第10次课(镜像法).ppt

1 第一步 分析题意 找出定解条件 第二步 写出通解 分离变量法基本步骤 第三步 根据定解条件确定待定常数 复习 2 2 4镜象法Methodofimages 重点掌握 1 镜象法的基本概念2 求解电势的基本方法 3 1 求解泊松方程的难度 镜象法的概念和适用条件 2 以唯一性定理为依据 导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解 4 3 镜象法概念 适用情况 镜象法 用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布 然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布 注意 a 做替代时 所研究空间的泊松方程不能被改变 即自由点电荷位置 Q大小不能变 所以假想电荷必须放在所求区域之外 b 不能改变原有边界条件 实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置 c 一旦用了假想 等效 电荷 不再考虑原来的电荷分布 d 坐标系选择仍然根据边界形状来定 适用情况 a 所求区域有少许几个点电荷 它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替 b 导体边界面形状比较规则 具有一定对称性 c 给定边界条件 5 二 镜象法的具体应用 b 根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置 c 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式 d 根据需要要求出场强 电荷分布以及电场作用力 电容等 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 a 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件 6 应用举例 1 P53 接地无限大平面导体板附近有一点电荷 求空间电势 从物理问题的对称性和边界条件考虑 设想在导体板左 经Q垂直于导体板的垂线上放一个假想电荷Q 然后把导体板抽去 这样没有改变所考虑空间的电荷分布 即没改变电势服从的泊松方程 7 唯一解是 因为象电荷在左半空间 所以舍去正号解 8 讨论 a 导体面上感应电荷分布 9 c 导体对电荷Q的作用力相当两点电荷间的作用力 b 电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时 两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同 10 d 镜象法的图形与光路用此图比较 根据光的反射可找到Q 的大小和位置 但要注意 光线是直线传播到导体板面上的 有的地方是与板面 有的地方是与板面有一定夹角 但电力线切线方向是场强的方向 电力线在板面附近处处与板面 这一点通过静电平衡原理可知 Q 与Q位置对于导体板镜象对称 故这种方法称为镜象法 又称电象法 11 导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场 场点P的电势 导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替 可以看出 引入象电荷取代感应电荷 的确是一种求解泊松方程的简洁方法 12 解 1 唯一性条件 导体球接地故球的电势为零 P54 真空中有一半径R0的接地导体球 距球心a R0处有一点电荷Q 求空间各点电势 球外空间 Q点处 电势满足泊松方程 根据镜象法原则假想电荷应在球内 因空间只有两个点电荷 场应具有轴对称 故假想电荷应在线上 即极轴上 13 设 14 因任意的 解得 15 16 3 讨论 球面感应电荷分布 导体球接地后 感应电荷总量不为零 可认为电荷移到地中去了 17 因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上 剩余传到无穷远 18 若导体不接地 可视为分布在导体面上 不接地导体已为等势体 加上还要使导体为等势体 必须均匀分布在球面上 这时导体球上总电量 因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势 等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系 而不一定就是一个点电荷 4 若导体不接地 19 若导体球不接地 且带上自由电荷 导体上总电荷为 此时要保持导体为等势体 也应均匀分布在球面上 可以看作与及位于球心处的等效电荷的作用力之和 设 第一项为排斥力 第二项为吸引力 与无关 与正负无关 当时 F 0 即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引 5 若导体球不接地 且带上自由电荷 6 导体球不接地而带自由电荷时所受到的作用力 20 思考 1 导体球电势为U0 2 若点电荷Q在导体球壳内距球心a处 源电荷的位置由球外搬进到球内 此时 接地球壳外无场强 场的区域在球内 类似于光路可逆性原理来解释 球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷 球外象电荷Q 产生的电势 21 3 有一点电荷位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内 它到两个平面的距离为a和b 求空间的电势 假想电荷应在第I象限之外 要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零 应当放几个电荷 解 1 分析 x y O 22 2 电势分布 23 象电荷数为5个 24 象电荷数也为5个 这些象电荷都在过 原 点电荷且与两导体面垂直的面内 练习 25 4 另外几种容易求解又常见的情况 26 根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷 保持求解区域电荷分布不变 引入镜象电荷 不改变求解区域边值关