曲线与方程优秀教案

精品文档人教版选修2-1公开课教案2.1.2 曲线与方程江玉海 安徽师范大学附属外国语学校二00九年十二月二十四日2.1.2 曲线与方程安师大附外 江玉海 一 教学目标1、知识目标：（1）理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3）学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；（4）强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。2、能力目标：（1）通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；（2）在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；（3）在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。3、情感目标：（1）通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；（2）通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。二 教学重难点教学重点 曲线和方程的概念教学难点 曲线和方程概念的理解三 教学方法 问题探究和启发、引导式相结合四 教学用具：多媒体课件五 教学过程：知识回顾1、在什么条件下，方程f(x，y)0是曲线C的方程，同时曲线C是该方程的曲线？ （1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)0的解； （2）以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上. 2、平面解析几何研究的主要问题是：（1）求曲线的方程;（2）通过方程研究曲线的性质.在平面上建立直角坐标系: 点 坐标(x,y) 曲线 曲线的方程例题讲解例1、设A、B两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解法一：,所求直线的斜率=-0.5又线段AB的中点坐标是，即(1,3)线段AB的垂直平分线的方程为.即x+2y-7=0解法二:若没有现成的结论怎么办?需要掌握一般性的方法问题1.设A、B两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,则 |MA|=|MB|()由上面过程可知,垂直平分线上任一点的坐标都是方程的解;设点的坐标是方程()的解,即 上面变形过程步步可逆, 综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是.第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标;2.列出适合条件P的几何点集:;3.用坐标表示条件,列出方程;4.化简方程为最简形式;5.证明(查漏除杂).例2、已知一条直线和它上方的一个点F,点F到的距离是2.一条曲线也在的上方,它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.解:取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，那么MF-MB=2，把M点坐标代入上式得：，平方得：，化简得：。因为曲线在x轴的上方，所以y0, 所以曲线的方程是 练习1.已知点M与轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程。解:设点M的坐标为(x,y)点M与轴的距离为,=这就是所求的轨迹方程.2. 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程. （x2y21 ）例3、已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程.解；设AB的中点M的坐标为（x，y），又设A（X1，Y1），则点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则y1=x12+3代入，得：2y=（2x-6）2+3变式练习：若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC重心G的轨迹方程.例4、经过原点的直线l与圆相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:设M,A,B且由得即(易知)化简得所求轨迹方程为(在已知圆内部一段弧对应的方程)相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，也称代入法。 简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。解法二:设M,A,B则设直线l的方程为由方程组消去y得消去参数得小结：1.求曲线方程的常用方法:（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。（3）代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给