2015步步高理科数学选修4-2.doc

选修42矩阵与变换1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12_.(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：_.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：(4)两个二阶矩阵的乘法满足_律，但不满足_律和_律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的_与后一个矩阵的_相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(kR，且k0)3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是_，B称为A的_；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个_，而称为A的属于特征值的一个_5特征多项式设A是一个二阶矩阵，R，把行列式f()_，称为A的特征多项式1在切变变换M作用下，直线y2x1变为_2将椭圆1绕原点顺时针旋转45后得到新的曲线方程为_3在对应的线性变换作用下，圆(x1)2(y1)21变为_4计算：_.5矩阵的逆矩阵是_题型一求变换矩阵例1已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A(0,3)，B(1，1)，试求变换S对应的矩阵T.思维升华知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程题型二求逆矩阵例2求矩阵A的逆矩阵思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE2；(2)公式法|A|adbc0，有A1.(2013江苏)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.题型三特征值与特征向量例3已知矩阵M，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量思维升华已知A，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量已知二阶矩阵A有特征值11及对应的一个特征向量e1和特征值22及对应的一个特征向量e2，试求矩阵A.用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M对应的变换T将点(1，1)与(2,1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：xy4，求l的方程思维启迪(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法规范解答解(1)设M，则，2分所以，且，解得，所以M.5分(2)因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，直线l的方程是xy20.10分温馨提醒(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1二阶矩阵与平面列向量乘法：，这是所有变换的基础2证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即ABE2BA.3二元一次方程组相应的矩阵方程为AXB，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量4若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值失误与防范1矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB写成BA.2矩阵乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)3矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵A、B、C，当A0，且ABAC时，不一定有BC.A组专项基础训练1(2013江苏)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.2(2012江苏)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值3在直角坐标系中，OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M，N.4已知矩阵A，B.(1)求满足条件AMB的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2y21变换为曲线C，求曲线C的方程5已知矩阵P，Q，若矩阵PQ对应的变换把直线l1：xy40变为直线l2：xy40，求实数a、b的值6在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC的面积的2倍，求k的值B组专项能力提升1设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M，求二阶矩阵M.2(2012福建)设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵3已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量4已知矩阵M的两个特征值分别为11和24.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x2y30在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程答案要点梳理1(1)a11b11a12b21(2)(4)结合交换消去列数行数3(1)可逆的逆矩阵4特征值特征向量52(ad)adbc夯基释疑1y12.7x27y22xy2403yx(2x0)4.5.题型分类深度剖析例1解设T，则T：，解得T：，解得综上可知，T.跟踪训练1解(1)设M，则有，所以，且，解得，所以M.(2)因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.例2解设逆矩阵为A1，则由，得解得所以A1.跟踪训练2解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.例3解由(3)210，解得12，24.设矩阵M的特征向量为.当12时，由M2可得，可见，1是M的属于12的特征向量当24时，由M4可得，可见，2是M的属于24的特征向量. 跟踪训练3解设矩阵A，这里a，b，c，dR，因为是矩阵A的属于11的特征向量，则有，又因为是矩阵A的属于22的特征向量，则有，根据，则有从而a2，b1，c0，d1，因此A.练出高分A组1解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.2解因为A1AE2，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.3解MN，.可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)可知OAB的面积为1.4解(1)设M，AM，得a0，b2，c3，d0.M.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x，y)，则M，即代入曲线C：x2y21，得()2()21.曲线C的方程是1.5解因为PQ，所以，在直线l1：xy40上任取一点(x，y)，则点(2bx，ay)在直线l2：xy40上，即2bxay40，所以.6解由题设得MN.由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.B组1解依题设有，令A，则MA4，A2.MA4(A2)2.2解(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是P(x，y)由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2.所以|A2|1，(A2)1.3解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.4解(1)矩阵M的特征多项式为f()，f()(2)(b)2