2000-数学三真题、标准答案及解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 设 xy zfxyg yx 其中 f g均可微 则 z x 答答 12 2 1 y yffg xx 详解详解 212 22 11 zyy fyfgyffg xyxxx 2 设 2 1 xx dx ee 答答 4e 详解详解 2222 111 1 arctan 0 x x xx xx dxe dxdtt et eeetee ee 1 244ee 3 已 知 四 阶 矩 阵A与B相 似 矩 阵 为A的 特 征 值 1 1 1 1 2 3 4 5 则 行 列 式 1 B E 答答 24 详解详解 因为A与B相似 而相似矩阵有相同的特征值 所以B得四个特征值 1 1 1 1 2 3 4 5 又由0 ii Bx x 有 1 1 1 i xx B E 可见矩阵B E有特征值 1 1 i 即 1 2 3 4 从而有行列式 1 B E 1 2 3 4 24 3 设随机变量 X 的概率密度为 1 0 1 3 2 3 6 9 0 x f xx 其他 若k使得 2 3 P Xk 则k的取值范围是 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 答答 1 3 详解详解 由题设 2 3 P Xk 知道 21 1 33 P Xk 而 k P Xkf x dx 再对照概率密度函数的定义 可见上式成立的充要条件是13 k 此时 1 0 11 33 P Xkdx 5 假设随机变量X在区间 2 1 上服从均匀分布 随机变量 01 0X0 01 x x Y 若 若 若 则方差DY 答答 9 8 详解详解 因为 X在区间 2 1 上服从均匀分布 所以其密度函数为 其他0 21 3 1 x xf 于是 3 1 0 1P Y XP 因此 3 1 3 2 100 3 1 1 YE 1 3 2 100 3 1 1 2222 YE 故 9 8 9 1 1 22 YEYEYD 二 选择题二 选择题 1 设对任意的x 总有 xgxfx 且0 lim xxg x 则 limxf x A 存在且等于零 B 存在但不一定为零 C 一定不存在 D 不一定存在 答答 D 详解详解 若令1 1 1 xfexgex xx 则有 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 xgxfx 且 0 lim xxg x 1 lim xf x 可排除 A C 两个选项 又如 xx xx x exfeexgeex 显然 xfxgx 满足题设条件 但 limxf x 不存在 因此 B 也可排除 剩下 D 为正确选项 2 设函数 f x在点ax 处可导 则函数 xf在点ax 处不可导的充分条件是 A 0 0 afaf且 B 0 0 afaf且 C 0 0 afaf且 D 0 0 f 0 1 f 但 2 xxf 在点1 x处可导 排除 C 同样 2 xxf 在点1 x处 0 1 f 0 1 f 但 2 xxf 在点1x 处可导 排除 D 剩下 B 为正确选项 事实上 当 B 成立 即 0f a 且 0fa 时 有 limlim xaxa f xf af x fa xaxa limlim xa xa f xf af x fa xaxa 可见当 0fa 时 xf在点ax 处的左 右导数不相等 因此导数不存在 故 0f a 且 0fa 是 xf在点ax 处不可导的充分条件 3 设 123 a a a是四元非齐次线形方程组AX b的三个解向量 且秩 A 3 1 1 2 3 4 T a 23 0 1 2 3 T aa c 表示任意常数 则线形方程组 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 bAX 得通解 X A 1 1 1 1 4 3 2 1 c B 3 2 1 0 4 3 2 1 c C 5 4 3 2 4 3 2 1 c D 6 5 4 3 4 3 2 1 c 答答 C 详解详解 由题设 r A 3 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个 数为 4 3 1 即其任一非零解均可作为基础解系 又根据解的性质知 1231213 2 2 3 4 5 0 T 为对应齐次线性方程组的解 即可作为基础解系 从而线性方程组b Ax的通解为 1 212 323 434 545 xcc 故正确选项为 C 4 设 A 为 n 阶实矩阵 T A是A的转置矩阵 则对于线性方程组 0 Ax和 0 T x Ax 必有 A 的解都是 的解 解也是 的 B 的解都是 的解 但 解不是 的 C 解不是 的 的解不是 的解 D 解是 的 但 的解不是 的解 答 答 A 详解详解 设x是0 Ax的解 则显然 T A为0 Ax 即 解是 的 反过来 设x为0 T x Ax的解 即 T A为0 Ax 则有 0 T TT x A AxAxAx 从而可以推出0 Ax 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 因为若设 12 T n a aa Ax 则 222 12 0 T n aaa AxAx 于是有 12 0 n aaa 即0 Ax 说明 的解也是 的解 故正确选项为 A 5 在电炉上安装 4 个温控器 其显示温度的误差是随机的 在使用过程中 只要有两 个温控器显示的温度不低于临界温度 0 t 电炉就断电 以E表示事件 电炉断电 设 4 3 2 1 TTTT 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值 则事件E等于事 件 A 0 1 tT B 0 2 tT C 0 3 tT D 0 4 tT 答答 C 详解详解 电炉断电 这一事件E发生 意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大 于或等于 0 t 即若将4个温控器上的值 1 2 3 4 TTTT从小到大排列的话 排在第3的温度 值一定大于或等于 0 t 即有 0 3 tT 故正确为 C 三三 本题满分 6 分 求微分方程 2 20 x yye 满足条件 0 0 0 1y y 的解 详解详解 对应齐次方程20yy 的特征方程为 2 20 其特征根为 12 0 2 对应的齐次方程的解为 2 12 x yCC e 由于 2 2a 为单根 因此可设非齐次方程的特解为 2 x yAxe 将 22 2 41 xx yAAx eyAx e 将 0 0 0 1y y 代入通解 求得 12 31 44 CC 从而所求满足初始条件的特解为 22 311 442 xx yexe 四四 本题满分 6 分 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 计算二重积分 22 222 4 D xy d axy 其中D是由曲线 22 0yaaxa 和直线 yx 围成的区域 详解详解 积分区域如下图所示 在极坐标下 有 0 02 sin 4 Drra 于是 222 2 sin 4 22220 4 44 a D xyr Idddr axyar 令2 sinrat 于是 00 22 0 44 1 21 cos22sin2 2 Idat dtad 2 2 1 162 a 五五 本题满分 6 分 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品 两个市场的需求函数分别是 11 218Qp 23 212Qp 其中 21 p p分别表示该产品在两个市场的价格 单位 万 元 顿 21 QQ 和分别表示改产品在两个市场的销售量 即需求量 单位 顿 并且该企业生 产这种产品的总成本函数是52 QC 其中Q表示该产品在两个市场的销售总量 即 21 QQQ 1 如果该企业实行价格差别策略 试确定两个市场该产品的销售量和价格 使该 企业获得最大利润 2 如果该企业实行价格无差别策略 试确定两个市场上改产品的销售量及其统一 的价格 使该企业的总利润最大化 并比较两种策略的总利润大小 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 详解详解 1 根据题意 总利润函数为 1122 25 LRCpQp QQ 22 1212 216105 QQQQ 令 1 2 1 2 4160 2100 Q Q LQ LQ 解得 12 4 5 QQ 对应 1 10p 万元 吨 2 7p 万元 吨 因驻点 4 5 唯一 且实际问题一定存在最大值 故最大值必在驻点处达到 相应最大利润为 22 2 4516 4 10 5552L 万元 2 若实际价格无差别策略 则 12 pp 于是有约束条件 12 26 QQ 构造拉格朗日函数 22 12121212 216105 26 F Q QQQQQQQ 令 1 2 3 1 2 12 41620 2100 260 Q Q Q FQ FQ FQQ 解得 12 5 4 2 QQ 对应 12 8pp 最大利润 22 2 5416 5 10 4549L 万元 由上述结构可知 企业实行差别定价 所得利润总要大于统一价格的利润 六 六 本题满分 7 分 求函数 x exy arctan 2 1 的单调区间和极值 并求该函数图形的渐近线 详解详解 因为 2 arctan 2 2 1 x xx ye x 令 0 y 得驻点 12 0 1 xx 列表讨论如下 x 1 1 1 0 0 0 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 y 0 0 y 极大值 极小值 由此可见 递增区间为 1 0 递减区间为 1 0 极小值为 2 0 fe 极大值为 4 1 2 fe 又因为 111 lim lim 2 xx f x aebf xa xe x 222 lim1 lim 2 xx f x abf xa x x 故所求渐近线为 11 2 ya xbex 以及 22 2 ya xbx 七 七 本题满分 6 分 设 4 0 sincos 0 1 2 n n Ixxdx n 求 0 n n I 详解详解 因为 1 1 4 0 112 sincossin4 112 0 n n n n Ixxdxx nn 所以 1 000 1212 122 nn nn nnn II nn 考虑幂级数 1 n n x S x n 其收敛区间为 1 1 则有 1 1 1 1 n n Sxx x 于是 00 1 0ln 1 1 xx S xSSx dxdxx x 令 2 1 1 2 x 得 11 1222 ln 1ln 22 222 n n ni IS n 八 八 本题满分 6 分 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 设函数 xf在 0 上连续 且0 0 dxxf 0cos 0 xdxxf 试证明 在 0 内存在两个不同的点 21 使0 21 ff 详解详解 令 0 F xf t dt 则有 0 0 FF 又因为 00 0 coscos f xxdxxdF x 0 0 cos sinF xxF xxdx 0 sin F xxdx 令 0 sin G xF ttdt 则 0 0 GG 于是由罗尔定理存在 0 使 sin0 GF 因为当 0 sin0 所以有 0F 这样就证明了 0 0 FFF 再 对 F x在 区 间 0 上 分 别 用 罗 尔 中 值 定 理 知 至 少 存 在 12 0 使 12 0 FF 即 12 0ff 九 九 本题满分 8 分 设向量组 1 0 10 Ta 2 2 1 5 T 3 1 1 4 T 1 Tb c 试问 当 a b c 满足什么条件时 1 可由 123 线性表出 且表示唯一 2 不可由 123 线性表出 3 可由 123 线性表出 但表示不唯一 并求出一般表达式 详解详解 1 设有一组数 123 x x x 使得 112233 xxx 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 即 123 123 123 21 2 1054 axxx xxxb xxxc 该方程组的系数行列式 21 2114 1054 a Aa 1 当4a 时 行列式0 A 方程组有唯一解 可由 123 线性表出 且表示唯一 2 4a 对增广矩阵作初等行变换 有 42112101 21100121 105400031 b Abb cbc 若31 bc 则秩 r Ar A 秩 方程组无解 不可由 123 线性表出 3 4a 且31 bc 时 秩 23r Ar A 即当 1 12 1 n n a aa 时 此时二次型 12 n f x xx 为正定二次型 十一十一 本题满分 8 分 梦飞翔考研工作室 友情提供 Q Q 8 132 1659 梦飞翔考研工作室 QQ 8 13216 59 假设 05 50 1 25 0 80 2 00 是来自总体 X 的简单随机样本值 已知lnYX 服从正态分 布 1N 1 求 X 的数学期望值 E X 记 E X 为 b 2 求 的置信度为 0 95 的置信区间 3 利用上述结果求 b 的置信度为 0 95 的置信区间 详解详解 1 Y 的概率密度为 2 2 1 2 y fyex 于是有 2 2 22 11 22 yt Yyt bE XE ee edtyteedt 211 222 y eedte 2 当置信度10 95 时 标准正态分布对应于0 05 的双侧分位数等于 1 96 故 1 4 YN 可得参数 的置信度为 0 95 的置信区间为 11 1 96 1 960 98 0 98 44 YYYY 其中Y表示总体 Y 的样本均值 有 11 ln0 5ln0 8ln