现代控制理论-4.ppt

现代控制理论基础 1 4 1关于稳定性的几个定义4 2李亚普诺夫第一方法4 3李亚普诺夫第二方法4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析4 5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析4 6Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用 4控制系统的稳定性 Lyapunov第二方法 现代控制理论基础 2 引言 1892年 李雅普诺夫 Lyapunov 提出了两种用于确定由常微分方程描述的系统稳定性的方法 第一方法和第二方法 第一方法又称间接法 它的基本思路是先求解系统的线性化微分方程 然后根据解的性质来判断系统的稳定性 它包括了用微分方程显式解来进行系统分析的所有步骤 第二方法通过构造一个称之为Lyapunov函数的纯量函数来判别系统的稳定性 所以这种方法也叫做Lyapunov直接方法 它是分析线性和非线性 时变和定常的动力学系统稳定性的一种普遍原理 而且还可有效地应用于系统分析和综合问题的许多方面 现代控制理论基础 3 4 1关于稳定性的几个定义 4 1 1平衡状态定义动力学系统的平衡状态是满足的那一类状态 用表示 即对于线性定常系统如果矩阵A是非奇异的 则系统只存在唯一的一个平衡状态 0 而当A为奇异时 则存在无限多个平衡状态 对于非线性系统 通常有一个或几个平衡状态 现代控制理论基础 4 4 1 2Lyapunov意义下的稳定性系统受扰动作用后将偏离其平衡状态 随后系统可能出现下列情况 1 系统的自由响应有界 2 系统的自由响应不但有界 而且最终回到平衡状态 3 系统的自由响应无界 Lyapunov把上述三种情况分别定义为稳定 渐近稳定和不稳定 下面分别给出其定义 1 Lyapunov意义下的稳定性用下式表示以平衡状态为圆心 半径为k的球域 式中 称为欧几里德范数 即 4 1关于稳定性的几个定义 现代控制理论基础 5 定义4 1对于任意给定的每个实数 都对应存在另一实数 使得一切满足不等式的任意初始状态x0出发的系统响应x 在所有时间内都满足则称系统的平衡状态在Lyapunov意义下是稳定的 若与t0选取无关 则平衡状态是一致稳定的 几何含义 给定以任意正数为半径的球域 当t无限增大时 从球域内出发的轨迹总不越出球域 那么平衡状态是Lyapunov意义下稳定的 以二维空间为例 上述定义几何解释如右图所示 4 1关于稳定性的几个定义 二维空间中稳定平衡状态示意图 现代控制理论基础 6 2 渐近稳定定义4 2若平衡状态是Lyapunov意义下稳定的 并且当t趋近于无穷大时 x t 趋近于 即 则称平衡状态渐近稳定 以二维空间为例 上述定义几何解释右图所示 3 大范围渐近稳定定义4 3如果平衡状态是渐近稳定的 且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间 那么平衡状态就称为大范围渐近稳定 4 1关于稳定性的几个定义 二维空间中渐近稳定平衡状态示意图 现代控制理论基础 7 很明显 大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态 对于线性系统 如果其平衡状态是渐近稳定的 那么它一定是大范围渐近稳定的 如果系统不是大范围渐近稳定的 那么就要遇到一个确定渐近稳定的最大范围的问题 这通常非常困难 4 不稳定定义4 4如果对于某一实数 不论取得多么小 在内总存在一个初始状态x0 由此出发的轨迹最终越出 即 则称平衡状态不稳定 以二维空间为例 上述定义几何解释右图所示 4 1关于稳定性的几个定义 二维空间中不稳定平衡状态示意图 现代控制理论基础 8 4 2李亚普诺夫第一方法 Lyapunov第一方法又叫间接法 它的基本思路是解系统方程 然后根据方程的解判别系统的稳定性 1 对于线性定常系统只需求出特征值就可判别其稳定性 2 对于非线性系统 则必须首先将系统的状态方程线性化 然后用线性化方程 即一次近似式 的特征值来判别系统的稳定性 1 线性系统稳定性的判别定理4 1线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部 例4 1试分析如下系统的稳定性 解矩阵A的特征方程为于是得矩阵A的特征值为 故系统不是渐近稳定的 现代控制理论基础 9 定义4 5若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的 则称系统为有界输入有界输出稳定 有界是指如果一个函数h t 在时间区间内 它的幅值不会增至无穷大 即存在一个实常数K 使得对于内所有 恒有 则称h t 有界 定理4 2线性连续定常系统的传递函数为当且仅当其极点都在S左半平面内 则系统是输入输出稳定 结论 若系统是渐近稳定的 则它也是输入输出稳定的 若系统是输入输出稳定的 且又是能控能观测的 则系统是渐近稳定的 4 2李亚普诺夫第一方法 现代控制理论基础 10 2 非线性系统的稳定性分析设系统在零输入下的状态方程为f x 是与x同维数的向量函数 它对于状态向量x是连续可微的 将非线性向量函数f x 在平衡状态附近展开成泰勒级数 即 4 2李亚普诺夫第一方法 雅可比 Jacobian 矩阵 引入偏差向量 即可导出系统的线性化方程 或称一次近似式为式中 现代控制理论基础 11 假如矩阵A的所有特征值都具有负实部 则原非线性系统的平衡状态是渐近稳定的 且系统的稳定性与高阶项无关 如果一次近似式中矩阵A的特征值中至少有一个实部为正的特征值 那么原非线性系统的平衡状态是不稳定的 如果一次近似式中矩阵A的特征值中虽然没有实部为正的特征值 但有实部为零的特征值 那么原非线性系统的平衡状态的稳定性要由高阶项决定 4 2李亚普诺夫第一方法 现代控制理论基础 12 例4 3描述振荡器电压产生的Vanderpol方程为试确定系统渐近稳定Q的取值范围 解 令 上式可化为显然 这是一个非线性方程 其平衡状态xe为 4 2李亚普诺夫第一方法 将状态方程线性化 有且A的特征方程为根据Lyapunov第一方法 若原非线性系统平衡状态xe是渐近稳定的 则要求和 由于 则欲使 必须有即 现代控制理论基础 13 4 3李亚普诺夫第二方法 Lyapunov第二方法又称直接法 它不必通过对运动方程的求解而直接确定系统平衡状态的稳定性 它是建立在用能量观点分析稳定性的基础上 若系统的平衡状态是渐近稳定的 则系统受激励后其贮存的能量将随着时间推移而衰减 当趋于平衡状态时 其能量达到最小值 反之 如果系统的平衡状态是不稳定的 则系统将不断地从外界吸收能量 其贮存的能量将越来越大 Lyapunov第二方法就是用V x 和的正负来判别系统的稳定性 对于一个给定系统 只要能找到一个正定的标量函数V x 而半负定的 那么这个系统就是稳定的称V x 为系统的一个Lyapunov函数 本节介绍Lyapunov关于稳定 渐近稳定和不稳定的几个定理 在介绍这些定理前先介绍一下有关标量函数V x 符号性质的几个定义 现代控制理论基础 14 4 3 1预备知识 1 标量函数V x 符号性质的几个定义设V x 为由n维矢量x所定义的标量函数 且在x 0处 恒有V x 0 对所有在域中的任何非零矢量x 则称V x 是正定的 则称V x 是半正定的 则称V x 是负定的 则称V x 是半负定的 或 则称V x 是不定的 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 15 2 二次型标量函数 3 P的各阶主子行列式为 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 16 二次型函数V x 的符号性质可用赛尔维斯特 Sylvester 准则来判断 二次型函数V x 为正定的充分必要条件为矩阵P的所有主子行列式为正 二次型V x 为负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V x 为半正定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V x 为半负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 17 4 3 2Lyapunov第二方法的几个定理定理4 3设系统的状态方程为如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V x 并且满足下列条件 则平衡状态xe渐近稳定 如果随着 有 则平衡状态xe是大范围渐近稳定的 定理应用需要注意两点 1 定理只是充分条件 不是充分必要条件 即如果所选取的正定函数的导数不是负定的 并不能断言该系统不稳定 因为很可能还没有找到合适的函数 2 寻找Lyapunov函数V x 的困难在于必须是负定的 而这个条件是相当苛刻的 能否把为负定的这个条件用为半负定来代替 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 18 例4 4某非线性系统的状态方程为xe 0是其唯一的平衡状态 试判别平衡状态xe的稳定性 解取标量函数V x 为显然V x 是正定的 V x 对时间的导数为将状态方程代入上式 得显然 是负定的 函数V x 满足定理4 3的条件 和 则系统的平衡状态是渐近稳定的 V x 是系统的一个Lyapunov函数 由于当 有 满足定理4 3的条件 所以系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 19 定理4 4设系统的状态方程为xe 0是系统唯一的平衡状态 若存在V x 满足下列条件 则称系统在原点处的平衡状态是稳定的 对于任意的的任意初始状态 在时除了在x 0时有外 不恒等于零 则系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 定理4 5设系统的状态方程为xe 0是系统平衡状态 如果存在一个标量函数V x 它具有连续的一阶偏导数且满足下列条件 在原点的某一邻域内是正定的 在同样的邻域内也是正定的 那么系统的平衡状态是不稳定的 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 20 4 3李亚普诺夫第二方法 例4 5设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性 解令 求得原点 0 0 为给定系统的唯一平衡状态 如仍取标量函数V x 为则当时 因此不是负定的 而是半负定的 因此所选V x 不满足定理4 3的条件 现另选取显然V x 是正定的 计算得 是负定的 所以该V x 是系统的一个Lyapunov函数 系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的 又因为 有 故系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 现代控制理论基础 21 例4 6设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性 解显然 即原点为平衡状态 选取正定的标量函数 则V x 为正定的 又也为正定的 故定理4 5的条件均满足 因此系统的平衡状态是不稳定的 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 22 4 3 3几点说明应用Lyapunov第二方法分析系统稳定性的关键在于如何找到Lyapunov函数V x 然而Lyapunov稳定性理论本身并没有提供构造Lyapunov函数的一般方法 下面简略概括一下Lyapunov函数的属性 Lyapunov函数是一个标量函数 对于给定系统 如果存在Lyapunov函数 它不是唯一的 Lyapunov函数最简单的形式是二次型函数 即 其中P为实对称正定阵 对于一般情况而言 Lyapunov函数不一定都是简单的二次型函数 但对线性系统而言 其Lyapunov函数一定可以用二次型函数来构造 4 3李亚普诺夫第二方法 现代控制理论基础 23 在线性系统中 如果平衡状态是局部渐近稳定的 那么该系统一定也是大范围渐近稳定的 然而在非线性系统中 在大范围内不是渐近稳定的平衡状态有可能是局部渐近稳定的 因此 线性系统的渐近稳定性和非线性系统的渐近稳定性含义是不同的 两种构造非线性系统Lyapunov函数的方法 1 克拉索夫斯基 Krasovskii 方法 2 变量梯度法 4 4 1Krasovskii方法非线性系统的状态方程为假设xe 0 Krasovskii用状态向量x的导数来构造Lyapunov函数 即令其中P为对称正定矩阵 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 现代控制理论基础 24 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 为验证是否为负定 V x 对时间t求导数 有考虑到式中称为系统的Jacobian矩阵 整理得式中可以证明 若Q是负定的 则也是负定的 现代控制理论基础 25 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 结论 对于非线性系统若选取正定对称矩阵P 且使为负定的 则统在xe 0处是渐近稳定的 如果 有 则系统在xe 0处是大范围渐近稳定的 例4 7试用Krasovskii方法判别下列系统在原点处是大范围渐近稳定的 解按照Krasovskii方法选取P I 故有由于 现代控制理论基础 26 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 从而有 故有且由Sylvester判据 知Q是负定的 则系统的Lyapunov函数为显然 当 所以该系统在原点处是大范围渐近稳定的 当非线性特性能用解析式表达时 且系统的阶次又不太高时 用Krasovskii方法分析这类非线性系统的渐近稳定性还是比较方便的 它是充分条件 而非必要条件 现代控制理论基础 27 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 4 4 2变量梯度法D G Shultz和J EGibson在1962年提出来的 主要思路是先假设一个旋度为零的梯度gradV 然后根据它再确定V x 假设非线性系统的平衡状态xe 0是渐近稳定的 则其Lyapunov函数V x 存在 且函数V x 一定具有唯一的梯度gradV若Lyapunov函数V x 是x的显函数 而不是时间t的显函数 则V x 对时间的导数为 现代控制理论基础 28 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 写成矩阵的形式为因此D G Shultz和J EGibson提出 先假设gradV为某一形式 譬如为并根据为负定的要求确定gradV 进而确定上式中的未定系数 然后由这个gradV按下式导出V x 现代控制理论基础 29 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 如果求出的V x 是正定的 这就是给定系统所要构造的Lyapunov函数 如果V x 的梯度向量gradV的线积分与路径无关的话 那就必须要求gradV的旋度为零 即要求gradV满足如下方程其中对于一个n阶系统 应有n n 1 2个旋度方程 如n 3 则有下列三个旋度方程 现代控制理论基础 30 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 综上所述 如果非线性系统的平衡状态xe 0是渐近稳定 则可按如下步骤求得系统的Lyapunov函数V x 按某一形式给出gradV 从gradV求出 并限定它为负定或至少是半负定的 用式旋度方程确定gradV中的未定系数 再核对一下 因为上一步计算可能使它改变 求出V x 例4 8试用变量梯度法判定非线性系统在原点处是渐近稳定的 现代控制理论基础 31 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 解设所求Lyapunov函数V x 的梯度为如下形式于是V x 的导数为试探地选取则如果 则是负定的 将代入梯度公式有 现代控制理论基础 32 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 注意到满足旋度方程 所以上面所求得的Lyapunov函数V x 对于的所有点都是正定的 所以系统在上述范围内是渐近稳定的 为了说明由上式所确定的Lyapunov函数不是唯一的 我们重新选择梯度表达式中未定系数为 现代控制理论基础 33 4 4非线性系统的Lyapunov稳定性分析 于是 在整个状态平面上是负定的 此时 由于显然 若 则满足旋度方程 所以V x 为从这个Lyapunov函数可以看出 系统的原点在范围内是渐近稳定的 系统渐近稳定的范围比前面的大 因此这次构造的Lyapunov函数优于前者 现代控制理论基础 34 4 5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 主要内容 用Lyapunov第二方法来分析线性连续定常系统以及线性定常离散系统的稳定性 4 5 1线性连续定常系统的稳定性分析线性连续定常系统的状态方程为假设所选的Lyapunov函数为二次型函数其中P为维实对称正定矩阵 V x 对时间的导数为则有欲使系统在原点处是渐近稳定的 则要求是负定的 因此必须有式中为正定对称矩阵 现代控制理论基础 35 定理4 6线性连续定常系统在平衡状态xe 0处渐近稳定的充分必要条件是给定一个正定对称矩阵Q 存在一个正定对称P满足方程上式又称为Lyapunov方程 标量函数是系统的一个Lyapunov函数 注意 如果不恒等于零 则Q可取为半正定的对称矩阵 例4 9设二阶线性定常系统的状态方程为显然 原点是系统的平衡状态 试确定该系统的稳定性 解设Lyapunov函数为 4 5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 现代控制理论基础 36 矩阵P由下式确定上式可写为将矩阵方程展开 可得联立方程组解方程组可得下面检验矩阵P的正定性 P的各阶主子行列式P是正定的 因此 系统在原点处的平衡状态渐近稳定 而系统的一个Lyapunov函数为 4 5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 现代控制理论基础 37 4 5 2线性定常离散系统的稳定性分析设线性定常离散系统状态方程为式中 G为非奇异矩阵 系统的平衡状态是原点 假设取如下正定二次型函数 4 5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 计算有令上式称为离散系统的Lyapunov方程 于是有 现代控制理论基础 38 定理4 7线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是给定任一实正定对称矩阵Q 存在一个实正定对称矩阵P 使得成立 是系统的一个Ly