几类特殊矩阵的幂与乘积.doc

几类特殊矩阵的幂与乘积摘 要：特殊矩阵(Special Matrix)是指它的元素在数值上或其所有的性质上有特性的矩阵.特殊矩阵无论在学术上还是在应用上都有其自身的价值和起着独特的作用.一方面，大多数矩阵类型都有着一定的应用背景;另一方面，从应用课题的研究中又会引出某些矩阵类型. 本文系统的阐述了一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵的相关性质及其应用, 通过运用矩阵二项式定理及多项式定理，使得有关计算问题降低一个数量级，并用多个例子论述并总结了特殊矩阵在科研和实践生活中如何更好的应用。关键词：主对角线上元素都相等的上三角形矩阵，对角线型三角矩阵，幂Several kinds of special matrix power and productHuoLiJuan Class 0702, Mathematics DepartmentTutor: CaoChunJuanAbstract: Special Matrix (Special Matrix) refers to its elements in numerical or the nature of its role Have the property of matrix. Special matrix whether in academic or in applications has its own value and plays a unique role. On one hand, most matrix type has certain application background; On the other hand, applied research on topics from and leads some matrix type. This paper elaborated this kind of Lord system on the diagonal elements are equal on triangle matrix and diagonal linear triangular matrices, the related properties and applications by using matrix binomial theorem and related calculation, making polynomial theorem, and an order of magnitude problems reduce discussed and summarized several examples in special matrix research and practical application of how better in life. Keywords: Main diagonal line elements in the triangle matrix are equal, diagonal linear triangular matrices, a power. 171引言特殊矩阵是计算数学的重要组成部分。它是研究代数问题的特殊矩阵快速算法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计面的研究。随着科学技术的发展和计算机的普及，矩阵理论和方法得到了越来越广泛的应用。在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中，大量地涉及到矩阵的理论，特别是一些特殊矩阵(具有特殊性质和特殊结构的矩阵)，相应的计算规模也越来越大。近十几年来，国防科技和国民经济建设的许多领域中就不断提出了大型或超大型科学计算问题。由于矩阵在各个学术领域和重要应用课题中所起的不可替代的作用，故有必要对其进行细致的研究。科学技术和工程应用中需要进行大量的矩阵计算，而这些矩阵自身往往具备一些特殊的结构及特殊的性质，这即是所谓的特殊矩阵。由于特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中有重要而广泛的应用，所以对特殊矩阵的研究一直是被关注的热点。为提高特殊矩阵的运算效率，通过运用特殊矩阵的特殊结构及性质，使得有关计算问题降低一个数量级，研究特殊矩阵的幂与乘积，这是具有重要的理论意义和现实意义的研究课题。自德国数学家托普列茨(Toeplitz,Otto,1881-1940)在二十世纪初首先提出主对角线上元素都相等的上三角矩阵的定义并研究了它的一些简单性质以来，有众多学者在此基础上又给出了许多优美的性质。在计算数学、数值计算与计算机应用、高等学校计算数学学报、高校应用数学学报、数学的实践与认识等期刊上，已发表了为数众多的相关论文。近年来，J.Rimas， JesdSGutirrez一Gutirrez，Q.Yin等已经发表了一些计算特殊方阵的整数次幂的文章。2002年,张胜李长辉发了关于一类上三角矩阵方幂的求法2。2003年，姜海勤发表了特殊方阵高次幂的求法6。本文通过对特殊矩阵幂与乘积了解的基础上，进一步探讨一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵方幂与乘积。2预备知识为了深入学习特殊矩阵的幂与乘积，我们有必要回顾一下特殊矩阵的相关知识。2.1 定义矩阵 由 个实数排成的一个 行列的矩形数表，称之为 矩阵，位置（ ,）上的元素，一般用表示（强调两个足标的意义）。矩阵可简记为或或。2.2 一些特殊矩阵负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵的负矩阵。转置矩阵 设 ， 将的行和列对应互换得到的矩阵，定义为的转置矩阵，记作，。由定义可知，即在位置上的元素是矩阵A在位置上的元素。 对称矩阵 设是 阶矩阵。若其元素满足：， 若其元素满足：， 则称是反对称矩阵。此时成立 。伴随矩阵 设，由行列式 | 的代数余子式 所构成的矩阵 ，称之为矩阵的伴随矩阵。注意到，伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。例如， 的伴随矩阵是 。逆矩阵 设是阶矩阵，若存在矩阵，使得，则称矩阵是矩阵的逆矩阵；并称是可逆矩阵（或称矩阵是可逆的）。 例如，则 是的逆矩阵。 2.3 矩阵方幂的几种常用求法2.3.1 利用矩阵乘法的结合律对于秩为1的方正，可将分解为一个列向量与行向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律就出.例1.设= ，求。 解：可分解为=故 = =2.3.2 相似矩阵的对角化法当方阵可对角化时，可通过求与相似的矩阵的方幂来求.而实对称矩阵一定可以对角化，故对于实对称矩阵一定可以用此法来求.例2已知矩阵，求。解 的特征多项式=，故的全部特征值为=，=对于=，求解齐次线性方程组，得出属于的一个特征向量.对于=，求解齐次线性方程组，得出属于的两个线性无关的特征向量这样，记= ,则有，于是 =2.3.3 若尔当型矩阵的相似法 复数域上任意矩阵都相似于一若尔当标准型，若尔当标准型为准对角矩阵.故对于不能对角化的矩阵，可通过求它的若尔当标准型的方幂从而求出矩阵的方幂.此法具有一般性，缺点是当较大时，求若尔当型矩阵的方幂较为麻烦. 例3. 已知=，求。解先求出的若尔当标准型，求对进行初等变换，= 可见的若尔当标准型是= ,设矩阵满足,求出一个=,则=2.3.4 利用数学归纳法可方便的求出某些矩阵的方幂. 例5.设,求。解由此猜想假设当时，猜想成立，则=故当时猜想也成立，因此对一切正整数，都有3 运用一个新方法二项式定理求特殊矩阵的方幂引理1(二项式定理)令是一个正整数,对所有的和,则有。定理1(矩阵二项式定理)设与是阶方阵,且,则。其证明方法与二项式定理的证明类似。引理2(多项式定理)7令是一个正整数,对所有的都有。定理2(矩阵多项式定理)设(i =1,2, t)是阶方阵,且 (i,j= 1, 2, t),则。3.1 阶对角线型三角矩阵3.1.1 定义定义1满足下列条件的阶方阵称为阶对角线型上三角矩阵。(1)当ij(i,j=1,2,m)时, =0;(2)当ij(i,j=1,2,m)时, = 。阶对角线型上三角矩阵的一般形式为类似地, 阶对角线型下三角矩阵的一般形式为定义2满足下列条件的阶分块矩阵(阶矩阵)(其中为t阶方阵)称为阶分块对角线型上三角矩阵。(1)当 (, )时, =0;(2)当 (, )时, =。m阶分块对角线型上三角矩阵的一般形式为类似地,m阶分块对角线型下三角矩阵的一般形式为: 。3.1.2 定理利用定理1和定理2可得推论1。推论1设(, )是m阶方阵,C(,)且 (, ),则。推论1中而且则有推论2.推论2 设则通过推论2的形式,不难得出它的转置形式。推论3 设，则证明过程类似于推论2.在实际计算过程中为了方便简化计算,引入如下定理3。定理3设)是m阶分块对角线型方阵,则此定理被称为简化定理,定理证明采用数学归纳法。定理4设是t阶方阵，是m阶分块对角线型方阵,，则 。 则有通过定理5的形式,不难得出它的转置形式。推论4设为m阶分块对角线型下三角矩阵是t阶方阵，。则有 证明过程类似于定理5。在实际计算过程中,形同定理5,推论4的具体问题也可以应用简化定理进行计算。3.1.3 应用举例 例6求的5次幂。 解将矩阵写成分块矩阵为=其中.通过验证知，通过简化定理得:；。则 3.2 一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵3.2.1 定义我们所要研究的是具有下面形式的一类对角线上元素都相等的上三角矩阵下面记,其中: 是上述形式的级方阵, 是级单位矩阵, 是数域中的数。3.2.2 定理引理3 如果分块矩阵存在，那么=。证明 对次数作数学归纳法。当时,结论成立, 即 =。利用矩阵的分块乘法有= =。由数学归纳法原理可知此命题得证。引理4 对上述形式的级矩阵有。证明 对级数作数学归纳法。当时, , ,结论成立。假设级数为n结论成立,即,进而有,现在来看级数为时情况,设。可知存在，于是由引理1结论及假设有。定理5 如果为上述形式的矩阵,那么有如下的公式:其中：。 证明 由于数量矩阵与可交换而且存在,所以利用引理3得当时,结论成立。因此只须证明当时结论成立即可,由引理2结论又有,于是 。3.2.3 应用由于的方幂比较容易计算,因此用此公式解决上述形式的矩阵的方幂比较简单,特别是当指数较大且矩阵的级数较小时更为方便。现在就以刚开始提出的那道题为例。例7 求。解 设=，而于是利用定理公式得 。3.3 若当形矩阵3.3.1 定义 形如的矩阵，称为若尔当形矩阵。3.3.2 定理定理6如果数域P上两个矩阵与可交换,那么有矩阵的二项式定理其中记。 下证若尔当形矩阵满足定理6. 显然具有上述的形,且是级单位矩阵(i =1,2,s)。由预备结论有取则。且与可交换,易验证,于是利用矩阵的二项式定理得 。3.3.3 应用例8 ，求。解 。最后指出,因任一级复数矩阵与约当形矩阵相似,存在一个可逆矩阵使,且,所以说理论上的方幂转化为的方幂,且的方幂易求。3.4 级矩阵的次方幂的通项公式的另一种证明方法3.4.1 相关定理引理设是一个数域, 是整数,元素在中的全体级矩阵对于矩阵的加法与乘法成一环。引理2在环中,如果元素、可交换,即,那么,二项式定理成立，,这里n是正整数。证明用数学归纳法：当时，结论成立。假设当时,有，下面证当时结论也成立。由得,于是而。所以=。3.4.2 证明 例9级矩阵的次方幂的通项公式的另一种证明方法 文2中指出:若矩阵满足，则有基本通项公式：,其中:记，是中对角线上的任一元素,且。显然数量矩阵与可交换满足矩阵二项式定理条件,于是有另一种证明。证明.4 小结以上我们在回顾矩阵相关知识的基础上，进一步系统的阐述了阶对角线型三角矩阵，一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵等的一些重要定理和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。5 结束语矩阵研究的蓬勃兴起，为各类复杂矩阵（包括特殊的和一般的）的研究提供了新的途径和方法。本文的工作正是基于这样的背景进行的，将一般矩阵的研究方法运用于特殊的矩阵研究中去，提出了几类特殊矩阵的幂与乘积的计算方法与简单应用。由于所学知识深度有限，使得本文得出的结论必然有一定的局限。参考文献： 1 北京大学数学系.高等代数(第三版)M.北京：高等教育出版社，2003。 2 李长辉, 张盛, 关于一类上三角形矩阵方幂的求法J. 2002:(3). 3 戴泽俭，N阶矩阵方幂的求解方法J. 巢湖学院学报,2009:(6). 4 刘兴祥,刘小春,对角线型三角矩阵n次幂的研究J.2010：(7). 5 张盛,可换矩阵二项式定理的应用J. 锦州师范学院学报,2003：(3). 6 姜海勤, 特殊方阵高次幂的简单求法J. 扬州职业大学学报,2003：(3). 7 邓家齐.关于n阶矩阵m次方幂的通项公式问题J.数学通报,1984,1:2324. 8 Van Lint JH,W ilson R M. A course in combinatorics. Second Edi-tion.北京:机械工业出版社, 2004: 1517. 9 殷剑宏.组合数学.北京:机械工业出版社, 2006: 2733. 10 刘文军.求一个特殊矩阵的次幂的方法.大学数学, 2007; 23(2): 155157 11 北大数力系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1979.谢 辞时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想