河北省衡水中学2020年全国高三统一联合考试理科数学.pdf

2020 年全国高三统一联合考试 理科数学 一 选择题 1 若集合 A x x 3 2Bxx 则 A B A x x 3 B x 0 x 3 C x 0 x 3 D x x 4 2 已知 i 为虚数单位 若 a 为实数 且 a 0 则 1i i a a A a i B a i C i D i 3 如图 网格纸上每个小正方形的边长为 10cm 粗实线画出的是某蛋糕店制 作的一款生日蛋糕的三视图 则该蛋糕的体积为 A 3 103cm3 B 7 103cm3 C 9 103cm3 D 10 103cm3 4 已知 2 2 且 cos2 2sin2 1 则 tan A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 5 在 25 y x x 的展开式中 xy3的系数为 A 20 B 10 C 10 D 20 6 函数 2 1 x x e f x xe 的图象大致为 A B C D 7 摆线最早出现于公元 1501 年出版的 C 包威尔的一本书 中 摆线是这样定义的 一个圆沿一条直线缓慢地滚动 则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线 圆滚动一周 动 圆上定点描画出摆线的第一拱 再向前滚动一周 动圆上 定点描画出第二拱 继续滚动 可得第三拱 第四拱 设圆的半径为 r 圆滚动的圈数为 c 摆线的长度为 l 执行 如图所示程序框图 若输入的 r 2 c 2 则输出摆线的 长度为 A 12 B 16 C 32 D 96 8 在 ABC中 a b c 分别为角 A B C 的对边 b 2 7c C 60 则 sinA 的值为 A 7 7 B 21 7 C 3 7 14 D 3 21 14 9 某车站在某一时刻有 9 位旅客出站 假设每位旅客选择共享单车继续出行的 概率都为 1 2 且各位旅客之间互不影响 设在这一时刻 9 位旅客中恰好有 k 人 骑行共享单车的概率为 P X k 则 A P X 4 P X 5 B P X 4 P X 5 C P X 5 P X 6 D P X 5 P X 6 10 在边长为 8 的等边 ABC中 D E 分别为 AC AB 的中点 现将 ADE 沿 DE 折起到 A DE的位置 使得2 10A B 直线 A B 与底面 BCDE 所成的正 弦值为 A 10 10 B 30 10 C 70 10 D 21 7 11 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F A 为抛物线 C 上异于顶点 O 的一点 点 B 的坐标为 a b 其中 a b 满足 b2 4a 0 当 AB AF 最小时 ABF 恰好正三角形 则 a A 1 B 4 3 C 5 3 D 2 12 已知函数 ln 2 2 02 ln 2 2 xx f xx xx 若 f x x a 对任意的 x R恒成立 则实数 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 4 C 1 2 D 1 1 二 填空题 13 已知向量 21 a 3 2b 若 aba 则实数 14 函数 f x x2 ln x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 15 将函数 2 2cos 1 3 f xx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵 坐标不变 再把所得函数的图象向右平移 1 个单位长度 最后得到的图象对应 的函数设为g x 则g x 在区间 1 1 上的所有零点的和为 16 已知双曲线 C 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F2的直线 l 与 C 交于 A B 其中点 A 在 x 轴上方 两点 且满足 22 AFF B 若 C 的离心率为 3 2 直线 l 的倾斜角为 120 则实数 的值是 三 解答题 一 必考题 17 已知等比数列 an 是递减数列 a1a4 3 a2 a3 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 2n 2an 1 n 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 18 如图 在多面体 ABCDFE 中 四边形 ABCD 是菱形 ABC 60 四边 形 ABEF 是直角 梯形 FAB 90 AF BE AF AB 2BE 2 1 证明 CE 平面 ADF 2 若平面 ABCD 平面 ABEF H 为 DF 的中点 求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值 19 为了解高三学生的 理科综合 成绩是否与性别有关 某校课外学习兴趣小 组在本地区高三年级理科班中随机抽取男 女学生各 100 名 然后对 200 名学 生在一次联合模拟考试中的 理科综合 成绩进行统计 规定 分数不小于 240 分为 优秀 小于 240 分为 非优秀 1 根据题意 填写下面的 2 2 列联表 并根据 列联表判断是否有 90 以 上的把握认为 理科综合 成绩是否优秀与性别有关 性别 优秀 非优秀 总计 男生 35 女生 75 总计 2 用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取 12 名学生 然后再从这 12 名学生中抽取 3 名参加某高校举办的自主招生考生 设抽到的 3 名学生中女 生的人数为 X 求 X 的分布列及数学期望 附 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中 n a b c d P K2 k0 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k0 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 20 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 2 2 3 直线 l 和椭圆 C 交于 A B 两点 当直线 l 过椭 圆 C 的焦点 且与 x 轴垂直时 2 3 AB 1 求椭圆 C 的方程 2 设直线 l 过点 1 0 且倾斜角为钝角 P 为弦 AB 的中点 当 OPB最大时 求直线 l 的方程 21 已知函数 f x x2eax 1 1 讨论函数 f x 的单调性 2 当 1 e 3 a 时 求证 f x lnx 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 已知倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 2cos sin xt yt t 为参数 曲线 C 的参数方程为 cos sin x y 为参数 点 P 的坐标为 2 0 1 当 12 cos 13 时 设直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求 PA PB 的值 2 若点 Q 在曲线 C 上运动 点 M 在线段 PQ 上运动 且2PMMQ 求动点 M 的轨迹方程 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x 1 2x 1 在给出的平面直角坐标系中作出函数 f x 的图象 并解不等式 f x 2 2 若不等式 f x x 1 5 k 对任意的 x R恒成立 求证 6 5k k 2019 年全国高三统一联合考试 理科数学 一 选择题 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 A 10 B 11 C 12 A 二 填空题 13 5 4 14 x y 0 15 2 3 16 1 7 三 解答题 17 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 则 23 1 2 11 3 4 a q a qa q 解得 1 1 3 3 a q 或 1 9 1 3 a q 又因为数列 an 是递减数列 所以 1 1 3 3 a q 不合题意 故 1 9 1 3 a q 故数列 an 的通项公式为 an 33 n 2 由 1 得 222 2 23 3 nnn n bnn 故 2 32 1 1 992 23 2 22232 1 3 n n n n nnn T 18 1 证明 方法一 因为四边形 ABCD 是菱形 所以 AD BC 又因为 AF BE AF AD A BC BE B 所以平面 ADF 平面 BCE 因为 CE 平面 BCE 所以 CE 平面 ADF 方法二 取 AF 的中点 M 连接 DM EM 如图 由题意知 AM BE 且 AM BE 所以四边形 ABEM 为平行四边形 即 ME AB 且 ME AB 又因为四边形 ABCD 是菱形 所以四边形 DCEM 为平行四边形 即有 DM CE 又 DM 平面 ADF CE 平面 ADF 所以 CE 平面 ADF 2 解 取 CD 的中点 N 在菱形 ABCD 中 ABC 60 可得 AN CD 因为平面 ABCD 平面 ABEF 平面 ABCD 平面 ABEF AB AF 平面 ABEF AF AB 所以 AF 平面 ABCD 以 A 为坐标原点 以AN uuu r AB uu u r AF uuu r 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 A xyz 如图所示 故 A 0 0 0 C 3 1 0 D 3 1 0 F 0 0 2 31 1 22 H 31 1 22 AH uuu r 3 1 0 AC uuu r 设平面 ACH 的一个法向量为 nx y z r 则有 0 0 n AH n AC r uuu r r uuu r 即 31 0 22 30 xyz xy 令 x 1 可得 1 3 3 n r 易知平面 ABEF 的一个法向量为 1 0 0 m u r 设平面 ACH 与平面 ABEF 所成的锐二面角为 则 7 cos 7 m n m n u r r u rr 即所求二面角的余弦值为 7 7 19 解 1 填写列联表如下 性别 优秀 非优秀 总计 男生 35 65 100 女生 25 75 100 总计 60 140 200 因为 2 2 200 35 7565 25 2 3812 706 100 100 60 140 K 所以没有 90 以上的把握认为 理科综合 成绩是否优秀与性别有关 2 利用分层抽样的方法 抽到男生的人数为 12 357 60 抽到女生的人数为 12 255 60 若从 12 人中任意抽取 3 人 则女生被抽到的人数 X 0 1 2 3 30 75 3 12 C C7 0 C44 P X 21 75 3 12 C C21 1 C44 P X 12 75 3 12 C C7 2 C22 P X 03 75 3 12 C C1 3 C22 P X 故抽到女生的人数 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 7 44 21 44 7 22 1 22 721715 0123 444422224 E X 20 解 1 由题意知 2 2 3 c a 2 2 2 1 1 9 c b a 又 a2 b2 c2 解得 b2 1 a2 9 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 9 x y 2 设 A x1 y1 B x2 y2 直线 l y k x 1 k 0 联立方程 2 2 1 9 1 x y yk x 得 9k2 1 x2 18k2x 9k2 9 0 故 2 12 2 18 91 k xx k 设 P x0 y0 则 2 12 0 2 9 291 xxk x k 2 00 22 9 1 1 9191 kk yk xk kk 所以直线 OP 的斜率 0 0 1 9 OP y k xk 设直线 l OP 的倾斜角分别为 则 OPB tantan91 tantan 1tantan89 OPBk k 因 为 k 0 所 以 1112 2 9993 kkk kkk 即 12 93 k k 所 以 3 tan 4 OPB 当且仅当 1 3 k 时 等号成立 所以当 OPB最大时 直线 l 的斜率 1 3 k 此时直线 l 的方程为 x 3y 1 0 21 1 解 函数 f x 的定义域为 R f x 2xeax x2 aeax x ax 2 eax 当 a 0 时 f x x2 1 则 f x 在区间 0 内为增函数 在区间 0 内为减函数 当a 0时 2 eaxfxax x a 令f x 0得 2 x a 或x 0 令f x 0得 2 0 x a 所以 f x 在区间 2 a 内为增函数 在区间 2 a 0 内为减函数 在区间 0 内为增函数 当 a 0 时 2 eaxfx ax x a 令 f x 0 得 2 0 x a 令 f x 0 得 2 x a 或 x 0 所以 f x 在区间 0 内为减函数 在区间 0 2 a 内为增 函数 在区间 2 a 内为减函数 2 证明 由 f x lnx 得 x2eax lnx 1 即 3 eln1 ax x xx 设 3 ln1 x g x x 则 32 6 1 ln1 3 xxx x g x x 2 3 44 3ln23 lnlne xx xx 当 2 3 0ex 时 g x 0 当 2 3 ex 时 g x 0 所以 g x 在区间 0 2 3 e 内是增函数 在区间 2 3 e 内是减函数 所以 2 3 ex 是 g x 的极大值点 也是 g x 的最大值点 即 2 2 3 2 3 max2 3 3 lne11 e e 3 e g xg 设 e 0 ax h xx x 则 2 1 e ax a x a h x x 当 1 0 x a 时 h x 0 当 1 x a 时 h x 0 所以 h x 在区间 0 1 a 内是减函数 在区间