南京航空航天大学《高等数学》125全微分方程.pdf

齐次方程齐次方程 可化为齐次方程 可化为齐次方程 称原方程为齐次方程 形式能写成若 称原方程为齐次方程 形式能写成若 1 x y F dx dy yxfy yx yx y 如如 xy xy y 1 1 1 概念概念 一 齐次方程一 齐次方程 定义定义 22 2 yx xy y 22 1 2 xy xy y 0 22 xyy dx dy x 1 2 22 x y x y x xyy y tytxfyxf yxf 即 是零次齐次函数其实方程右端函数 即 是零次齐次函数其实方程右端函数 2 解法解法 2 yuxu xuyu x y 就得求出的函数是 即令 就得求出的函数是 即令 3 dx du xu dx dy 1 3 可分离变量方程 得代入将 可分离变量方程 得代入将 uF dx du xu x dx uuF du x dx uuF du 两边积分 分离变量后 两边积分 分离变量后 1 的通解 便得齐次方程 代再用 求出积分后 的通解 便得齐次方程 代再用 求出积分后 u x y u dx du xuu dx du xu dx du xu dx dy u x y tan tan 即 代入原方程得 令 即 代入原方程得 令 的解满足求方程的解满足求方程 6 tan 1 x y x y x y y例例1 解解 分离变量得 分离变量得 dx du udu cot 0 0时即当时即当 yu 2 1 6 1 cy x 代入通解得将代入通解得将 2 sin x x y 故特解为 故特解为 xc x y sin回代 回代 sinlnlnsinlnxcucxu 两边积分两边积分 齐次方程 齐次方程 1 2 2 2 xy xy xxy y dx dy dx dy xy dx dy xy 22 解方程解方程 x y ceyceux u 故 故 1 lnln 1 cxuu x dx du u u 两边积分得 分离变量得 两边积分得 分离变量得 111 222 u u u uuu dx du x u u dx du xu dx du xu dx dy x y u代入原方程得令代入原方程得令 例例2 解解 o x y yxM A T s 曲面的方程 轴平行 求这旋转 镜反射后都与旋转 出的一切光线经凹 由旋转轴上一点发 形状的凹镜 假设 有一旋转曲面 曲面的方程 轴平行 求这旋转 镜反射后都与旋转 出的一切光线经凹 由旋转轴上一点发 形状的凹镜 假设 有一旋转曲面例例3 0 xyyCC x 设 见图 曲线为 平面与旋转面截得的的任一平面为坐标面 过轴轴 光源为坐标原点 取旋转轴为 设 见图 曲线为 平面与旋转面截得的的任一平面为坐标面 过轴轴 光源为坐标原点 取旋转轴为解解 x y y XAox y y XY xXyyYM 0 令 点的切线为 过 令 点的切线为 过 22 yxoMoMAo SMToMA 有由光学中的反射定律 有由光学中的反射定律 222 22 11 xy xy yxx y y yxx y y 故 故 2 2 2 11 1 11 u uu dx du x u u dx du xu dx du xuyuxy 代入以上方程得令 代入以上方程得令 1 2 2 2 lnlnln 1 1 1 ln 1 11 cxu uu x dx du uu u 分离变量后 分离变量后 2 1 2 1 1 1 11 1 1 uu yc uu xuc 抛物线 抛物线 2 2 2 1 1 1 2 1 1 11 2 1 1 1 1 1 1 22 1 2 1 22 1 2 1 2 2 1 2 1 x c cx c cy u ycyc uuu ycyc uu yc uu yc 2 2 22 x c czy 旋转面方程为 旋转面方程为 3 336 例见同样可解方程令例见同样可解方程令P y x v 的微分方程的方程称为可化为齐次 不全为 形如 的微分方程的方程称为可化为齐次 不全为 形如 0 4 1 111 cc cybxa cbyax dx dy 二 二 可化为齐次方程 可化为齐次方程 1 定义定义 kYy hXx 令 项去掉分子 分母的常数进行变换 令 项去掉分子 分母的常数进行变换 0 1 111 不全为不全为cc cybxa cbyax dx dy 2 解法解法 11111 ckbhaYbXa cbkahbYaX dX dY dx dy dX dY dYdydXdx kh ckbha cbkah ba ba 与解出从 与解出从 0 0 0 1 11111 求出解后 再回代 齐次方程此时 求出解后 再回代 齐次方程此时 YbXa bYaX dX dY 11 b b a a ba ba 11 11 0 2 令令 可分离变量此时 可分离变量此时 0 1 1 1 b cv cv b a dx dv b b a dx dv b y dx dv bya 即得令即得令vbyax cbyax cbyax dx dy 1 齐次方程 令 齐次方程 令 1 4 1 4 0 1 XY XY XY YX dX dY YyXx 0 14 1 dyxydxyx解方程解方程 1 0 014 01 14 1 xy xy yx xy yx dx dy 令令 可分离变量方程 令 可分离变量方程 令 14 14 14 1 2 u u dX du X u u dX du Xuu X Y 例例4 解解 代入得将 分离变量得 代入得将 分离变量得 1 2arctan 14ln ln2arctan 2 1 14ln 2 1 1 14 14 22 1 2 2 x y X Y u cuXu cXuu dX X du u u c x y xy 1 2 arctan 1 4ln 22 111 cybxa cbyax f dx dy 般的方程 以上方法也适用于更一 般的方程 以上方法也适用于更一 注 利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解 也是比较 常用的方法 技巧性较强 也是比较 常用的方法 技巧性较强 注 的通解求的通解求 2 yx dx dy 解解 uyx 令 令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du arctanCxu 解得解得 得代回得代回 yxu arctan Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为 tan xCxy 例例5 0 通解求方程通解求方程 xdyxygydxxyf xyu 令 令 ydxxdydu 则则 0 x ydxdu xugydxuf 0 duugdx x u uguf 0 du ugufu ug x dx lnCdu ugufu ug x 通解为通解为 解解 例例6 sin 1 2 x y xyxdx dy xyz 令 令解解 dx dy xy dx dz 则 则 sin 1 sin 1 22 zx y xyx xy dx dz 42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得 代回将代回将xyz