高中数学辅导讲义(集合与函数定义域).doc

中小学1对1课外辅导专家一、集合的概念与性质1、把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2、用小写字母表示元素，用大写字母表示集合。3、集合的性质确定性，给定一个元素要不在集合里面要不不在集合里面，是确定的。互异性，任何两个元素都不能相同。无序性。集合与其中元素的排列顺序无关4、集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作。根据集合的确定性这两种必有其中一种成立。切记属于符号是集合和元素之间的关系5、注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R6、集合的表示1）、把 集合的元素一一列举出来，并用大括号 括起来表示集合的方法叫列举法。列举法表示集合注意：元素间用，号 ；元素不能重复；元素无序性2）、用集合所含元素的特征表示集合的方法叫集合的描述法。具体方法：在花括号里面先写上表示这个集合元素的一般符号和取值。再画一条竖线，在其后面写上这个集合中元素的基本特征。练一练 1、给出下列关系：；。其中正确的个数（ ）A、1 B、2 C、3 D、42、下面四个语句：集合N*最小的数为0；其中正确的语句个数（ ）A、1 B、2 C、3 D、03、由组成一个集合A，A中含有三个元素，则a的取值范围为 4、已知集合A含有3个元素2，4，6且当 5、若的可能取值所组成的集合元素个数为 6、以方程的解组成的集合中只有一个元素，求m的值。二、子集（一）子集的概念1、对于集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A为集合B的子集。记作 读作A含于B2、集合A与集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A与集合B 相等，即A=B3、如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集表示 记作BA (或AB)， 读作“A真包含B”（或“B真包含于A”）不包含本身的子集叫做真子集4、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作5、记住一个很重要的规定：空集是任何集合的子集。空集是任何非空集合的真子集6、韦恩图：平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图ABA练一练1、设集合，且，则实数的范围是（）2、若A=2，B=2，且，则的值为_3、已知集合，则的子集的个数是_4、下列各式中，正确的是（） 5、已知集合2，若，求的值所组成的集合6、下列四个集合中，表示空集的是（）7已知集合，那么（ ）（A） （B） （C） （D）8、设，若，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）当集合的元素有n个那么它的子集为 个；真子集为 个1、已知集合，则集合的真子集个数最多（）个个个个2、设集合1,2,3,4,5，且时，则集合=_3、写出满足条件0，10，的集合_三、集合之间的基本运算1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB是同时属于，的两个集合的所有元素组成的集合2并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示SA4、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即CSA=5、性质：CS（CSA）=A ，CSS=，CS=S 6、五、交集并集的性质1交集的性质(1)AA=A A= AB=BA (2)ABA, ABB2并集的性质(1)AA=A (2)A=A (3)AB=BA (4)AB,ABB联系交集的性质有结论：ABAAB3. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (AB), (CuA) (CuB)= Cu(AB)(可以用韦恩图来理解)结合补集，还有A (CuA)=U, A (CuA)= 容斥原理一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(AB)= card(A)+card(B)- card(AB)练一练1设全集U=R，M=x|x.1， N =x|0x5,则（CM）（CN）为（ ）（A）x|x.0 （B）x|x4, xU, 则CA（ ）（A）-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 （B）-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 （C） -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 （D） -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 3、 已知U=则集合A=（ ）4、设集合AxZ-10x-1，BxZx5，则AB中的元素个数是( )A.11B.10C.16D.155.（04年全国）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）（A） (B) (C) (D) 6.（05全国卷）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是( )（A）（B）（C）（D）7、已知Axx2+x-60,Bxmx+10，且BAA，求实数m的取值范围.8、已知集合A和集合B各含12个元素，AB含有4个元素，试求AB的元素个数.解：设ABU，因为card (A)12，card(B)12，且card(AB)4，所以card(AB)card(A)+card(B)-card(AB)12+12-420。点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(AB)等含义相同，它们之间有公式：card(AB)card(A)+card(B)-card(AB).9、设集合A=-4，2m-1,m2，B=9，m-5，1-m，又AB=9,求实数m的值.解：AB=9，A=-4，2m-1,m2，B=9，m-5，1-m，2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.若m=5，则A=-4，9，25，B=9，0，-4与AB=9矛盾；若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；若m=-3，则A=-4，-7，9，B=9，-8，4满足AB=9.m=-310、设A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0,又AB=3，5，AB=3，求实数a,b,c的值.解：AB=3,3B，32+3c+15=0，c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，B=3，5.由A（AB=3，5知，3A，5A（否则5AB，与AB=3矛盾）故必有A=3，方程x2+ax+b=0有两相同的根3，由韦达定理得3+3=-a，33=b，即a=-6,b=9，c=-8。四、函数定义域1、基本函数定义域的求法l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 零的0次幂没意义【练一练】1求下列函数的定义域：（1）； （2）；解：（1）；（2），且。所以函数定义域为，且。2求下列函数的定义域：（1）（2） 解：（1）由根式有意义 ，又由对数有意义 ，解不等式组分别得：-4x4，2kx2k+（kZ），取交得原函数定义域为：x-4，-）（0，）。（2）当时，函数的定义域为；当时，得， 、当时，函数的定义域为；、当时，函数的定义域为；、当时，函数的定义域为。当时，得 、当时时，函数的定义域为；、当时，函数的定义域为； 、当时，函数的定义域为。二、抽象函数定义域（一）、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。1、设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为 。（2）函数的定义域为 。2、设函数的定义域为，给出下列函数：，其定义域仍是A的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、（江西卷3）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ B ）A B C D（二）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。1、已知函数的定义域为，则的定义域为 。2、已知的定义域为，则的定义域是 。解：，从而，故的定义域是。（三）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。1、函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 1函数f(2x-1)的定义域为1,3，求函数f(x2+1)的定义域.2已知f(2x-1)定义域为0，1，求f(3x)的定义域（四）、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。1、已知函数的定义域是，求的定义域。2、若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域。五、巩固练习【04湖北理】1、设集合对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）AP QBQ PCP=QDPQ=【06湖北文】2、集合Pxx2160,Qxx2n，nZ,则PQ（ ）A.-2,2 B.2，2，4，4 C.2，0，2 D.2，2，0，4，4【07湖北文】3、如果，那么AB（）【10湖北文】4、设集合M=1,2,4,8,N=x|x是2的倍数，则MN=A.2,4B.1,2,4C.2,4,8D1,2,85、设全集U=0，1，2，3，4，集合A=1，2，3，集合B=2，3，4，则AB等于（ ）A.1 B.0，1 C.0，1，2，3 D.0，1，2，3，46、给定集合A、B，定义一种新运算：A*B=x|xA或xB,但xAB,又已知A=0，1，2，B=1，2，3，则A*B等于（ ）A.0 B.3 C.0，3 D.0，1，2