数值分析-第8讲(正交多项式最新).ppt

数值分析 NumericalAnalysis heut liucf heut08yjs 河北理工大学HEBEIPOLYTECHNICUNIVERSITY 第三章 函数逼近 Heut lcf 函数逼近 函数逼近的基本概念 1 正交函数系的性质 正交多项式的构造 函数的最佳平方逼近 正交多项式的基本概念 Heut lcf 第1节函数逼近的基本概念 Heut lcf 函数逼近 足够的小 N维空间 Heut lcf N 1维空间 定理1 Weierstrass Heut lcf 范数与赋范空间 内积与内积空间 N维数量空间内积 Heut lcf 推而广之 Heut lcf 内积空间常用的范数为 Heut lcf 内积空间的重要结论 定理2 Cauchy Schwarz不等式 特别地 Heut lcf 定理3 Gram矩阵 Heut lcf 第2节正交多项式 Heut lcf 定义6 2 一 正交多项式的概念 Heut lcf 三角函数系 正交性 回忆傅氏级数的结论 Heut lcf Heut lcf 区间 a b 上关于权函数的正交函数系必定线性无关 证明 证毕 定理6 2 二 正交多项式的性质 Heut lcf 证明 定理6 3 Heut lcf 证毕 Heut lcf 三 正交多项式系的主要特征 Heut lcf 四 正交多项式系的构造 Heut lcf Clear x f f 0 1 f k x k Sum Integrate x k f i x 0 1 Integrate f i 2 x 0 1 f i i 0 k 1 Table f k k 0 6 N Expand N MatrixForm F i j Integrate f i f j x 0 1 Table F i j i 0 6 j 0 6 MatrixForm 程序设计 Heut lcf 请同学们写出 Heut lcf 正交性验证 Heut lcf 请同学们写出 Heut lcf 及其结构特点 五 勒让德 Legendre 正交多项式 Heut lcf Heut lcf Heut lcf 请同学们写出 3 23切夫多项式 六 切比雪夫 Chebyshev 正交多项式 Heut lcf 及其结构特点 Heut lcf Heut lcf 请同学们写出 Heut lcf 七 拉盖尔 Laguerre 正交多项式 Heut lcf 第3节函数的最佳平方逼近 Heut lcf 为定义在 a b 上的一组线性无关的连续函数 如果函数 使得 一 最佳平方逼近的概念 设函数f x 在区间 a b 上连续 Heut lcf 特别地 Heut lcf 二 最佳平方逼近函数的求解 根据多元函数取极值的必要条件得 Heut lcf 注意 Heut lcf Clear g f G f x g n x n G i j Integrate g i g j x 0 1 GF i Integrate f x g i x 0 1 A Table G i j i 0 n j 0 n MatrixForm b Table GF i i 0 n MatrixForm LinearSolve A b NF Table g i i 0 n 程序设计 Heut lcf 求在 0 1 上的一次最佳平方逼近多项式 解 Heut lcf 正规方程组为 所以在 0 1 上的一次最佳平方逼近多项式为 Heut lcf 注意 若用正交多项式 正则方程组较简单 Heut lcf 求在 0 1 上的二次最佳平方逼近多项式 首先构造正交多项式 解 Heut lcf Heut lcf Clear g f G F f x Sin Pi x g k x k Sum Integrate x k g i x 0 1 Integrate g i 2 x 0 1 g i i 0 k 1 Table g k k 0 2 MatrixForm Expand G i j Integrate g i g j x 0 1 Table G i j i 0 2 j 0 2 MatrixForm GF i Integrate f x g i x 0 1 F n Sum GF n G n n g n n 0 2 F n N Expand 程序设计 Heut lcf 求 利用已知的正交多项式系 Legendre多项式是 1 1 上正交多项式系 解 Heut lcf 正规方程组的解为 Heut lcf Clear g f G f x Exp x g n x n G i j Integrate g i g j x 1 1 GF i Integrate f x g i x 1 1 A Table G i j i 0 3 j 0 3 MatrixForm b Table GF i i 0 3 MatrixForm LinearSolve A b N F Table g i i 0 3 程序设计 Heut lcf Clear g f G F f x Exp x g k x k Sum Integrate x k g i x 1 1 Integrate g i 2 x 1 1 g i i 0 k 1 Table g k k 0 3 MatrixForm Expand G i j Integrate g i g j x 1 1 Table G i j i 0 3 j 0 3 MatrixForm GF i Integrate f x g i x 1 1 F n Sum GF n G n n g n n 0 3 F n N Expand 程序设计 Heut lcf OK That stheend Heut lcf Heut lcf 程序设计 Clear g f G F f x Sin Pi x g k x k Sum Integrate x k g i x 0 1 Integrate g i 2 x 0 1 g i i 0 k 1 Table g k k 0 2 MatrixForm Expand G i j Integrate g i g j x 0 1 Table G i j i 0 2 j 0 2 MatrixForm GF i Integrate f x g i x 0 1 F n Sum GF n G n n g n n 0 2 F n N Expand Heut lcf 程序设计 Clear g f G f x Sqrt x g n x n G i j Integrate g i g j x 0 1 GF i Integrate f x g i x 0 1 A Table G i j i 0 2 j 0 2 MatrixForm b Table GF i i 0 2 MatrixForm LinearSolve A b N F Table g i i 0 2 Heut lcf 程序设计 Heut lcf Clear g f G f x Cos Pi x g n x n G i j Integ