第一章矢量分析与场论.ppt

矢量分析 矢量的概念及运算 矢量微分元 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 一 矢量的概念及运算 1 概念 矢量 Vector 标量 Scalar 常矢量 模和方向保持不变的矢量 如重力 空 零矢量 大小为零 方向任意 单位矢量 大小为1 位置矢量 从原点指向点P的矢量 逆矢量 通常矢量称为矢量的逆矢量 两者大小 方向相反 2 矢量的运算 1 加法和减法 任意两个矢量与相加等于两个矢量对应分量相加 它们的和仍然为矢量 加减法服从交换律和结合律 常用作图的方法来求矢量的加减法 2 乘积运算 标量与矢量的乘积 两个矢量的标量积 两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量方向上的投影与另一个矢量模的乘积 结果是个标量 两矢量点积等于对应分量的乘积之和 两矢量点积满足交换律和分配律 当两个非零矢量点积为零 则这两个矢量必正交 两个矢量的矢量积 两矢量叉积 结果得一新矢量 其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积 方向为该面的法线方向 且三者符合右手螺旋法则 两矢量叉积满足分配律 但不满足交换律和结合律 当两个非零矢量叉积为零 则这两个矢量必平行 在直角坐标系中 两矢量的叉积运算可以用行列式表示 三个矢量的乘积 标量 标量三重积 矢量 矢量三重积 注意 先后轮换次序 混合积 在矢量运算中 先算叉积 后算点积 矢量三重积 教材的1 8节给出了一些常用的矢量恒等式 以供参考 3 两个算子 1 哈米尔顿 Hamilton 算子 为了方便 我们引入一个矢性微分算子 在曲线坐标系中有 称之为哈米尔顿算子 记为 式中 和分别是坐标轴 和的单位矢量 和为坐标系的拉梅系数 例如在直角坐标系中 具有矢量和微分算子的双重特性 2 拉普拉斯 Laplace 算子 属于一阶微分算子 而在场论的研究中还会用到二阶微分算子 即拉普拉斯算子 显然 它是一个标量算子 例如在直角坐标系中 二 矢量微分元 1 直角坐标系 基本变量 位置矢量 单位矢量 面元 坐标面 三个平面 微分元 线元 体积元 1 常用坐标系 2 圆柱坐标系 基本变量 r是位置矢量R在xoy面上的投影 是从 x轴到r的夹角 z是R在z轴上的投影 位置矢量 单位矢量 分别指向 r 和z增加的方向 应该指出 圆柱坐标系中的三个单位矢量除外 和都不是常矢量 它们的方向随P点的位置不同而变化 但三者始终保持正交关系 并遵循右手螺旋法则 坐标面 表示一个以z轴作轴线的半径为r的圆柱面 表示一个平行于xoy平面的平面 表示一个以z轴为界的半平面 z 常数 如同直角坐标系一样 圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面 但是它们不再都是平面 微分元 面元 线元 体积元 3 球坐标系 基本变量 R是位置矢量的大小 是从 x轴到在xoy面上的投影之间的夹角 是与z轴的夹角 位置矢量 单位矢量 的方向指向矢径延伸的方向 的方向垂直于矢径 并在矢径和z轴组成的平面内 指向 增大的方向 的方向垂直于上述平面 指向增大的方向 三者都不是常矢量 但两两正交 遵循右手螺旋法则 坐标面 表示一个半径为R的球面 表示一个以原点为顶点 以z轴为轴线的圆锥面 表示一个以z轴为界的半平面 常数 如同直角坐标系一样 球坐标系也具有三个相互垂直的坐标面 但是它们不再都是平面 微分元 面元 线元 体积元 2 矢量在不同坐标系之间的变换 圆柱坐标系 1 基本变量之间的转换 直角坐标系 2 矢量函数之间的转换 设矢量在直角坐标系中可表示为 而其在圆柱坐标系中可表示为 下面我们要做的工作就是推导出同一矢量在两种不同坐标系下的转换关系 已知 x y 由图可知 所以得 或 球坐标系 直角坐标系 1 基本变量之间的转换 或 2 矢量函数之间的转换 三 标量场的梯度 1 标量场的等值面 一个标量场 可以用一个标量函数来表示 在直角坐标系中 可将 表示为 x y z 对于标量场 常用等值面来描述 所谓等值面 是指在标量场 x y z 中 使u取相同数值的所有点组成的曲面 x y z C C为任意常数 标量场 x y z 的等值面方程为 在几何上一般表示一个曲面 在这个曲面上的各点 虽然坐标 x y z 不同 但函数值相等 称此曲面为标量场 的等值面 随着C的取值不同 得到一系列不同的等值面 2 方向导数 设P为标量场中的一点 设在某一时刻 在该场中取相邻的两个等值面 函数值分别为和 由等值面上的P点出发 引出一条射线 到达等值面上的P1点 记为 如果当时 的极限存在 则称此极限为函数在P点沿方向的方向导数 方向导数是函数在P处沿方向对距离的变化率 沿l方向增大 沿l方向减小 在直角坐标系中 设函数在P x y z 处可微 则有 式中 cos cos cos 为l方向的方向余弦 3 标量场的梯度 1 定义 标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数 其方向为该点所在等值面的法线方向 直角坐标系中梯度的表达式为 理解 标量函数 在P点沿的方向导数等于梯度在该方向上的投影 标量场的梯度是一个矢量 其大小是方向导数的最大值 即 的最大空间变化率 0 例三维高度场的梯度 例电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直 数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直 指向电位增加的方向 数值等于该点的最大方向导数 四 矢量场的散度 1 矢量场的矢量线 矢量场空间中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数F F P 来表示 当选定了直角坐标系后 它就可以写成如下形式 对于矢量场F x y z 可以用一些有向曲线来形象的表示F在空间的分布 称为矢量线 ectorLine 在曲线上的每一点处 场矢量都位于该点处的切线上 如图示 像静电场的电力线 磁场的磁力线 流速场中的流线等 都是矢量线的例子 2 矢量场的通量 将曲面的一个面元用来表示 其方向取面元的法线方向 即 的指向有两种情况 在矢量场F中取一个面元dS及该面元的法向单位矢量n 由于所取的面元dS很小 因此可认为在面元上各点矢量场F的值相同 F与面元dS的标量积称为矢量场F穿过dS的通量 lux 即 F 因此矢量场F穿过整个曲面S的通量为 如果S是一个闭曲面 则通过闭合曲面的总通量可表示为 净通量 流出 流入 0 有正源 0 有负源 0 无源 若S为闭合曲面 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质 设有矢量场F 在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S 设S所限定的体积为 V 当体积 V以任意方式缩向P点时 取下列极限 3 矢量场的散度 如果上式的极限存在 则称此极限为矢量场A在点P处的散度 Divergence 记作 在直角坐标系中 散度的表达式为 散度代表矢量场的通量源的分布特性 它表示场中一点处通量对体积的变化率 也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量 称为该点处源的强度 矢量的散度是一个标量 它表示从单位体积内散发出的通量 通量密度 F 0 无源 F 0 负源 F 0 正源 理解 由于是通量体密度 即穿过包围单位体积的闭合面的通量 对体积分后 为穿出闭合面S的通量 即 该公式表明了区域V中场F与边界S上的场F之间的关系 矢量函数的面积分与体积分的互换 高斯散度定理 理解 4 散度定理 1 环量 设有矢量场F l为场中的一条封闭的有向曲线 定义矢量场F环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量 Circulation 记作 环量表示矢量绕线旋转趋势的大小 注意 方向的确定 五 矢量场的旋度 矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样 都是描绘矢量场F性质的重要物理量 若矢量穿过封闭曲面的通量不为0 则表示该封闭曲面内存在通量源 同样 若矢量沿封闭曲线的环量不为0 则表示该封闭曲线内存在另一种源 漩涡源 理解 环量是一标量 其大小不仅与闭合曲线的大小有关 还取决于该曲线相对于矢量的取向 设P为矢量场中的任一点 作一个包含P点的微小面元 S 其周界为l 它的正向与面元 S的法向矢量n成右手螺旋关系 如图所示 当曲面 S在P点处保持以n为法矢不变的条件下 以任意方式缩向P点 若其极限存在 则称为矢量场在P点处沿n方向的环量面密度 2 旋度 在给定点上 上述极限对不同的面元是不同的 为此 我们引入如下定义 称为矢量场F的旋度 记为 可见 旋度是一个矢量 其大小是矢量A在给定处的最大环量面密度 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时该面元的方向 在直角坐标系中 旋度的表达式为 理解 矢量的旋度仍为矢量 是空间坐标点的函数 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值 在矢量场中 若 F 0 称之为旋度场 或涡旋场 J称为旋度源 或涡旋源 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 若矢量场处处 F 0 称之为无旋场 或保守场 3 斯托克斯 Stockes