高考数学对接演练——立体几何(理).doc

立体几何（理）高考对接演练在高考数学试题中，立体几何（理）解答题一般位于高考数学解答题（第三大题）前4题的位置，以证明题和计算题为主，难度为中档题。基本题型是：在具体背景下，第（）小题是证明线、面关系（包括线面平行、线先垂直、线面垂直、面面垂直）；第（）小题是求角（包括线面角、二面角）或距离（主要是点到平面的距离）。 试题涉及的知识点有：平面的基本性质（三个公理和三个推论）、空间点、线、面的关系；直线和平面平行的判定与性质；平面和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定和性质；平面和平面垂直的判定和性质；空间角（包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角）；空间距离（主要是点到直线的距离）；空间向量及其应用。立体几何（理）高考对接演练【例1】（2007山东）如图，在直四棱柱中,已知，.（）设E是DC的中点，求证: ;（）求二面角的余弦值.【解】（）连结BE，则四边形DABE为正方形，且，为平行四边形，.，（）以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA = 1，则设为平面的一个法向量，由得：，取z = 1，则. 设为平面的一个法向量，由得：， 取，则.设二面角的的大小为，由于为锐角，则【例2】（2012青岛一模）如图，在梯形ABCD中，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF = 1.（1）求证：平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面 FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.【解】（1）证明：在梯形ABCD中， 因为，ABC，所以AB = 2. 由余弦定理得：所以 所以BCAC 因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCD = AC，BC平面ABCD 所以BC平面ACFE. （2）由（1）可建立如图所示空间直角坐标系。令，则，所以 设为平面MAB的一个法向量，由 ， 联立得： ，取x = 1，则， 易知是平面FCB的一个法向量所以 因为 所以当时，有最小值， 当时，有最大值. 所以 【例3】（2012青岛二模）如图，在多面体中， 四边形是 正方形，AC = AB =， ，.（）求证：面；（）求二面角的余弦值的大小.【解】（）取BC的中点E，连结AE，因为，所以，所以四边形为平行四边形， 从而，因为， 所以。 因为，所以 因为四边形为平行四边形，所以 且又因为是正方形，所以 且，故为平行四边形，所以。因为，所以。因为 ，所以，又，所以。 （）因为四边形为正方形，所以, ，所以，因为，所以 由勾股定理可得：，所以 ，因为，所以面ABC ，因为，所以由勾股定理可得：，所以 故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，则，所以，.设面的法向量为，由，令z = 1，则设面的法向量为，则则，令k = 1，则 设二面角的平面角为, 则 【例4】如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点。（）求证：BM平面PAD；（）在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【答案】（）因为M是PC的中点，取PD的中点E，则，又所以四边形ABME为平行四边形，所以BM，而，所以BM （）以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面PAD内，设，则，易知：，由， 所以，得： 由 所以 ，得： 所以，于是N是AE的中点，此时。 （）设直线PC与平面PBD所成的角为，设，则 于是 故直线PC与平面PBD所成角的正弦为. 【例5】（2011 山东 19）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面ABCD， EF/AB，FG/BC，EG/AC，AB = 2EF（）若M是线段AD的中点，求证：GM/平面ABFE；（）若，求二面角的大小【解】（）由四边形ABCD为平行四边形， ，EA平面ABCD，可得以A为坐标原点，AC，AD，AE所在直线分别为轴建立直角坐标系，设，则,xyz.由EG/AC可得: ，由FG/BC可得: ，则，而平面ABFE，所以GM/平面ABFE；（）若，设，则， ,则，设分别为平面ABF与平面CBF的法向量则，令，则，即； 又有，令，则，即。于是，则，设二面角的大小为，由题意知：故二面角的大小为。 【例6】（2012潍坊二模）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1， 侧面BB1C1C底面ABC，BC1C是等边三角形，（1）求证：；（II）设D为BB1的中点，求二面角DACB的余弦值.【解】（1）因为侧面BB1C1C底面ABC， ， 且，所以，而，xyz所以。 （II）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则 C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， ， 从而有， 易知平面BAC的法向量为， 设平面DAC的法向量为，则且，即，解得：，取，得：。设二面角DACB的大小为，则。 【例7】如图，斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面 成角，底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E在线段上， EA G B C H （）求证：侧面（）求平面与底面所成的锐二面角的余弦。 EA G B C H xyz【解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则有 ， 。 从而有：，. 于是有：，而, 所以，即，又，所以（）易知底面ABC法向量为，设平面的法向量为，则有，即，取，则，。所以。平面与底面ABC所成的锐二面角为，则 . 【例8】（2011 上海）已知正四棱柱的的底面边长为1，点F在侧棱上，,且平面FBD与底面ABCD所成的锐二面角为。（）求正四棱柱的侧棱长；（）求异面直线FB与DC之间的距离；（）求三棱锥的体积。xyz【解】（）建立如图所示空间直角坐标系，则有： 设CF = ，则。 易知底面ABCD的法向量为。 设平面FBD的法向量为，则，即，取，则，所以。 由已知：，即，求得：。所以。 设正四棱柱的测棱长为b，则，从而。 因为，所以，求得：。 （）异面直线FB与DC之间的距离。 （）. 【例9】（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。【解】【方法一：几何法】（）证明：取OB中点E，连接ME，NE又 （） ， 为异面直线AB与MD所成的角作连接MP. ，所以AB与MD所成角的大小为（），所以点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作 于点Q，又 ，于是线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离， ， 所以点B到平面OCD的距离为【方法二：向量法】作于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系 （） 设平面OCD的法向量为，则即 取，解得 （）设AB与MD所成的角为, ，Ab与MD所成角的大小为（）设点B到平面OCD的交流为d，则d为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为【例10】已知在四棱锥中，底面ABCD是矩形，且AD = 2，AB = 1， 平面ABCD， E、F分别是线段AB、BC的中点（）证明：；（）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；（）若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角 的余弦值【 解】（）由 平面ABCD，AD = 2，AB = 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 不妨令，因为，所以，即（）设平面PFD的法向量为，由，得，令z = 1，解得： 设G，而，则，要使EG平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求 （），是平面PAD的法向量，易得 又平面ABCD，是PB与平面ABCD所成的角，得，PA = 1，平面PFD的法向量为 ，故所求二面角的余弦值为 【例11】（2009 山东高考）如图，在直四棱柱ABCDABCDE A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB = 4， BC = CD = 2， AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（）证明：直线EE/平面FCC；（）求二面角BFCC的余弦值。【解法一】（）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB = 4，CD = 2，且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（）因为AB = 4,，BC = CD = 2，F是棱AB的中点，所以BF = BC = CF，BCF为正三角形，取CF的中点O，则OBCF，又因为直四棱柱ABCD-ABCD中，CC1平面ABCD，所以CC1BO，所以OB平面CC1F。过O在平面CC1F内作OPC1F，垂足为P，连接BP，则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角。在正BCF中，在RtCC1F中，OPFCC1F， ，,在RtOPF中, ，。所以二面角B-FC-C的余弦值为.【解法二】（）因为AB = 4，BC = CD = 2， F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF，BCF为正三角形，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 因为ABCD为等腰梯形，所以BAC=ABC=60，取AF的中点M,连接DM，则DMAB，所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，-1，0），F（，1，0），C（0，2，0）,C1（0，2，2），E（，0），E1（，-1，1）。所以，设平面CC1F的法向量为，则所以，取，则，所以，所以直线EE/平面FCC.（），设平面BFC1的法向量为，则，所以，取，则，,所以。由图可知二面角BFCC为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.【命题立意】本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.【例12】（2010山东高考）如图，在五棱锥PABCDE中，平面ABCDE，AB/CD，AC/ED，AE/BC，三角形PAB是等腰三角形。 （）求证：平面PCD 平面PAC； （）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （）求四棱锥PACDE的体积。（）【证】在中，因为，BC=4，所以因此，故， 所以又平面ABCDE，AB/CD， 所以又PA，AC平面PAC，且PAAC=A， 所以CD平面PAC，又平面PCD， 所以平面PCD平面PAC。（）【解法一】因为是等腰三角形，所以， 因此又AB/CD， 所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。由于CD平面PAC，在中， 所以PC=4故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离，所以B到平面PCD的距离为h = 2. 设直线PB与平面PCD所成的角为， 则，又 所以【解法二】 由（）知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以 又，因此因为AC/DE， 所以四边形ACDE是直角梯形，因为 所以 因此故 所以因此设是平面PCD的一个法向量， 则 解得 取y = 1，则得： 又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则 所以， 即直线PB与平面PCD所成的角为。（）【解】因为AC/ED，所以四边形ACDE是直角梯形因为，所以 ，因此， 故，所以，又平面ABCDE，所以【命题立意】本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 【例13】（2012淄博4月联考）如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CE为圆的弦，AE垂直于圆O的所在平面，垂足E是圆上异于C、D的点，AE =3圆O的直径为9. （I）求证：平面ABCD平面ADE： （）求二面角DBCE的平面角的正切值【解】（I）因为AE垂直于圆O所在的平面，而CD在圆O所在平面内，所以CD AE，又CD AD，所以CD 平面ADE又CD在平面ABCD内，所以平面ABCD平面ADE（）因为CD 平面ADE，所以CD DE，所以CE为圆O的直径，设正方形的边长为a，DE = b，在中和中，利用勾股定理可得： 解得：。 由已知，点B在圆O所在平面内的射影在圆O上，且四边形CDE为矩形。以D为坐标原点，分别以ED、CD所在的直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面DBC的法向量为，则 ，即 ，求得：，取，则。设平面EBC的法向量为， 则 ，即 ， 解得：，取，则。设二面角DBCE的平面角为，则，所以 。故二面角DBCE的平面角的正切值为。【例14】（2012日照一模）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BC，BC = 2AD = 4，EF = 3，AE = BE = 2，G是BC的中点。 （I）求证：AB/平面DEG； （II）求二面角CDFE的余弦值。【解】（I）因为 ADEF，EFBC， 所以ADBC. 又BC=2AD，G是BC的中点， 所以 ADBG。 所以四边形ABCD是平行四边形所以 ABDG 而AB平面DEG，DG平面DEG, 所以 AB平面DEG （）因为EF 平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB， 所以EF AE，EF BE， 又AEBE 所以EB、EF、EA两两垂直。以点E为坐标原点，EB、EF、EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则有：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）.由已知：是平面EFDA的法向量。 设平面DCF的法向量为，则有： ，即 令z = 1，得：。设二面角CDFE的大小为，则有： 即二面角CDFE的余弦值为。 【例15】（2012济南3月模考）如图,在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB = BC = AP = 2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD.（） 求证：平面PCD平面PAD；（） 求二面角G-EF-D的大小；（） 求三棱椎DPAB的体积. 【解】 （）PD平面ABCD PDCD CDAD CD平面PAD CD平面PCD 平面PCD平面PAD （） 如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz. 则有: G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1） =（0，-1，0），=（1，1，-1） 设平面EFG的法向量为 =（x，y，z） 取=（1，0，1） 平面PCD的一个法向量, =（1，0，0） cos 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45 （） PD = 【例16】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，且DE=，ED/AF且DAF=90。 （）求BD和面BEF所成的角的正弦； （）线段EF上是否存在点P，使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。【解析】1. 先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。【解】（）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则，则可取，向量与所成角的余弦为 。设直线BD和平面BEF所成的角为，则。