等面四面体的内切球与外接球.doc

等面四面体的内切球与外接球引理2 任意四面体都有内切球及外接球。引理3 任意四面体的内切球在四个面上的切点与各面顶点连线给出切点处的周角的一个相同划分。证明 如图38，四面体ABCD的内切球在各面上的切点分别为O1、O2、O3、O4.由于球外一点向球引的切线长相等，可得AO2=AO3=AO4，BO1=BO3=BO4，. 于是O1BCO4BC，O2CDO1CD，.可设CO1D=CO2D=，DO1B=DO3B=，CO1B=CO4B=，AO3B=AO4B=，AO2C=AO4C=，AO2D=AO3D=z. 由周角360,图38 得 四式相加，除以2，得 式减式，得 式分别与、式联立，可解得引理3得证。定理5 等面四面体的各顶点到内切球的切线长相等。此定理的另一种叙述方式是：等面四面体内切球在各面上的切点是该面的外接圆圆心。证明 如图38，由于ABCDCB，可移动并翻转ABC，使其与DCB重合（A、B、C分别与D、C、B重合）. 现考察O4与O1的位置关系.假设O4与O1不重合，则O4在BO1D、BO1C、CO1D中的某一个内部或边上。不失一般性，不妨设O4点在BO1内或在BO1上，则BO4DBO1D,BO4D即是原ABC中的CO4A。由引理3，得CO4A=BO1D，存在矛盾，因此O4必与O1重合。于是O1B=O4C=O1C，同理O1D=O1C，即O1是BCD的外心。同理可证O2、O3、O4分别是各面上的外心。定理6 四面体的内切球球心与外接球球心重合的充要条件是该四面体是等面四面体。证明 先证充分性。设等面四面体ABCD内切球球心为O，O点在各面上的射影为O1、O2、O3、O4，这四点分别是内切球与各面的切点。由定理5，这四点分别是各面三角形的外心，再由射影定理，得OA=OB=OC=OD，即O是四面体ABCD的外接球球心.再证必要性。由OA=OB=OC=OD，可得O1、O2、O3、O4是各面三角形的外心。以下相当于证明定理5的逆定理：由引理3，得CO1D=BO4A，又O1C=O1D=CO4=BO4=AO4，所以CO1DBO4A，所以CD=AB。同理可得BC=AD，BD=AC。由此，ABCD是等面四面体。定理7 等面四面体的内切球球心、一面的重心及该面所对的顶点共线。图39证明 作等面四面体ABCD的外接长方体。由定理6，等面四面体的内切球球心与外接球球心重合，且是外接长方体的中心（长方体对角线的交点）。如图39，取AC、BD的中点E、F，EF与交于O。连结CF，交于M。显然OMFMC，所以FM；MC=OF: C=1:2。M点是BCD的重心，所以A、O、M三点共线，定理得证。说明 对于一般四面体，每一面的重心与该面所对顶点连线共四条，这四条线段交于一点（此点是该四面体外接平行六面体的中心）。该点称为四面体的重心。等面四面体的重心、内心（内切球球心）、外心（外接球球心）重合，此点称为等面四面体的中心。练 习1等面四面体每一顶点所处的三个面角之和必为180。2等面四面体各个面都是锐角三角形。3已知四面体四个面都是边长为10，17。的三角形，求以它六条棱中点为顶点的八面体的体积。4等面四面体的内切球球心到各面垂心的距离与到对顶点在该面上射影的距离相等。5等面四面体的四个旁切球球心都在其外接球上。练习答案或提示1等面四面体ABCD各个面全等，得BAC=CDB，CAD=DBC，DAB=BCD，由CDB+DBC+BCD=180，得BAC+CAD+DAB=1802利用三面角中任两个面角之和大于第三个面角及第1题的结论。3先计算四面体外接长方体的各棱长，得6、8、15，内接八面体体积是该长方体体积的，为120。4如图310，H是BCD是垂心，O是A在BCD上射影，由O作BCD各边垂线OE，OG，OF。ABCDCB，DBGACG，BG=CG，同