复方阵Jordan分解定理的一个证明.pdf

第2 0 卷第l 期 昆 明工学院学报 Vo 1 2 0 No I 9 9 s 2目 一J OURNAL OF KUNMT NG T NS TI TUTE OF TEC HNOL OGY F e b I 9 9 5 方阵 J o r d a n分解 定理 的一个证 明 壁韭 昆 明工学 院 基础 部 昆明 6 5 0 0 9 3 0 摘 要这 篇文章给 出 1 J o r d a n定 理的一个证 明方法 利 用线性代数 的基础 知识 关键词 兰 堡的 墼 立查查些丝主堡 堑窒囹 中 图 分 类 号 O l 5 善定理 线性代数的一个 重要定理 J o r d a n定理 其证明难度大 需具备一定深度的代数知 识 这里提供的证明方法 仅利用极少的基础知识 引理 1 设A C 若 r r A r 则 r A r 证 明 因r r A 所 以 A 的列 向量 可 由 A 的列 向量线性表示 A B B C 由此容易 证得 的秩 为 r 引理 2 设A C 记齐 次线性方 程组A O XE C 的解空 间为S 若 r A 月一J 一 一 J 全为正 数 1 1 2 m 则 1 解空 间 有 基 1 3 x 其中前 e i 个向量是 的基 l 2 m 1 并且 一 线性 无 关 这里 l 2 f 一 1 2 3 m 2 一 1 3 记式 I 中的 f 1 2 并将式 1 改写成 1 2 2 则存在 一 一 并记 Y 1 当J 一 时 令 y 一 AX 以 Y 一 替换式 2 中的 一 使得 1 一2 Y一 1 3 成为 的 基 4 S 有 基 收稿 日期 9 9 4 9 9 0 维普资讯 9 2 昆明工 学 院学报 9 9 5妊 其 中 X 是 s 的基 1 2 证明S 有基 I 是 显然的 令 X 2 X 4 AX 的列 向量在 中 户 m 一 1 2 k 1 A x j 十 k A 日 一l 2 i 1 其 中数 k 待定 得 k l 十 十 k 0 k l X 十 t f x 十 f 十 十 由 有 基 1 式即可 得 到 I1 j S f 线性 无 关 并且 显 然它 们 在 中 证2 因 d i ms 由 I 得 2 设 1 I 今 证 明 一 倘 若不然 r 一 令 一 的 向量 fm 一 x 5 的线性组合为零 再左乘 一 容易证明式 5 线性无关 这与 d i ms 一 矛盾 所以 一 证 3 当 一 1时 因 X 一 是 s l的基 又式 5 线性无关 所以 一 必存 在 一 一 个 向量 将 它们放 入 s 中使 X 2 Y 成 为 S 一 的基 为 证 明 3 是s 的基 令 r 1K 1 十 一 2K 2 y 1 K 一 1 r K 0 其中 K 是由待定常数组成的列矩阵 然后上式两端左乘 一 即可得到结论 证4 根据3 再依次替换 3 中的 邵得 定理 1 设 n 阶复方阵 A的特征值 的重数为 指标为 则方程组 一a o E X O C Xe C 的解 空间s 的维数 为 证明为书写方便起见 设 2 据引理 1 可设r 一3 o n 一 全为正数 不妨 设 由引理 2 S 有基 一 一 2 o E 一 3 o E 6 其中前 Nt s 的基 取y I y eC 使它们与 6 组成c 的一个基 井记 P 一 C a 一 3 o E 1 1 一 3 o E y 容易算得 维普资讯 第 1 期 孙默非 复方 阵 J o r d a n分解定理的一十证明 9 3 p I A p J l o 1 0 B 2 J 妇g 竺 2 1 I 2个 2 个 i f 是特征值为i 的f 阶J 0 r 血 n 子块 1 2 一 于是l 一 I I 一I 日 一i I 所以 今证明 一k 若不 然 B 有特征值i 任取它的一个特征 向量 c c 2 c 由 一 口 1 口 2一 2 o E一 B t B 2一 i r 一1 得 一i E 0 其解空间设为s 有解 P 0 0 I 1 2 C1 1 C j I j l 显然它与解空问s 的基 6 线性无关 这表 明s 的维数大于 同特征值i 的指 标为 2 矛盾 J d imS 2 2 k 一 证毕 定 理 2 设 A c 若 A的 全 部 不 相 同的 特 征值 为 i 其 重 数 依 次 为 其指 标依次为 l m 并且按 引理 2的 4 取 一i E e 的解 空间 S 的基 啦 f l 2 r 则 1 7 是c 的基 证明据定理 1 只需证明 7 的列 向量线性无关 因 的列向量是线性无关的 设 的列向量线性无关 令 tB 一 1B 一 B 皇 0 8 其 中 B B 是 由 特 定 常 数 组 成 的 列 矩 阵 上 式 两 端 左 乘 一i 一i 注意到这些因子满足交换律 得 一 E 一 卜 E 卜 B 0 一 E 一 一 卜 B 十 十 B 埘 0 9 式 9 两端左乘 一1 r 并将 一j l N 一i E i 一i 展 一 i 一 l 一 一 一 B 0 维普资讯 4 昆明工 学 院学 报 I 9 9 5年 据引理 2的1 B e 代入 9 同理可证 B 全 为 零 即 B 0将 0 代 入 8 由归纳法假设 得 B 0 B 0 于是 7 的列 向量线 性无关 证毕 定理 3 J o r d a n 设A c 则存在 H阶可逆复方 阵 P 使A P J P 其中 是 阶 J o r d a n方 阵 这个 J方 阵除 去其 子块排列次 序外是 由 A唯 一确定 的 证明设 A的全部不相同的特征值为 其重数依次为七 n 其指标依次为m m 据引理1 有 一 一 一 J 全 为正数 f 1 2 m 1 2 f 按 目 I 理 2的4 取 j 目 的解 空 间 的基 户 1 2 f 于是这 些基 组成 c 的基 定理 2 然后 适 当对 调基 中的向量 对调 后的 基组成可逆 阵 P 即 得A P J P 最后证 J的唯一性 设 J是任 一个 与 A相似 的 J o r d a n矩 阵 将 J按 下列顺 序排列 di a g J J J 曲 g 个 个 一 r 一 H r J一 f I f 2 一 r 一 n r 一 所以 m 并且由上面一组等式不难得到 一 r 一 一 r 一 H 一 2 r 一 i 2 m 这表明特征值为 且阶数相同的 J o r d a n子块数 由 A唯一确定 换言之 不 考虑 子块排列顺 序 J唯一 约定 一 证毕 参 考 文 献 1北京大学几何与代数教研室代数小组 高等代数 北京 高等教育出版社 I 9 8 8 3 1 8 3 5 0 3 5 3 2屠伯埙 像诚浩 王芬 高等代数 上海 上海科学技术 出版社 1 9 8 7 2 7 7 2 8 5 3孙默非 线性代数 昆明 昆明工学院 教材科 1 9 9 4 7 0 7 2 I 皇 H 一 l l 卜 一 是 于一 一 州 一 一 n 维普资讯 第 1 期 孙默非 复方阵 J o r d a n分解定理的一十证 明 9 5 A Pr oo f of Jor d an S D e c o m p o s i t i on The or e m of C o m p l e x Squ ar e M a t r i x Sun M of ei De p a r t me nt Ba s i c Cou r s e s Kun mi n g I n s t i t u t e o f Te c hn o l o g y Ku n m i n g 6 5 0 0 9 3 Ab s t r ac t Thi s p a pe r g i v e s a p r oo f o f J o r d a n s d e c o mpo s i t i on t h e o r e m u s i n g t h e f un da me n t a k n owl o d g e o f I i n e a r a l g e b r a Ke y wo r d s r a n k o f ama t r i x s p a c e o f s o l u t i o n s o f a s y s t e m o f h o mo g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n 十十十 十十十 十十 十十十 十十 十十 十十十 十十 上接第 8 4页 3 金问鲁 悬挂结构计算理论航 州 浙江科学技术 出版社 1 9 8 1 2 2 一t 4 0 4 黄星伟 刘北辰 索网屋盖一圈粱的有限元调整计算法 第七届垒国结构工程学术会议论文集f 工程力 学增刊 I 9 9 4 I 3 7 5 1 3 7 8 5 朱思荣 四川省体育馆工程匿盘设计小结 建筑设计技术 1 9 8 7 一 结一I 3 1 I 5 6 E欣顿 D R J欧文 有限元程序设计 北京 新时代 出版社 1 9 8 2 6 8 I 5 6 De s i g n an d Anal y s i s of Ne w Ca bl e s u s p e nd e d Roo f H ua ng Cbc ngwe i Li u Be l c be ng epa r t m e nt of C i vi l Eng i ne er i n g and M ec ha ni cs Ku n mi n g I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y Ku n mi n g 6 5 0 0 9 3 Abs t r a c t Th i s pa p e r d e s i g n e d a n e w do ub l e d e c k c a b l e s u s p e n de d r o of a n d ma d e no nl i n e a r f i n i t e e l e me n t c o m p u t a t i on us i n g c a b l e e l e m e n t a n d f r a m e e l e m e nt Th e m ut u a l a f f e c t of ne t a n d c i r e u i t b e a m h a s b c c n t a k e n i nt o c o n s i d e r a t i on dur i n g t h e c o m pu t a t i o n R e s ul t i n d i c a t e d t h a t t h e s t r u c t u r e h a s a d v a nt a g e of l a r g e l o a d b e a r i ng c a pa c i t y a n d s ma l l de f o r ma t i o n a s we