椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结.doc

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1设直线与方程；(提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为与的区别)2设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”)3联立方程组；4消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)5根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k是否存在) “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”；“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(或)；“共线问题”(如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)；(如：三点共线直线OA与OB斜率相等)；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)；6化简与计算；7细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0二、基本解题思想：1“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；(2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明4处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；(2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6转化思想：有些题思路易成，但难以实施这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的(1)直线恒过定点问题1已知点是椭圆E：上任意一点，直线l的方程为，直线过P点与直线l垂直，点关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标解：直线的方程为，即设关于直线的对称点N的坐标为，则解得所以直线PN的斜率为，从而直线PN的方程为：即从而直线PN恒过定点2已知椭圆两焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线分别交椭圆于两点(1)求P点坐标；(2)求证直线AB的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为，由题意可得，所以椭圆的方程为，则，设则，所以，因为点在曲线上，则，所以，从而，得，则点P的坐标为(2)由(1)知/x轴，直线斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为：，由得，设，则同理可得，则，所以直线AB的斜率为定值3已知动直线与椭圆C：相交于两点，已知点，求证：为定值解：将代入中得，所以，所以4在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：如图所示，斜率为且不过原点的直线l交椭圆C于两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线于点(1)求的最小值；(2)若，求证：直线l过定点解：(1)由题意：设直线l：，由消y得：，设，AB的中点，则由韦达定理得：，即，所以中点E的坐标为，因为三点在同一直线上，所以，即，解得，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为2(2)证明：由题意知：，因为直线OD的方程为，所以由得交点G的纵坐标为，又因为，且，所以，又由(1)知：，所以解得，所以直线l的方程为，即，令得，与实数k无关椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围5已知直线l与y轴交于点，与椭圆C：交于相异两点，且，求m的取值范围解：(1)当直线斜率不存在时：； (2)当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为，所以得所以，所以消去得，所以，整理得，时，上式不成立；时，所以，所以或，把代入(*)得或，所以或，综上m的取值范围为或(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围6已知点，若动点P满足(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点N的直线l交轨迹C于两点，若，求直线l的斜率的取值范围解：(1)设动点，则由已知得，化简得，得所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为，设两点的坐标分别为由消去y得，因为N在椭圆内，所以所以因为，所以，解得(3)利用基本不等式求参数的取值范围7已知点Q为椭圆E：上的一动点，点A的坐标为，求的取值范围解：，设，因为，即，而，所以而的取值范围是，的取值范围是，所以取值范围是8已知椭圆的一个顶点为，焦点在x轴上若右焦点到直线的距离为3(1)求椭圆的方程(2)设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求m的取值范围解：(1)依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设，解得，故所求椭圆的方程为(2)设，P为弦MN的中点，由得因为直线与椭圆相交，所以，所以，从而，所以，又，所以,则，即，把代入得，解，由得，解得综上求得m的取值范围是9如图所示，已知圆C：，定点，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)若过定点的直线交曲线E于不同的两点(点G在点之间)，且满足，求的取值范围解：(1)因为所以NP为AM的垂直平分线，所以，又因为，所以所以动点N的轨迹是以点为焦点的椭圆且椭圆长轴长为，焦距所以所以曲线E的方程为(2)当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为代入椭圆方程，得，由得，设，则，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，整理得，因为，所以，所以，解得又因为，所以 又当直线GH斜率不存在，方程为，所以，即所求的取值范围是10已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆C的方程；(2)若过点的直线与椭圆C相交于两点，设P为椭圆上一点，且满足(O为坐标原点)，当时，求实数t取值范围解：(1)由题意知，所以，即，所以故椭圆C的方程为(2)由题意知直线AB的斜率存在设AB：，由得，因为，所以，因为点P在椭圆上，所以，所以因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以或，所以实数t取值范围为椭圆中的最值问题一、常见基本题型：(1)利用基本不等式求最值，11已知椭圆两焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线分别交椭圆于两点，求面积的最大值解：设椭圆方程为，由题意可得，故椭圆方程为设AB的直线方程：由得，由，得，P到AB的距离为，则，当且仅当取等号，所以三角形PAB面积的最大值为(2)利用函数求最值，12如图，DPx轴，点M在DP的延长线上，且当点P在圆上运动时(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点作圆的切线l交曲线C于两点，求面积S的最大值和相应的点T的坐标解：(1)设点M的坐标为，点P的坐标为，则，所以，因为在圆上，所以将代入，得点M的轨方程C的方程(2)由题意知，当时，切线l的方程为，点的坐标分别为，此时；当时，同理可得；当时，设切线l的方程为，由得设两点的坐标分别为，则由得：又由l与圆相切，得，即所以因为，且当时，所以AB的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的T的坐标为或13已知椭圆G：过点作圆的切线l交椭圆G于两点将AB表示为m的函数，并求AB的最大值解：由题意知，当时，切线l的方程为，点的坐标分别为，此时；当时，同理可得；当时，设切线l的方程为由得设两点的坐标分别为，又由l与圆相切，得，即所以，由于当时，当且当时，所以AB的最大值为2【练习题】1已知是椭圆m：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且(1)求椭圆m的方程；(2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围2已知圆M：及定点，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足(1)若，求点G的轨迹C的方程；(2)若动圆M和(1)中所求轨迹C相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由3已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3