n n n n 的敛散性 的敛散性 例例3 解解 n n nn uv n n u 1 10 绝对收敛性绝对收敛性 o 1 10 n n uv nn Q 1 10 1 n n 10 1 1 发散发散而而 n n 发散 发散 1n n v nf 令令 10 n n un 0 10 x x x xf 2 10 10 2 1 x xx x xfQ 2 10 2 10 xx x 10 0 条件收敛性条件收敛性 o 2 分析分析 10 n n un需判定需判定递减 趋于零递减 趋于零 时时 故当故当10 n 1 nfnf n n n n uu 是否收敛时 要考察是否收敛时 要考察 un 是否单调减少 通常 有以下 是否单调减少 通常 有以下三种三种方法 方法 比值法比值法 o 1 1 1 Nn u u n n 差值法差值法 o 2 0 1 Nnuu nn 函数法函数法 o 3由由un找一个可导函数找一个可导函数f x n unf 使使 0 u u n n n 1lim u n n n 或 则级数 或 则级数 1 发散发散 n n u 1 发散且发散且 n n u 1lim 1 u u n n n 由由 1 Nnuu nn 可得可得 0lim n n u于是于是 0lim n n u从而从而 1 发散故 发散故 n n u 发散 发散 1n n u发散 发散 1n n u说明说明 用比值法或 根值法判 用比值法或 根值法判 证证 11 n n n n n n n n Q n n nu u 1 lim 又又 n nn 1 1 lim 知知 由定理由定理9 11 散散 收敛 条件收敛还是发是绝对级数 收敛 条件收敛还是发是绝对级数 1 n n n n 例例4 解解 n n n n n n n 1 1 lim 1 1 e 1 发散 发散 n n n n 11 发散发散 n n n n n n n n 比值法判定比值法判定 分别为分别为 3 绝对收敛级数性质绝对收敛级数性质 性质性质1 交换律交换律 S 则则逐项相乘逐项相乘 jiv u 1n n w 并按并按任意顺序任意顺序排列 也绝对收敛 排列 也绝对收敛 1n n v 1n n u与与设设都绝对收敛都绝对收敛 S 其和为 绝对收敛级数不因 其和为 绝对收敛级数不因改变项的位置改变项的位置 而改变其和而改变其和 性质性质2 分配律分配律 其和 得到的级数 其和 得到的级数 1n n v 1n n u故故 1 1121 n nnn vuvuvuL S 柯西乘积柯西乘积 1 利用部分和极限利用部分和极限 3 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法 0lim n n u 比值审敛法 根值审敛法 比较审敛法 比值审敛法 根值审敛法 比较审敛法 内容小结内容小结 任意项级数审敛法 任意项级数审敛法 2 利用收敛的必要条件利用收敛的必要条件 发散发散 不存在不存在 S Sn n lim 发散 收敛 发散 收敛 收敛判收敛判 1n n u收敛收敛 1n n u 发散判发散判 1n n u发散发散 1n n u 4 莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法 收敛交错级数收敛交错级数 n n nu 1 1 由正项级数由正项级数 1n n u 收敛收敛 能否推出能否推出 1 2 n n u 收敛收敛 解解1 n n nu u2 lim 因因 n n u lim 0 由比较法知由比较法知 1 2 n n u 收敛收敛 注意注意反之不成立反之不成立 例如例如 1 2 1 nn 收敛收敛 1 1 n n 发散发散 思考题思考题 解解2 00 n u由由 1Nnun p n p n p 收敛收敛 故故 1 cos n p n nx 例例2 1 是绝对收敛是绝对收敛 级数级数1 cos 1 p n nx n p 条件收敛还是发散条件收敛还是发散 cos 1 绝对收敛从而 绝对收敛从而 n p n nx 例例2 2 证明证明 1 4 sin n n n 证证 1 1sin 44 nn n 因 因 而而 1 4 1 n n 收敛收敛 1 4 sin n n n 故故 收敛收敛 因此因此 1 4 sin n n n 绝对收敛绝对收敛 绝对收敛绝对收敛 2 n n e n u 令 令 n n nu u 1 lim 因因 lim n 1 2 1 n e n n e n 2 2 11 lim n n en 1 1 n n x n x 例例3 1 解解 n x u n n sin1 因因 n n x 发散发散 而而 1n n x 发散发散 1n n u n x sin 由比较法知由比较法知 故原级数非绝对收敛故原级数非绝对收敛 0sinlim n x n 且且 是 故是 故 x n n x n n 2 sin1 1 莱布尼茨交错级数莱布尼茨交错级数 x n n x n x2 1 sinsin又又 因此条件收敛因此条件收敛 例例3 2 3 2 1 0L nu n 设设