高中数学基础知识归类——献给2011年高三(理科)考生.pdf

高中数学 理科 基础知识归类第 1页 共 18页 高中数学基础知识归类高中数学基础知识归类 献给献给 2012011 1 年高三年高三 理科理科 考生考生 一一 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 1 注意区分集合中元素的形式 如 lg x yx 函数的定义域 lg y yx 函数的值域 lg x yyx 函数图象上的点集 2 2 集合的性质 任何一个集合A是它本身的子集 记为AA 空集是任何集合的子集 记为A 空集是任何非空集合的真子集 注意 条件为AB 在讨论的时候不要遗忘了A 的情 况 如 012 2 xaxxA 如果AR I 求a的取值 答 0a UUU CABC AC B IU UUU CABC AC B UI ABCABC IIII ABCABC UUUU ABAABB IU UU ABC BC A U AC B I U C ABR U ABU元素的个数 card ABcardAcardBcard AB UI 含n个元素的集合的子集个数为2n 真子集 非空子集 个数为21 n 非空真子集个数为 22 n 3 3 补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 如 已知函数12 2 24 22 ppxpxxf在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使 0 cf 求实数p的取值范围 答 3 2 3 4 4 原命题 pq 逆命题 qp 否命题 pq 逆否命题 qp 互为逆否 的两 个命题是等价的 如 sinsin 是 的条件 答 充分非必要条件 5 5 若pq 且qp 则p是q的充分非必要条件 或q是p的必要非充分条件 6 6 注意命题pq 的否定否定与它的否命题否命题的区别 命题pq 的否定否定是pq 否命题否命题是 pq 命题 p或q 的否定是 p 且q p且q 的否定是 p 或q 如如 若a和b都是偶数 则ba 是偶数 的否命题是 若a和b不都是偶数 则ba 是奇 数 否定是 若a和b都是偶数 则ba 是奇数 7 7 常见结论的否定形式 原结论否定原结论否定 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有n个至 多 有1n 个 小于不小于至多有n个至 少 有1n 个 对所有x 成立存在某x 不成 立 p或qp 且q 对任何x 不成 立 存在某x 成立p且qp 或q 高中数学 理科 基础知识归类第 2页 共 18页 二二 函数函数 1 1 映射f AB 是 一对一或多对一 的对应 集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象 集合B中的元素不一定有原象 即象集B 一一映射f AB 一对一 的对应 A中不同元素的象必不同 B中元素都有 原象 2 2 函数f AB 是特殊的映射 特殊在定义域A和值域B都是非空数集 据此可知函数图像 与x轴 的垂线至多有一个公共点 但与y轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 3 3 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则 4 4 求定义域 使函数解析式有意义 如 分母0 偶次根式被开方数非负 对数真数0 底数 0 且1 零指数幂的底数0 实际问题有意义 若 f x定义域为 a b 复合函数 f g x定 义 域由 ag xb 解出 若 f g x定义域为 a b 则 f x定义域相当于 xa b 时 g x的值域 5 5 求值域常用方法 配方法 二次函数类 逆求法 反函数法 换元法 特别注意新元 的范围 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 不等式法 单调性法 数形结合 根据函数的几何意义 利用数形结合的方法来求值域 判别式法 慎用 导数法 一般适用于高次多项式函数 6 6 求函数解析式的常用方法 待定系数法 已知所求函数的类型 代换 配凑 法 方程的思想 对已知等式进行赋值 从而得到关于 f x及另外一个函数的方程组 7 7 函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的 确定奇偶性方法有定义法 图 像法等 若 f x是偶函数 那么 f xfxfx 定义域含零的奇函数必过原点 0 0f 判断函数奇偶性可用定义的等价形式 0f xfx 或 1 0 fx f x f x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 注意注意 若判断较为复杂解析式函数的奇偶性 应先化简再判断 既奇又偶的函数有无数 个 如 0f x 定义域关于原点对称即可 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调 性 确定函数单调性的方法有定义法 导数法 图像法和特值法 用于小题 等 复合函数单调性由 同增异减 判定 提醒 求单调区间时注意定义域 如 如 函数 1 2 2 log 2 yxx 的单调递增区间是 答 1 2 8 8 函数图象的几种常见变换 平移变换 左右平移 左加右减 注意是针对x而 言 上下平移 上加下减 注意是针对 f x而言 翻折变换 f xf x f xfx 对称变换 证明函数图像的对称性 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在 图像上 证明图像 1 C与 2 C的对称性 即证 1 C上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在 2 C上 反之 亦然 高中数学 理科 基础知识归类第 3页 共 18页 函数 yf x 与 yfx 的图像关于直线0 x y轴 对称 函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于直线0y x轴 对称 若函数 yf x 对xR 时 f axf ax 或 2 f xfax 恒成立 则 yf x 图像关 于直线xa 对称 若 yf x 对xR 时 f axf bx 恒成立 则 yf x 图像关于直线 2 ab x 对称 函数 yf ax yf bx 的图像关于直线 2 ba x 对称 由axbx 确定 函数 yf xa 与 yf bx 的图像关于直线 2 ab x 对称 函数 yf x yAf x 的图像关于直线 2 A y 对称 由 2 f xAf x y 确定 函数 yf x 与 yfx 的图像关于原点成中心对称 函数 yf x ynf mx 的图像关于点 22 m n 对称 函数 yf x 与函数 1 yfx 的图像关于直线yx 对称 曲线 1 C 0f x y 关于 yxa yxa 的对称曲线 2 C的方程为 0f ya xa 或 0fyaxa 曲线 1 C 0f x y 关于点 a b的对称曲线 2 C方程为 2 2 0faxby 9 9 函数的周期性 若 yf x 对xR 时 f xaf xa 恒成立 则 f x的周期为2 a 若 yf x 是偶函数 其图像又关于直线xa 对称 则 f x的周期为2 a 若 yf x 奇函数 其图像又关于直线xa 对称 则 f x的周期为4 a 若 yf x 关于点 0 a 0 b对称 则 f x的周期为2 ab yf x 的图象关于直线xa xb ab 对称 则函数 yf x 的周期为2 ab yf x 对xR 时 f xaf x 或 1 f x f xa 则 yf x 的周期为2 a 10 10 对数 loglog n n a a bb 0 1 0 aabnR 对数恒等式 log 0 1 0 aN aN aaN log loglog logloglog loglog n aaaaaaaa M N M NMNMNMnM 1 loglog n aa M n M 对数换底公式 log log log b b a N a N 0 1 0 1 aabb 推论 1211 23 logloglog1loglogloglog n abcaaanan bcaaaaa L 以上 12 0 0 0 1 0 1 0 1 0 n MNaabbcca aa L且 12 n a aaL均不等于1 11 11 方程 kf x 有解kD D为 f x的值域 af x 恒成立 af x 最大值 af x 恒成立 af x 最小值 12 12 恒成立问题的处理方法 分离参数法 最值法 转化为一元二次方程根的分布问题 13 13 处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值 求最值问题用 两看 法 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 14 14 二次函数解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 零点式 12 0 f xa xxxxa 15 15 一元二次方程实根分布 先画图再研究0 轴与区间关系 区间端点函数值符号 16 16 复合函数 复合函数定义域求法 若 f x的定义域为 a b 其复合函数 f g x的定义域 可由 不等式 ag x b 解出 若 f g x的定义域为 a b 求 f x的定义域 相当于 xa b 时 高中数学 理科 基础知识归类第 4页 共 18页 求 g x的值域 复合函数的单调性由 同增异减 判定 17 17 对于反函数 应掌握以下一些结论 定义域上的单调函数必有反函数 奇函数的反函 数 也是奇函数 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 周期函数不存在反函数 互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性 yf x 与 1 yfx 互为 反函数 设 f x的定义域为A 值域为B 则有 1 f fxx xB 1 ff xx xA 18 18 依据单调性 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题 0f ug x uh x 或0 aub 0 0 f a f b 或 0 0 f a f b 19 19 函数 0 axb cxd ycadbc 的图像是双曲线 两渐近线分别直线 d c x 由分母为零确定 和 直线 a c y 由分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 da cc 反函数为 bdx cxa y 20 20 函数 0 0 b x yaxab 增区间为 bb aa 减区间为 0 0 bb aa 如 已知函数 1 2 ax x f x 在区间 2 上为增函数 则实数a的取值范围是 答 1 2 三三 数列数列 1 1 由 n S求 n a 1 1 1 2 n nn S n a SSnnN 注意验证 1 a是否包含在后面 n a的公式中 若不符合要 单独列出 如 数列 n a满足 111 5 3 4 nnn aSSa 求 n a 答 1 4 1 3 4 2 n n n a n 2 2 等差数列 1 nnn aaad d为常数 11 2 2 nnn aaannN 2 11 22 nn dd aanb ad badSAnBn ABa 3 3 等差数列的性质 nm aanm d mn aa mn d mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立 特别地 当2mnp 时 有2 mnp aaa 若 n a n b是等差数列 则 nn katb k t是非零常数 是等差数列 等差数列的 间隔相等的连续等长片断和序列 即 232 mmmmm SSSSS L L仍是等差数 列 等差数列 n a 当项数为2n时 SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 项数为21n 时 n SSaa nN 偶中奇 21 21 nn Sna 且 1 Sn Sn 奇 偶 21 nn nn Aa Bb f nfn 首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前 n 项和的最大 或最小 问题 转化为解 不等式 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 也可用 2 n SAnBn 的二次函数关系来分析 若 nm am an mn 则0 m n a 若 nm Sm Sn mn 则 m n Smn 若 mn SSmn 则 Sm n 0 S3m 3 S2m Sm m nmn SSSmnd 高中数学 理科 基础知识归类第 5页 共 18页 4 4 等比数列 1 21 111 0 2 n n n nnnnn a a aq qaaannNaa q 5 5 等比数列的性质 n m nm aa q n n m m a q a 若 n a n b是等比数列 则 n ka nn a b等也是等比数列 111 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 n n nn qqaaaaa qqqq na qna q S qqq mnlk mnlka aa a 反之不一定成 立 mn m nmnnm SSq SSq S 等比数列中 232 mmmmm SSSSS L L 注 各项均不注 各项均不为为 0 0 仍是等比数列 等比数列 n a当项数为2n时 S S q 偶 奇 项数为21n 时 1 Sa S q 奇 偶 6 6 如果数列 n a是等差数列 则数列 n a A n a A总有意义 是等比数列 如果数列 n a是等比 数列 则数列 log 0 1 an aaa 是等差数列 若 n a既是等差数列又是等比数列 则 n a是非零常数数列 如果两个等差数列有公共项 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列 且新数 列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数 如果一个等差数列和一个等比数列有公共项 那么 由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列 由特殊到一般的方法探求其通项 三个数成等差的设法 ad a ad 四个数成等差的设法 3 3ad ad ad ad 三个数成等比的设法 a q a aq 四个数成等比的错误设法 3 3 aa qq aq aq 为什么 7 7 数列的通项的求法 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 已知 n S 即 12 n aaaf n L 求 n a用作差法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知 12 n aaaf n L求 n a用作商法 1 1 1 2 n f n f n fn a n 若 1 nn aaf n 求 n a用迭加法 已知 1 n n a a f n 求 n a用迭乘法 已知数列递推式求 n a 用构造法 构造等差 等比数列 形如形如 1nn akab 1 n nn akab 1nn akaa nb k b为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数 列后 再求 n a 形如形如 1 1 n n n a kab a 的递推数列都可以用 取倒数法 求通项 8 8 数列求和的方法 公式法 等差数列 等比数列求和公式 分组求和法 倒序相加 错位 相减 分裂通项法 公式 1 2 123 1 nn n L 2222 1 6 123 1 21 nn nn L 33332 1 2 123 n n n L 2 135nn L 常见裂项公式 111 1 1n nnn 11 11 n nkknnk 1111 1 1 2 1 1 2 n nnn nnn 11 1 1 n nnn 高中数学 理科 基础知识归类第 6页 共 18页 1 2 2 0 0 1 1 1 sincos 1 2 2 0 0 1 1 1 sincos 常见放缩公式 212 11 11 2 2 nnnn nnnnn 锐角ABC 中 2 AB sincos coscosABAB 类比得钝角ABC 结论 tantantantantantanABCABC 11 11 角的范围 异面直线所成角 2 0 直线与平面所成角 2 0 二面角和两向量的夹角 0 直线 的倾斜角 0 1 l到 2 l的角 0 1 l与 2 l的夹角 2 0 注意术语 坡度 仰角 俯角 方位 角等 五五 平面向量平面向量 1 1 设 11 ax y r 22 bxy r 1 1221 0abx yx y rr 2 1212 00aba bx xy y rrr r 2 2 平面向量基本定理 如果 1 e u r 和 2 e u u r 是同一平面内的两个不共线的向量 那么对该平面内的任一 向 量a r 有且只有一对实数 1 2 使 1 122 aee ru ru u r 3 3 设 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 cosa ba bx xy y r rrr 其几何意义是a b r r 等于a r 的长度 与b r 在a r 的方向上的投影的乘积 a r 在b r 的方向上的投影 1212 22 22 cos x xy ya b a b xy r r r r 4 4 三点A B C共线AB uuu r 与AC uuu r 共线 与AB uuu r 共线的单位向量 AB AB uu r uu r 5 5 平面向量数量积性质 设 11 ax y r 22 bxy r 则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a b xyxy r r rr 注意注意 a b r r 为锐角0a b r r a b r r 不同向 a b r r 为直角0a b r r a b r r 为钝角0a b r r a b r r 不反 向 6 6 a b r r 同向或有0 abababab rrrrrrrrr a b r r 反向或有0 r abababab rrrrrrrr a b r r 不共线 ababab 当点P在线段 21P P 或 12P P 延长线上时 1 或10 ba 则 11 ab 即不等式两边同号时 不等式两边取倒数 不等号方向要改变 如果对不等式两边同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负号未定 要注意分 类讨论 2 2 掌握几类不等式 一元一次 二次 绝对值不等式 简单的指数 对数不等式 的解法 尤其 注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式 勿忘数轴标根法 零点分区间法 3 3 掌握重要不等式 1 均值不等式 若0 ba 则 22 2 2211 abab ab ab 当且仅当ba 时 取等号 使用条件使用条件 一正二定三相等一正二定三相等 常用的方法为 拆 凑 平方等 2 a b cR 222 abcabbcca 当 且 仅 当abc 时 取 等 号 3 公 式 注 意 变 形 如 22 2 22 abab 2 2 ab ab 4 若0 0abm 则 bbm aam 1 n nn 将分子或分母放大 或 缩小 利用基本不等式 如 1 1 2 nn n n 利用常用结论 0 1 11 1 21 kk kkk 0 2 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 程度大 0 3 22 11111 1211 kkkk 最大值 则 af x 恒成立 af x 最小值 则 af x 特别提醒特别提醒 只有当 22 40DEF 时 方程 22 0 xyDxEyF 才表示圆心为 22 DE 半径为 22 1 4 2 DEF 的圆 二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF 表示圆0AC 且 22 0 40BDEAF 圆的参数方程 cos sin xar ybr 为参数 其中圆心为 a b 半径为r 圆的参数方程主要 应用是 三角换元 222 cos sinxyrxryr 222 cos sin 0 xytxryrrt 以 11 A x y 22 B xy为直径的圆的方程 1212 0 xxxxyyyy 11 11 点和圆的位置关系的判断通常用几何法 计算圆心到直线距离 点 00 P xy及圆的方程 222 xaybr 222 00 xaybr 点P在圆外 222 00 xaybr 相离 dr 相切 dr 两圆相离 dRr 两圆相外切 RrdRr 两 圆相交 dRr 两圆相内切 dRr 上任一点 焦点为 1 0 Fc 2 0 F c 则 1020 PFaexPFaex 左加右减左加右减 2 2 双曲线焦半径 设 00 P xy为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上任一点 焦点为 1 0 Fc 2 0 F c 则 当P点在右支上时 1020 PFaexPFaex 当P点在左支上时 10 PFaex 20 PFaex e为离心率 另 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线方程为 22 22 0 xy ab 3 3 抛物线焦半径公式 设 00 P xy为抛物线 2 2 0 ypx p 上任意一点 F为焦点 则 0 2 p PFx 2 2 0 ypx p 上任意一点 F为焦点 则 0 2 p PFx 4 4 共渐近线 b a yx 的双曲线标准方程为 22 22 xy ab 为参数 0 5 5 两个常见的曲线系方程 过曲线 1 0f x y 2 0fx y 的交点的曲线系方程是 12 0f x yf x y 为参数 共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk 其中 22 max ka b 当 22 min ka b 时 表示椭圆 当 2222 min max a bka b k为斜率 这里体现了解几中 设而不求 的思想 7 7 椭圆 双曲线的通径 最短弦 为 2 2b a 焦准距为 2 b c p 抛物线的通径为2p 焦准距为p 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦点到渐近线的距离为b 8 8 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1AxBy 对于椭圆 0 0AB 9 9 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点弦 过焦点的弦 为AB 11 A x y 22 B xy 则有如下结论 12 ABxxp 2 12 4 p x x 2 12 y yp 112 pAFBF uuruu r 10 10 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 左焦点弦 12 2 ABae xx 右焦点弦 12 2 ABae xx 11 11 对于 2 2 0 ypx p 抛物线上的点的坐标可设为 2 0 0 2 y y p 以简化计算 12 12 圆锥曲线中点弦问题圆锥曲线中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆 22 22 1 xy ab 中 以 00 P xy为中点的弦所在直线斜率 2 0 2 0 b x k a y 在双曲线 22 22 1 xy ab 中 以 00 P xy为中点的 弦所 高中数学 理科 基础知识归类第 12页 共 18页 在直线斜率 2 0 2 0 b x k a y 在抛物线 2 2 0 ypx p 中 以 00 P xy为中点的弦所在直线的斜率 0 p y k 13 13 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接通过建立x y之间的关系 构成 0F x y 是求轨迹的最基本的方法 待定系数法 可先根据条件设所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回所列的方 程即可 代入法 相关点法或转移法 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 则可由曲线的定义直接写出 方程 交轨法 参数法 当动点 P x y坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑 将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 14 14 解析几何与向量综合的有关结论 解析几何与向量综合的有关结论 给出直线的方向向量 1 uk r 或 um n r 等于已知直线的斜率k或 n m 给出OBOA 与AB相交 等于已知OBOA 过AB的中点 给出0 r PNPM 等于已知P是MN的中点 给出 APAQBPBQ uuu ruuu ruuu ruuu r 等于已知QP 与AB的中点三点共线 给出以下情形之一 ACAB 存在实数 使ABAC uuu ruuu r 若存在实数 且1 使OCOAOB uuu ruuu ruuu r 等于已知CBA 三点共线 给出 1 OAOB OP uu ruu r uuu r 等于已知P是AB的定比分点 为定比 即PBAP 给出0 MBMA 等于已知MBMA 即AMB 是直角 给出0 mMBMA 等于已知AMB 是锐角或同向共线 给出 MAMB MAMB MP uuruuu r uuu r uuruuu r 等于已知MP是AMB 的平分线 在平行四边形ABCD中 给出0 ADABADAB 等于已知ABCD是菱形 在平行四边形ABCD中 给出 ABADABAD uuu ruuu ruuu ruuu r 等于已知ABCD是矩形 在ABC 中 给出 222 OCOBOA 等于已知O是ABC 的外心 三角形的外心是外接圆 的圆心 是三角形三边垂直平分线的交点 在ABC 中 给出0 OCOBOA 等于已知O是ABC 的重心 三角形的重心是三角形 三条中线的交点 在ABC 中 给出OAOCOCOBOBOA 等于已知O是ABC 的垂心 三角形的垂 心 是三角形三条高的交点 在ABC 中 给出 OAOP ABAC ABAC uu ruur uu ruur R 等于已知AP通过ABC 的内心 在ABC 中 给出 0 OCcOBbOAa等于已知O是ABC 的内心 三角形内切圆 的圆心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 在ABC 中 给出 1 2 ADABAC uuu ruuu ruuu r 等于已知AD是ABC 中BC边的中线 高中数学 理科 基础知识归类第 13页 共 18页 九九 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 1 1 从一点O出发的三条射线OA OB OC 若AOBAOC 则点A在平面BOC上的射影在 BOC 的平分线上 2 2 立平斜三角余弦公式 图略 AB和平面所成的角是 1 AC在平面内 AC和AB的射影 1 AB 成 2 设 3 BAC 则 123 coscoscos 3 3 异面直线所成角的求法 平移法 在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 作另一条的 平行线 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方体等 其 目的在 于容易发现两条异面直线间的关系 4 4 直线与平面所成角 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 是产生线面角的关键 5 5 二面角的求法 定义法 三垂线法 垂面法 射影法 利用面积射影公式cosSS 射斜 其中 为平面角的大小 此方法不必在图形中画出平面角 6 6 空间距离的求法 两异面直线间的距离 高考要求是给出公垂线 所以一般先利用垂直作 出公垂 线 然后再进行计算 求点到直线的距离 一般用三垂线定理作出垂线再求解 求点到平面的距离 一是用垂面法 借助面面垂直的性质来作 因此 确定已知面的垂面 是关键 二是不作出公垂线 转化为求三棱锥的高 利用等体积法列方程求解 7 7 用向量方法求空间角和距离用向量方法求空间角和距离 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 设a r b r 分别为异面直线a b的方 向向量 则两异面直线所成的角 arccos a b ab r r rr 求线面角求线面角 设l r 是斜线l的方向向量 n r 是平面 的 法向量 则斜线l与平面 所成的角 arcsin l n ln r r rr 求二面角求二面角 法一 在 内al r 在 内 bl r 其方向如图 略 则二面角l 的平面角 arccos a b ab r r rr 法二 设 1 n u u r 2 n uu r 是二面 角 l 的两个半平面的法向量 其方向一个指向内侧 另一个指向外侧 则二面角l 的平面 角 12 12 arccos nn nn u r u u r u ru u r 4 4 求点面距离求点面距离 设n r 是平面 的法向量 在 内取一点B 则A到 的 距离 cos AB n dAB n uuu r r uuu r r 即AB uuu r 在n r 方向上投影的绝对值 8 8 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等 记为 则cosSS 侧底 9 9 正四面体正四面体 设棱长为设棱长为a 的性质 的性质 全面积 2 3Sa 体积 3 2 12 Va 对棱间的距离 2 2 da 相邻面所成二面角 1 3 arccos 外接球半径 6 4 Ra 内切球半径 6 12 ra 正四面体内任一点到各面距离之和为定值 高中数学 理科 基础知识归类第 14页 共 18页 6 3 ha 10 10 直角四面体的性质 直角四面体的性质 直角四面体 三条侧棱两两垂直的四面体 在直角四面体OABC 中 OA OB OC两两垂直 令 OAa OBb OCc 则 底面三角形ABC为锐角三角形 直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心 2 BOCBHCABC SSS g 2222 AOBBOCCOAABC SSSS 2222 1111 OHabc 外接球半径 R 222 1 2 abcR 11 11 已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 因此有 22 coscos 2 cos1 或 222 sinsinsin2 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成 的角分别为 则有 222 sinsinsin1 或 222 coscoscos2 12 12 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长 13 13 球的体积公式 3 4 3 VR 表面积公式 2 4SR 掌握球面上两点A B间的距离求法 计算线段AB的长 计算球心角AOB 的弧度数 用弧长公式计算劣弧AB的长 十十 排列组合和概率排列组合和概率 1 1 排列数公式 1 1 m n n m nm An nnmmn m nN L 当mn 时为全排列 n n An 2 2 组合数公式 1 1 1 2 3 2 1 m m n n Annnm Cmn mmmm 0 1 n nn CC 3 3 组合数性质 mn m nn CC 1 1 rrr nnn CCC 4 4 排列组合主要解题方法 优先法优先法 特殊元素优先或特殊位置优先 捆绑法捆绑法 相邻问题 插空法插空法 不相邻问题 间接扣除法 间接扣除法 对有限制条件的问题 先从总体考虑 再把不 符合条件 的所有情况去掉 多排问题单排法多排问题单排法 相同元素分组可采用隔板法相同元素分组可采用隔板法 适用与指标分配 每 部分至 少有一个 先选后排先选后排 先分再排先分再排 注意等分分组问题 涂色问题涂色问题 先分步考虑至某一步 时再分 类 分组问题分组问题 要注意区分是平均分组还是非平均分组 平均分成平均分成n组问题别忘除以组问题别忘除以 n 5 5 常用性质 1 n nnn 即 1 1 nnn nnn nAAA 1 11 1 rrrr rrnn CCCCrn 6 6 二项式定理 掌握二项展开式的通项 1 0 1 2 rn rr rn TC ab rn 注意第 r 1 项二项式系数与第 r 1 项系数的区别 7 7 二项式系数具有下列性质 与首末两端等距离的二项式系数相等 若n为偶数 中间一 项 第 2 1 n 项 的二项式系数最大 若n为奇数 中间两项 第 1 2 1 n 和 1 2 1 n 项 的二项式系数 最大 012 2 nn nnnn CCCC 02131 2n nnnn CCCC 8 8 二项式定理应用 近似计算 整除问题 结合放缩法证明与指数有关的不等式 用赋值法 求展开式 的某些项的系数的和如 nf xaxb 展开式的各项系数和为 1 f 奇数项系数和为 1 2 1 1 ff 偶数项的系数和为 1 2 1 1 ff 9 9 等可能事件的概率公式 n m P A 互斥事件有一个发生的概率公式为 P AB P AP B 相互独立事件同时发生的概率公式为 P ABP A P B 独立重复试验 高中数学 理科 基础知识归类第 15页 共 18页 概率公式 1 kkn k nn P kC pp 如果事件A与B互斥 那么事件A与B A与B及事件 A与B也都是互斥事件 如果事件A B相互独立 那么事件A B至少有一个不发生 的概率是1 1 P ABP A P B 6 如果事件A与B相互独立 那么事件A与B至少有 一个发生的概率是1 1 P A BP A P B 十一十一 概率与统计概率与统计 1 1 理解随机变量 离散型随机变量的定义 能够写出离散型随机变量的分布列 由概率的性质 可 知 任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质 0 1 2 i Pi L 12 1PP L 2 2 二项分布记作 B n p n p为参数 kkn k n PkC p q 记 pnkbqpC knkk n 3 3 记住以下重要公式和结论 期望值 1122nn Ex px px p LL 方差 222 1122 nn DxEpxEpxEp 标准差D 2 E abaEb D aba D 若 B n p 二项分布 则Enp 1 Dnpq qp 若 g k p 几何分布 则 1 p E 2 q p D 4 4 掌握抽样的三种方法 简单随机抽样 包括抽签法和随机数表法 理理 系统抽样 也叫 等距 抽样 分层抽样 按比例抽样 常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形 它们的 共同点共同点 都是等概率抽样 对于简单随机抽样的概念中 每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等 如从 含有N个个体的总体中 采用随机抽样法 抽取n个个体 则每个个体第一次被抽到的概率 为 1 N 第二次被抽到的概率为 1 N 故每个个体被抽到的概率为 n N 即每个个体入样的概率 为 n N 5 5 总体分布的估计 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 一般地 样本容 量越大 这种估计就越精确 要求能画出频率分布表和频率分布直方图 学会用样本平均数 12 1 11 n n i i x nn xxxx 去估计总体平均数 会用样本方差 222 12 1 n Sxxxx 2222 11 11 nn nii iinn xxxxxnx 去估计总体方差 2 及总体标准差 学会用修正的 样本方差 2222 12 1 1 n n Sxxxxxx 去估计总体方差 2 会用 S去估计 6 6 正态总体的概率密度函数 2 2 2 1 2 x f xexR 式中 是参数 分别表示总体的平均 数与标准差 7 7 正态曲线的性质 曲线在x 时处于最高点 由这一点向左 向右两边延伸时 曲线逐渐 降 1 x 2 x n x p 1 p 2 p n p 高中数学 理科 基础知识归类第 16页 共 18页 低 曲线的对称轴位置由确定 曲线的形状由确定 越大 曲线越矮胖 反过来曲线越 高瘦 曲线在x轴上方 并且关于直线 x 对称 8 8 利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 2 N 的概率 12 P xx 可由 变 换 x t 而得 x F x 于是有 21 12 xx P xx 9 9 假设检验的基本思想 提出统计假设 确定随机变量服从正态分布 2 N 确定一 次试验中的取值a是否落入范围 3 3 作出推断 如果 3 3 a 接受 统 计假设 如果 3 3 a 由于这是小概率事件 就拒绝假设 十二十二 极限极限 1 1 与自然数有关的命题常用数学归纳法证明 注意步骤 两步缺一不可 2 2 数列极限 掌握数列极限的运算法则 注意其适用条件 一是数列 n a n b的极限都存在 二 是仅适用于有限个数列的和 差 积 商 对于无限个数列的和 或积 应先求和 或积 再求极限 常用的几个数列极限 CC n lim C为常数 1 lim0 n n 0lim n n q 1q q为常数 无穷递缩等比数列各项和公式 1 1 lim n n a q SS 0 1q 那么 f x 为增 函数 如果 0fx 那么 f x为减函数 如果在某个区间内恒有 0fx 那么 f x为常 数 2 求可导函数极值的步骤 求导数 xf 求方程0 xf的根 检验 xf 在方程 0 xf根