M-5 第五章 点源函数及其应用方法.doc

第五章 点源函数方法在不定常渗流力学理论中，点源或点汇是相对于介质而言的。点汇是指多孔介质中存在某一数学点，一定质量的流体流向这一点并在这一点上消失，即介质外存在抽取。与之相反的是点源，指一定质量的流体由这一数学点产生并扩散出去，即介质外存在注入。由于通常的渗流控制方程的解满足于叠加原理，所以用点源或点汇解决渗流问题很有效，求解点源或点汇的压力分布是基本问题之一。由于点源与点汇所引起的数学问题求解时具有等价性（流量相差一个符号），所以按习惯我们通称为点源问题。点源函数的思想起源于十九世纪下半叶（Lord Kelvin 1880）的热传导理论，在二十世纪三十年代被物理学家广泛使用。点源的方法就是应用Green函数方法求解不定常问题。由于多孔介质中流体的渗流和固体中的热传导在数学模型上相似，所以通过类比，可将关于热传导的许多研究成果直接引入渗流力学中。Hantush等人（1955）解决了带型区域边水不稳定漏失问题，Nisle（1958）在研究部分射开井的压力恢复特征时就引用了热传导理论中关于点源函数的应用结果。Gringarten和Ramey（1973）对于点源函数方法有过详细的推广和说明，其结果对研究不稳定压力分析方面产生了深远的影响，而Ozkan和Raghavan（1991）又在Laplace变换空间重新求解了点源问题，并拓展到双重孔隙介质。本章首先阐述经典渗流方式下的基本点源函数，然后考虑双重孔隙介质、补给边界等复杂情形，最后给出应用实例。5.1基本点源函数q0z图5-2-1 一维渗流物理示意图zw通过求解一维无界区域有直线源的不定常渗流问题，结果能够得到了一维点源函数解式。为以后引用方便，本节直接推演有量纲不定常渗流数学模型及其解。5.1.1直线瞬时点源函数问题：在无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为z，考虑有一强度恒为q0（单位长度流量）的无限长直线汇（比如无限长垂直裂缝），在t = 0时刻发生一维单向不稳定线性渗流，控制方程组给出如下：；这里，规定函数有如下性质：求解：经过Laplace控制方程变为：，考虑到边界条件，显然变换后的控制方程组有如下解式：经过Laplace反变换可得：， 特别地，当q0=fct时有瞬时Green源函数：由上式可以看出在不稳定渗流场中Green源函数的意义压降速度。对于持续点源可由同样的方法或由Duhamel原理得到： 上式是一个用Green源函数求解持续源不定常渗流问题的通式。5.1.2平面瞬时点源函数在平面无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为hr，考虑有一强度恒为q0（单位厚度流量）的平面瞬时点汇，在t = 0时刻发生一维不稳定径向渗流，取极坐标系，将平面点汇其表示为一个半径很小的小圆，压力扰动传播满足下列方程组：；求解：对以上各方程式进行Laplace变换，依律可得到如下方程组：，可得：，类似地，当q0=fct时有瞬时Green源函数：在各向同性条件下（各向异性可以通过坐标变换处理），上式可以直接分解：由此可见，在一定条件下，二维渗流问题可以分解为两个一维渗流问题。对于平面持续点源问题，通过积分得到（Q = q0 h）：上式正是用Bolzmann变换方法得到的幂积分函数解式。5.1.3空间瞬时点源函数在三维无界均质地层中，初始时刻压力分布均匀、扩散系数为r，考虑有一强度恒为q0的空间瞬时点汇，在t = 0时刻发生一维不稳定径向渗流，取球坐标，将空间点汇表示为一个半径很小很小的小球，其不定常渗流控制方程组为：，通过Laplace变换得到：，当q0 =ct时有瞬时Green源函数：在各向同性条件下（各向异性可以通过坐标变换处理），上式可以直接分解：可见，在一定条件下，三维渗流问题可以分解为三个一维渗流问题，由此可以体会到用一维点源函数解决多维渗流问题的途径。对于空间持续点源问题，亦可以通过积分得到（q(t) = q）：如果沿方向对上式作无穷积分，可得到平面径向流幂积分函数特例解式：此式说明传统的平面径向渗流问题是三维渗流问题的一种简化。5.1.4分维瞬时点源函数分数维是对传统的Euclidian整数维空间的广义化。用分维空间描述多孔介质，是近年来渗流力学理论的一个新发展。美国数学家Mandelbrot（1982）最早采用分数维描述自然现象中的非线性特征，后来发展成分形学。Oshaughnessy（1985）等人首先研究了分形体中扩散的理论问题，他给出了分形介质的孔隙度和渗透率的分布公式。Chang（1990）等人将Oshaughnessy的研究结果应用于分形介质中的压力动态分析中。刘慈群（1995）的研究结果对分形介质中孔隙度、渗透率的分布公式有所改进，浓缩了分形介质的意义。分形比较适合于描述多孔介质的横向非均质以及天然裂缝系统的分布等类问题。传统的描述方法一般将介质层内的渗透律、孔隙度等物理参数假设为一个常量，应用分形将有些物理参数推演成为位置坐标的函数。对于带有天然裂缝的介质来说，描述裂缝系统的方法有若干种，Warren-Root方法是其中之一。问题是，以往的描述方法多数都没有考虑裂缝密度问题。如果裂缝密度比较大而且又是各向同性的，那么用三维模式描述它可能比较恰当，如果裂缝密度比较小同时又具有很强的各向异性，那么一维或二维模式也可能很好。对于裂缝密度既不大又不很小的情况，我们有理由采用分维模式来描述裂缝系统中的渗流问题。本节建立一种新的广义点源数学模型，讨论一种广义不定常渗流问题，它考虑了在三维空间中的分数维Darcy渗流情形，通过Laplace变换及解析反演方法给出模型解式。对于Darcy渗流情形，考虑等强度汇q0（单位分维厚度h3-v上的流量）引起的不稳定渗流过程，给出v维不定常渗流控制方程组为：，以上诸式描述了空间v维流动的不定常渗流点源问题，求得其压力分布解式为：当q0 = fct时有瞬时Green源函数：显然，上式具有很强的概括性，当v为非零整数（v = 1、2、3）时，它体现了已有的点源基本解式。当v为分数时，它表明了一种分维渗流。对于典型的一维渗流、径向渗流、球形渗流及分维渗流，基本点源函数总结如下表：表2-1 无界油藏中基本点源函数一维渗流径向渗流球向渗流分维渗流1235.2某些复杂的点源函数应用Laplace变换及其数值反演解法能够方便地解决双重孔隙介质渗流问题，又可以解析地包含井筒存储效应。Ozkan和Raghavan（1991）通过应用Warren-Root（1963）模型将现有的点源诸解式延伸到双重孔隙介质中，使得点源方法的应用范围进一步拓宽。5.2.1双孔介质空间点源问题在球坐标中，不定常渗流控制方程组为：，；以上偏微分方程组描述了空间点源在双重孔隙介质拟稳态窜流情形下的不定常渗流问题。对以上各方程式进行Laplace变换，依律可得到如下方程组：，求解上述问题，可得：这一公式虽然不易得到实时域结果，但它是一般双重孔隙介质三维不定常渗流问题的基本解元，可以在Laplace空间中完成直线边界镜像反演等推演，有良好的应用前景。在特殊情况下，令：，可以简化为均匀介质情形：这一结果前文已经给出过。5.2.2点源函数的镜像反演直线边界问题对于直线断层或者直线定压边界类的经典问题，一般可以通过简单的镜像反演方法得到其压力分布公式。以两条平行断层为例，已有无界地层的瞬时点源函数为：（1）对于宽为h的两条平行直线断层形成的地层镜像反演，井位为2nh xw：利用Possion求和公式：变形为：（2）对宽为h的一条直线定压边界和一条直线断层所形成的混合边界条带地层做镜像反演：利用Possion求和公式变形：（3）对于宽为h的两条直线定压边界地层做镜像反演：利用Possion求和公式变形：在实际应用中，由镜像反演直接得到的解式适用于时间较小的情形，而经过Possion求和变形后的公式适合于时间较大的情形，在推演过程中注意选择。不尽人意的是，虽然应用点源函数能够很方便地构造解式，但有时需要依靠数值褶积方法近似加入井筒存储的影响，那样则必须计算多个无穷函数序列或数值积分，如果处理不好则计算速度较慢。另外，镜像反演方法只能解决经典的直线边界问题，而对于渗透性的边界镜像反演无能为力，必须重新构建模型，寻找新的、合适的点源函数。5.2.3封闭补给型平行边界模型为以后引用方便，我们直接推演有量纲的一维不稳定渗流控制方程及其初、边值条件。在如图1所示的问题中，不稳定渗流控制方程组给出如下（王晓冬 1998）：， 式中，函数具有如下性质：，其他符号含义为：P为压差；t为时间；z为位置坐标；m 为流体粘度；kz为z方向渗透率；hz为扩散系数，定义为hz=kz /fmct；h是介质厚度；q是流量；是弱渗透系数，定义为：，它表示了补给边界的相对渗透能力。利用Laplace变换和Fourier有限余弦变换，可得如上问题的解。定义Laplace正变换式： 定义Fourier有限余弦变换对： ，这里，是范数，定义为： 经过Laplace和Fourier有限余弦积分变换，控制方程变为： 同时，有特征方程： 通过特征方程，可以简化为 显然，变换后的控制方程有如下解式： 经过Laplace反变换和Fourier有限余弦积分反变换，可得： 这里瞬时源函数， 上式既是我们所要求的第一类点源函数，它是一个概括型解式，根据渗透系数的取值进行讨论，它包括如下特殊结果：（1）当0时，（17）式表示封闭封闭边界情形，瞬时源函数退化为： （2）当时，（17）式表示封闭定压边界情形，瞬时源函数退化为： （3）当0 时，（17）式表示封闭弱补给边界情形，瞬时源函数变为： (1-20)上式是一个新的基本解式，通过以上讨论对比可以体现本节所导出的瞬时源函数的新意。5.2.4定压补给型边界模型 在第一类控制方程组中换边界条件（3）为： 类似地，可以得到第二类问题的解。其对应的特征方程为： 而瞬时源函数则是： 上式是我们所要求的第二类点源函数，它也是一个概括型解式，根据渗透系数的取值进行讨论，它包括如下特殊结果：（1）当0时，数学模型条件式表示定压封闭边界情形，瞬时源函数则退化为：式（18）和式（24）是等价的，只是边界坐标位置不同。（2）当时，数学模型条件式表示定压强补给边界情形，瞬时源函数则退化为（Gringarten和Ramey 1973）： （3）当0 时，数学模型条件式表示定压弱补给边界情形，瞬时源函数变为： 上式亦是一个新的基本解式，把传统的直线定压、封闭边界条件进一步扩展为补给边界，在理论上，它们反应了两类不稳定渗流问题的物理规律。5.2.5双补给型边界模型 考虑两个边界都有补给的情况，显然，这一模型是前面问题的综合概括。不稳定渗流控制方程组给出如下： ；其他符号含义为：P为压差；t为时间；z为位置坐标；m 为流体粘度；kz为z方向渗透率；hz为扩散系数，定义为hz=kz /fmct；h是介质厚度；q是流量；j是渗透系数，定义为： ，它表示了补给边界的相对渗透能力。定义Fourier复合有限积分变换对： 经过Laplace和Fourier复合有限积分变换，控制方程变为： 同时，有特征方程和范数： ，显然，变换后的控制方程有如下解式： 经过Laplace反变换和Fourier有限余弦积分反变换，可得： 这里瞬时源函数 这是一个综合型解式，计算中需要在给定j后迭代求解特征方程。5.3用点源求解不定常渗流问题一般方法用点源求解不定常渗流问题一般方法是Newmann乘积方法，这是一种比较古老的方法，Newmann（1936）在求解矩形固体中的温度分布问题时使用的。这种方法对于求解初始条件为常数或单个空间变量乘积型函数、边界条件可分离的热传导型渗流偏微分方程很有效。以下举例说明这种方法。型如偏微分方程：，初值条件：边值条件：，；，其中，、是常数，、是边界位置。按Newmann方法，有如下解式：这里，满足以下问题：，；，在Newman乘积之后，才有了如下瞬时点源乘积解式：在实际应用中，由Gringarten和Ramey（1973）的结果能够很方便地构造线源解式，但需要依靠数值褶积方法，近似加入井筒存储的影响，有时还要处理多个无穷序列或数值积分，其计算速度较慢。5.4应用实例实例一：矩形封闭地层中一口直井今有长为xe、宽为ye、高为h的箱形封闭均质地层，一口常产量生产井位于（xw，yw）处，试根据点源函数方法给出地层压力分布。压力分布根据5.3节，压力分布公式为：其中各维的点源函数为：，上式的另一种等价表达式为：更通用的形式：计算上式需要在给定值后迭代求解特征方程。无量纲化 无量纲式定义（SI单位制），A为矩形泄流面积：；，；在常产量条件下褶积退化，整理为：图5-4-1 矩形地层井壁压力曲线井壁压力计算结果如图1-3所示，其中渗透系数 J = 0 的曲线表示全封闭矩形油藏，压力诊断曲线晚期显示出拟稳态渗流特征；J 则表示矩形油藏存在一条定压边界，压力诊断曲线晚期显示出稳态特征；而当0 J 300），沿裂缝流动过程中的压力损失可以忽略不计。无量纲化定义无量纲式（SI 单位制）：；，其中，hx = hy，xw、yw为井位坐标；xe、ye为矩形的长和宽。压力分布问题压力分布：x方向瞬时源函数：y方向瞬时点源函数：；无限导流裂缝压力分布通解：如果y-ywD = 0 则：长时近似： ， 均匀流量裂缝将压力分布岩裂缝取积分平均：计算结果如图所示。实例三：无限导流水平井水平井的渗流理论与直井、垂直裂缝井相比要复杂得多，因为研究水平井的渗流问题有时必须考虑三维介质、六个外边界面、有汇区分布情形。水平井问题Green-Newman解法Sz(z,t)hzw2Lh2LSy(y,t)zwxzySx(x,t)S(x,y,z,t)无量纲量采用SI单位制定义无量纲量：；水平无限延伸地层数学模型利用已有的Gringarten和Ramey（1973）的瞬时点源函数式直接构造了实时域解式，采用沿着水平井段取积分平均的方法解决了测压点的选取问题。物理模型和Green-Newman解法思路如图所示：有量纲解式：式中：无量纲解式：式中：井壁压力条件为：计算典型曲线时，积分平均SxD (xD,tD)以解决测压点选取问题，采用Gauss公式计算积分，采用数值反褶积考虑井筒存储效应，采用有效井径模型考虑机械表皮效应。箱式封闭地层数学模型箱式封闭介质中均匀流量水平井的三维不定常渗流问题相对复杂一些。物理模型和Green-Newman解法思路如图所示：xwxw各向异性介质箱式封闭地层水平井问题Green-Newman解法Sz(z,t)hzwYe2LxzhyXe2LS(x,y,z,t)YeSy(y,t)Sx(x,t)Xezwywyw无量纲解式：式中：由于数学模型中考虑了三维流动，在箱式封闭介质中影响水平井井壁压力的参数相对多一些。井壁压力计算条件应满足如下方程：根据这一条件可以得到井壁压力分布方程。箱式封闭介质中水平井井壁压力动态表现形式比较复杂，具体可划分为当LD较小时：井筒存储段初期径向流球形流（线性流）（中期径向流）（半径向流）（晚期线性流）拟稳态；而当LD较大时：井筒存储段初期径向流中期线性流（中期径向流）（半径向流）（晚期线性流）拟稳态。附录F-1 函数渗流力学常用函数表示时间脉冲或者位置点源。事实上，根据实际应用的需要，可以用多种不同方式诠释函数的意义。本节阐述一般意义下的函数。函数的定义在三维空间中，设动点和定点的直角坐标各为r = (x, y , z)和rw = (xw, yw , zw)，定义：并且，称算符(r)为函数。显然函数不符合经典函数的定义，它没有经典意义下的“函数值”，但它是经典函数的极限，在积分号下经过积分运算之后可以给出函数值。函数可以用经典函数的极限表示，例如一维函数：其中，常见的经典函数有：（1）（2）（3）（4）但需要注意，函数的这种极限表示应当理解为经过积分计算后的极限过程，例如：如果不经过积分运算就取极限，则：这样的极限没有什么应用价值。函数常用性质可以证明，函数有下列运算性质：（1）自变量倍数归零，任意x （2）自变量代数运算，当= -1时，可以说明函数为奇函数；（3）积分运算，对任何一个在x = xw点连续的函数 f (x) 有：（4）求导运算，对任何一个在x = xw点具有n阶连续导数的函数f (x)，有：（5）如果用函数表示时间脉冲，由于时间的非负性，有时需要对其运算重新规定，但仍然具有上述性质。例如，函数f (t)定义在为非负时域中，对任何一个在t = 0点右连续的函数f (t)，根据运算性质（3）可以明确规定：据此，函数的Laplace变换为：这一性质将在描述和求解点源不稳定渗流数学模型中用到。（6）函数的量纲由下式可以看出：在这种定义下的函数具有自变量倒数量纲。F-2 Bessell函数积分1. 关于Bessell函数积分的有关公式（Abramowitz和Stegun，1972）：（1）；（2）（3）若D(v)是零阶修正Bessel函数，则它是零阶修正Bessel方程的解，代入方程有：将上式两边同时积分，可得：，联立上述结果有：这一结果可以用于Bessel积分简化：2. Laplace变换公式（Carslaw & Jaeger，1959）（1）（2）（3）如果，则参考文献Abramowitz, M. And Stegun, I. A.: “Handbook of Mathematical Functions,” Dover Publications, Inc., New York, 1972.Barker, J.: “A Generalized Radial Flow Model for Hydraulic Tests in Fissured Rock,” Paper 88WR03042, W. R. R. (1988).Carslaw H. S., Jaeger J. C.: “Conduction Heat in Solids,” Oxford at the Clarendon Press, 1959, P494-496.Chang J. et al.: “Pressure-transient analysis of fractal reservoirs,” Paper SPE 18170, (1990).Gringarten A. C. & Ramey H. J. JR.: “Unsteady-State Pressure Distributions Created by a Well With a Single H