第18讲 垂径定理及其推论.doc

第18讲 垂径定理及其推论一、学习目标1通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念.2结合图形认识和理解弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧、等圆和等弧等概念.3. 通过折叠操作得出垂径定理及其推论，通过推理的方式说明结论的正确性，会运用垂径定理或逆定理解决实际问题.考情分析垂径定理及其推论是中考必考知识，常常与直角三角形、等腰三角形等一起考查.与圆有关的计算中，经常利用“垂直于弦的直径平分这条弦”添加辅助线（半径或弦心距），构造直角三角形，运用勾股定理计算有关线段长度.二、基础知识轻松学1.圆的基本概念（1）圆的定义：在一个平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.【精讲】圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，即同一个圆上所有的点到定点的距离等于定长，反过来，到定点的距离等于定长的所有的点都在同一个圆上；圆是一条封闭的曲线（圆周），而不是圆面.（2）相关概念连结圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧.【精讲】直径是圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是一种特殊的弧，但弧不一定是半圆.（3）关于等圆、等弧能够重合的两个圆叫做等圆.能重合的两条弧叫做等弧. 【精讲】等圆是两个半径相等的圆；等弧存在于同圆或等圆；长度相等的弧不一定是等弧（等弧的半径相等、过弧的两端的半径所夹的角也相等）.2.圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.3.垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.【精讲】垂径定理和推论可以理解为一条直线涉及五个特征：垂直于弦、经过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，只要具备这五个中的任意两个条件，就可得出其余三个结论.三、重难疑点轻松破1.运用垂径定理及推论进行有关的判断运用垂径定理可以得出直径所分弦所成的两条相等的线段，两组相等的弧；运用垂径定理的推论可知经过圆心、平分非直径弦的直线与这条弦的位置关系垂直，两组相等的弧；根据圆的轴对称性可知，弧的中点与弦的中点所在直线一定经过圆心，所以这条直线也是弧、弦所构成的弓形的对称轴，进行有关判断时，注意将垂径定理、推论和圆的轴对称性综合运用.例1如图18-1，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论一定正确的个数有CEDE；BEOE；CABDAB；ACAD。（ ）A4个 B3个 C2个 D1个 答案：A解析：AB是O的直径，弦CDAB于点E，根据垂径定理可得CEDE，；从而可知AB垂直平分弦CD，根据线段的垂直平分线定理可知ACAD；所以ACD是等腰三角形，由三线合一的性质即可判定CABDAB；根据所给条件无法判断BEOE的正确性，四个结论正确.点评：本题考查垂径定理，解决本题关键是利用垂径定理，证明两线段相等、两条弧相等，在此基础上利用线段的垂直平分线性质定理证明两条线段的等量关系，继而构造了等腰三角形，运用三线合一的性质说明两角的数量关系 图18-1 图18-2 变式1 如图18-2 ，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中正确的个数是（ ）ABCD ， APD=BPD， ，A4个 B3个 C2个 D1个2.根据垂径定理构造直角三角形进行有关计算过圆心作弦的垂线，这时圆心到弦之间的垂线段、弦、过弦的端点的半径构成了直角三角形，在进行弦长、半径的有关计算时，往往应用垂径定理和勾股定理来解决. 如图18-3，在a、r、d、h四个量中，存在关系式r=d+h，利用这两个关系式，知道其中任何两个量，就可以求出其余两个量 图18-3 图18-4 图18-5例2已知：如图18-4，AB是O的直径，弦CDAB于P，CD10cm，APPB15求O的半径解析：连接OC.APPB15，设APx，PB5x，ABAPPB6x，直径AB弦CD，PCPDCD5cm，OCOA3x，PO2x，在RtPOC中，根据勾股定理，得OC2PC2OP2（3x）252（2x）2解方程，得x，x不合题意，舍去O的半径为3cm点评：本题运用了方程思想和构造法，已知弦长和直径被分两段比，作过弦的端点的半径，构造出一个直角三角形，设一条边为未知数，利用勾股定理列方程，使问题顺利解决变式2 如图18-5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱的半径为13米，则拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）为（ ） A5米 B8米 C7米 D5米 四、课时作业轻松练A.基础题组1.下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦 B垂直于弦的直线必过圆心 C垂直于弦的直径平分弦 D平分弦的直径平分弦所对的弧 2.（2013长宁区一模）如图18-6，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）A正方形 B长方形 C菱形 D梯形 图18-6 图18-7 图18-83.（2013佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.D.4.如图18-7，AB是O的弦，AB长为8，P是O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OCAP于点C，ODPB于点D，则CD的长为 5.如图18-8，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB，则O的半径为 .B.中档题组6.下列说法中，正确的有 .半圆是弧；弧是半圆；半径不是弦；两条半径组成一条直径；直径是弦，弦也是直径；圆中最长的弦是直径；过圆心的直线叫做直径.7.如图18-9，AB是O的直径，弧BC度数是60，D是劣弧BC的中点，P是AB上的动点，若O的半径为1，则PC+PD的最小值是 . 8.如图18-10，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米（1）求这座拱桥所在圆的半径（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由 图18-9 图18-10 图18-11中考试题初体验1.（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图18-11，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m2.（2013广州）如图18-12，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P的半径为，则点P的坐标为 _. 图18-12 图18-133.（2013湖南邵阳）如图18-13，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB3m，弓形的高EF1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径r五、我的错题本参考答案变式练习变式1. A 解析：P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，运用垂径定理的推论，即可推出ABCD，正确；运用垂直定义APD=BPD=90，正确；平分弦所对的弧，即 ，正确，同理，因此，正确.变式2.B解析：延长CD，设圆心是点O，连接OA，根据垂径定理、勾股定理计算即可；AD=BD=12，设圆的半径是x，则OD=5，因此CD=OCOD=135=8.课堂作业A.基础题组1.C解析：A、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、弦的垂线有多条，不一定过圆心哦，故本选项错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；D、平分弦（弦不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误2. C解析：因为OCAC，根据垂径定理可知AD=BD，所以OA=OB，CA=CB；因为弦AB垂直平分半径OC，所以OA=AC，所以OA=OB=CB=CC，则四边形OACB是菱形3.C 解析：如答图18-1，过点O作ODAB于点D，OB=3，AB=3，ODAB，由垂径定理BD=AB=4=2，在RtBOD中，OD=4.4解析：OCAP，ODPB，由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，CD是APB的中位线，CD=AB=8=4.5. 解析：根据垂径定理的推论“垂直于弦（不是直径）的直径平分弦”求出弦的一半，然后连半径AO构造直角三角形，用勾股定理计算半径.设O的半径为r，则r2=（）2（）2，r= 答图18-1 答图18-2 答图18-3B.中档题组6. 解析：弧有优弧、半圆、劣弧之分，其中半圆是特殊的弧；半径的两个端点不都在圆上，它不是弦；当两条半径在同一条直线上时，才能组成一条直径；直径是过圆心的弦，即是一条端点在圆上的线段，此时的弦最长，但是弦不一定过圆心.7. 解析：如答图18-2，作D点关于AB的对称点E，连CE交AB于P点，弧BC度数是60，D是劣弧BC的中点，弧DC=弧BD=弧BE=30，CDE=90，CE是PD+PC的最小值又OC=OE，COE为等腰直角三角形OE=OC=1，CE=PD+PC的最小值为8.解析：（1）如答图18-3，连接OA，根据题意得：CD=4米，AB=12米，则AD=AB=6（米），设这座拱桥所在圆的半径为x米，则OA=OC=x米，OD=OC-CD=（x-4）米，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，则x2=（x-4）2+62，解得：x=6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5米（2）货船能顺利通过这座拱桥理由：连接OM，设MN=5米，OCMN，MH=MN=2.5（米），在RtOMH中，OH= =6（米），OD=OC-CD=6.5-4=2.5（米），OH-OD=6-2.5=3.5（米）3.6米，货船不能顺利通过这座拱桥