数学模型第三章1.doc

第三章 优化模型当决策者要在要在许多可供选择的策略中作出抉择，选出最佳的策略。这类问题称为优化问题。描述优化问题的数学模型称为优化模型。本章主要介绍一些可用微分方法解决的优化模型3.1存贮模型3.1.1问题描述通常工厂要订购各种原材料，存在仓库里供生产用；商店要成批地购进各种商品供零售用。那么每隔多长时间订货一次每次订货量为多少最合算？这类问题称为存贮问题。3.1.2 模型假设1 每隔T天订货一次，即订货周期为T天，设订货可立即送到；2 每次订货量为Q吨；3 每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）；4 每天对货物的需求量为r吨；5 货物每吨每天的库存费用为C2元；6 货物每天每吨的缺货费用为C3元（因缺货而造成的损失）；7 用t表示从第一次订货算起的时间（单位：天），q表示库存量，C表示总费用.3.1.3建模与求解总费用=订货费+库存费+缺货费QOtT2TQq=Q-rtqQ库存量图图3.1.1（一）不允许缺货的情形即每当库存量降至0时就立即补足。此时不存在缺货费。当0tT时，平均库存量为Q/2,从而库存费为C2TQ/2，故总费用C= C1+ C2TQ/2日均费用 ，t=T时，q=0 , Q=rT, 即T=Q/r. (Q0)令 得 解出驻点 从而 驻点Q*就是最小值点。 T*为最佳订货周期，Q*为最佳订货量。称为EOQ（Economic Ordering Quantity）公式.（二）允许缺货的情形Q1OtT1q=Q1-rtqQ库存量图TQs图3.1.2当库存量下降至0时，就实行“缺货预约”的办法。即待进货后补偿。Q1-最大库存量，Qs-允许最大缺货量, Q= Q1+Qs在0tT时，有T1天要交库存费,平均每天库存量按Q1/2来算,库存费= 另有T-T1天要支付缺货费，平均每天缺货量按Qs/2来算, 缺货费=，又因Qs=r(T-T1) 缺货费=总费用C=C1+,又因T1=Q1/r总费用 C=C1+日均费用 ,这里T与Q1是变量.令，得，解出，再把此式代入方程解得 从而 ，当C3+时，Qs*0, Q1*=, ，即变为不允许缺货的情形。3.2 森林灭火3.2.1问题描述当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大。派多少队员去灭火，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小呢？3.2.2问题分析（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关。（2）救援开支由两部分构成，灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；运输费（与人数有关）。（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比。3.2.3模型假设1. 火灾损失与森林被烧面积成正比。记开始失火的时刻为t=0，开始灭火的时刻为t=t1，火被完全扑灭的时刻为t=t2。设在时刻t森林被烧面积为B(t)，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).2. 表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t=0与t=t2时最小，且为0，当t=t1时最大，记.由前面分析，B(t)与t2成正比,故不妨设在区间0,t1与t1,t2上，都是t的线性函数。在0,t1 上，斜率为0，称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度：m2/min2),在t1,t2 上,斜率为-x0-x0，即驻点就是最小值点。3.2.5 结果解释从结果(3.2.3)看，x/，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大于/，这保证-x0，使燃烧速度趋于0.而(3.2.3)的第一项是 综合考虑了各种因素，使总费用最低。实际上,此模型中的参数b、与是由经验确定的。3.3 血管分支3.3.1问题描述动物为了维持血液在血管中流动,要向血管提供能量,其中一部分用于供给血管壁以营养,另一部分用来克服血液流动受到的阻力, 消耗的能量与血管的几何形状有关，有人研究发现，某种动物的血管分支角度几乎是固定的。因此，就提出一种假说，认为生物在长期进化过程中，血管的几何形状向消耗能量最小的方面转变。下面的模型，研究血管分支处粗细血管半径的比例和分叉的角度在消耗能量最小的原则下该取什么值。3.3.2模型假设1. 一条粗血管在分支处分为两条细血管，分叉点附近三条血管共面，且有一条对称轴（几何上的假设）；2. 把血液在血管中的流动视为粘性流体在刚性管道中的运动（物理上的假设）；3. 血液对血管壁提供营养的能量随血管壁表面积及血管壁的体积的增加而增加；血管壁的厚度与血管半径成正比（生物学上的假设）.ABCMBrr1LlHl1图3.3.13.3.3模型的建立1. 由假设1，如图标出各种符号。并设血液在粗细血管单位时间的流量分别为q与q1，则q=2q1.2.由假设2,利用流体力学的结果：在单位长的管道中，阻力与流量的平方成正比，与半径的4次方成反比。从而为克服阻力而消耗的能量E1为： (k为比例系数) （3.3.1）3. 一般地，对半径为r长为l 的血管，内表面积s=2rl，即s与r成正比，若记d为壁厚，则管壁的体积V=l(d+r)2-r2= l(d2+2dr),又由假设3，d与r成正比，因此，V与r2成正比.从而供给血管壁营养所消耗的能量E2中，含一项与r成正比，另一项与r2成正比。为简化计算，可设为供给单位长血管壁营养所消耗的能量为br（12），b为比例系数. 因此 （3.3.2）血液从点A流到点B与B的过程共消耗的能量E为 （3.3.3） （3.3.4） （3.3.5）q1=q/2 （3.3.6）把(3.3.4)、(3.3.5)、(3.3.6)式代入(3.3.3)得到E为r, r1,的三元函数 （3.3.7）3.3.4模型求解按优化原则，求E的最小值点令得方程组 （3.3.8）两边相除得 （3.3.9）令得把(3.3.9)代入得 ，因此 （3.3.10）（3.3.9）与（3.3.10）式就是在血管消耗能量最小的原则下求得的粗细血管半径比例与分叉半角。3.3.5检验若在（3.3.9）与（3.3.10）式分别取=1与=2，则可得r/r1与的大致范围结果与实际情况基本相符。若记动物大动脉的半径为R，最细的毛细血管的半径为r,设从大动脉到最细的毛细血管有n次分叉,则把（3.3.9）式反复利用n次得：.若测试出此比值，则可估计出动物的血管总数.例如有人对狗作过测量得,n=5(+4) .12，25n30,又因每次分叉产生两条血管，故狗的血管数大约有225230，如取=1.5，则有227.5=1.9亿.当然，此结果是较粗略的.3.3.6相关问题探讨在上述模型的建立过程中，为了化简E，以幂函数代替了二次函数。一般来讲，设二次函数为f(x)=ax+bx2 (x1xx2)，幂函数为g(x)=cxs (x1xx2).其中a、b、x1与x2为已知常数,那么,如何选择参数c与s,使得在区间x1，x2内，两曲线尽量接近.即用g(x)代替f(x)后的误差尽量小.3.3.6.1参数的选择方法为了确定两个参数，一个自然的想法就是令两曲线在关于区间x1,x2中心对称的两点上重合(0p0.5).即f(u)= g(u)，f(v)= g(v)，因此有au+bu2= cus , (3.3.11)av+bv2= cvs , (3.3.12)根据此实际问题的性质，以下假定a、b、x1、x2都是正数，且x1u0. (3.3.12)的两边分别除以(3.3.11)的两边得: , (3.3.13) (3.3.14)3.3.6.2参数s的性质我们可以证明，由(3.3.13)式确定的s满足：1su，所以a+bva+bu,，另方面，因为uv，所以au+buv av+buvu(a+bv)v(a+bu)，1s 0 0）.如图3.7.2，取y轴向下，则对曲线上任一点质量为m的质点从O点降到B点时，根据能量守恒定律，质点下降过程所减少的势能等于所增加的动能，所以代入（3.7.3）式得（此时=0，=0，） (3.7.4)作积分变换 设 即 即 （记） 对应 ， 对应 (3.7.4)式右边= =， 又取=t , 则u=