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函数概念及性质【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射记作f：AB，其中x叫原象，y叫象2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域函数的值域由定义域与对应法则完全确定3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心【复习要求】1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数3掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2xx，则在映射f作用下，2的象是_；20的原象是_例2 设函数则f(1)_；若f(0)f(a)2，则a的所有可能值为_例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A)(B)(C)(D)例4 求下列函数的定义域(1)(2)(3)(4)例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x1)及f(x2)的定义域例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)2，并且当x1时，f(x)取得最小值1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于直线x1对称，求f(x)的解析式例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x1，且图象在y轴上的截距为3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式例9 某地区上年度电价为0.8元kWh，年用电量为akWh本年度计划将电价降到0.55元kWh至0.75元kWh之间，而用户期望电价为0.40元kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的成本价为0.30元kWh(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20?练习21一、选择题1已知函数的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN( )(A)xx1(B)xx1(C)x1x1(D)2图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y1x1(0x2)3已知f(x1)x22x，则( )(A)(B)(C)(D)4已知若f(x)3，则x的值是( )(A)0(B)0或(C)(D)二、填空题5给定映射f：(x，y)(x2y，x2y)，在映射f下(0，1)的象是_；(3，1)的原象是_6函数的定义域是_7已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123x123f(x)131g(x)321则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_8已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为_三、解答题9已知f(x)2xx1，求g(1)，gf(1)的值10在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为yax2c(a0)，D(6，7)为x轴上的给定区间为使物体落在区间D内，求a的取值范围11如图，直角边长为2cm的等腰RtABC，以2cms的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0t3)，并求出y的最大值22 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等本章着重研究后四个方面的性质本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用数形结合是本节常用的思想方法1设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数由奇函数定义可知，对于奇函数yf(x)，点P(x，f(x)与点(x，f(x)都在其图象上又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形2一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数；当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的3一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期4一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(ax)f(ax)都成立，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称【复习要求】1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2了解函数奇偶性的含义能判断简单函数的奇偶性3了解函数周期性的含义4了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)f(x)x33x；(4)(5)【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；f(x)是奇函数，并且f(x)在x0时有定义，则必有f(0)0；既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)0判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：判断函数的定义域是否关于原点对称；考察f(x)与f(x)的关系由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：yf(x)；yxf(x2)；yf(x)；yf(x)f(x)其中必为奇函数的有_(填写所有正确答案的序号)例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，则函数f(x)的奇偶性为_例4 已知二次函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x)，求b的值，并比较f(1)与f(4)的大小例5 已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x22x，(1)求f(1)的值；(2)当x0时，求f(x)的解析式例6 用函数单调性定义证明，函数yax2bxc(a0)在区间上为增函数例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数(1)比较f(a22)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)f(a6)，求实数a的取值范围例8 设f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，且它在区间(，0)上是减函数(1)试比较f(2)与f(3)的大小；(2)若mn0，且mn0，求证：f(m)f(n)0例9 函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)x2，x1，1(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间2n1，2n1上的解析式练习22一、选择题1下列函数中，在(1，)上为增函数的是( )(A)yx24x(B)yx(C)(D)yx22x2下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，且f(2)f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(，0上是减函数，在区间(0，)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)2则f(2)( )(A)2(B)2(C)1(D)14设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数二、填空题5若函数f(x)4x2mx5在区间2，)是增函数，则m的取值范围是_；f(1)的取值范围是_6已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数当x(，0)时，f(x)xx4，则当x(0，)时，f(x)_7设函数为奇函数，则实数a_8已知函数f(x)x2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2； x1x2其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是_三、解答题9已知函数f(x)是单调减函数(1)若a0，比较与f(3)的大小；(2)若f(a1)f(3)，求实数a的取值范围10已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a1时，证明函数f(x)在区间2，)上是增函数11定义在(0，)上的函数f(x)满足f(2)1；f(xy)f(x)f(y)，其中x，y为任意正实数，任意正实数x，y满足xy时，(xy)f(x)f(y)0恒成立(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)f(x3)2，试求x的取值范围函数的概念及定义域【典型例题】例1.判断下列各组中的函数是否有同一函数？ （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6），例2.求下列函数的定义域.(1） (2) f(x)（3） (4)例3.下列函数的值域(1)yx1 x2，1，0，1，2(2)yx24x3 （3x1）例4.求函数的值域例5.已知函数，若，求例6.（1）已知函数的定义域是，求的定义域 （2）已知函数的定义域是，求的定义域【课堂训练及作业】1下列对应是集合A到集合B的函数是（ ） AA=B=R，f：xy= BA=B=R，f：xy，其中， CA=B=R，f：xy= DA=B=R，f：xy=2.下列图象中可能为函数图象的是（ ）yxOAyxOByxOCyxOD3已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（ ） A B且 C且 DA=B4已知的定义域为R，则k的取值范围为（ ） ABCD5已知函数，那么= 6函数的值域为 7. 求下列函数的定义域函数的性质(1)一.选择题. 1. 已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（） . 定义在区间（，）上的奇函数为增函数，偶函数在，上图象与的图象重合。设，给出下列不等式，其中成立的是( ) （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）. . . . 函数f(x)=x2-2ax-3在区间1，2上是单调函数的条件是 （ ） A. B. C. D. . 若函数是奇函数，当x0时，f(x)的解析式是（ ）.A.-x(1-x) B.x(1-x) C.-x(1+x) D.x(1+x). 定义在（，）上的函数（）是奇函数，并且在（，）上是减函数，求满足条件中a取值范围.（）（，） （，） ， ，. 已知函数（)是定义在区间，上的偶函数，当，时，()是减函数，如果不等式（）（）成立，求实数的取值范围.（） ， （）二.填空题. .若（）是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则（2a2+a+1）0的x取值范围是.9.若f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时为增函数，那么使f()f(a)的实数a的取值范围是.10.都是奇函数，f(x)=+2在（0，+）上有最大值5，则f(x)在（-，0）上有最值.三.解答题 . 11设函数在上是奇函数，又在上是减函数，并且，指出(）在（，）上的增减性?并证明.12.设f(x)是定义在（0,+）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)2成立的取值范围.函数性质(2)课前练习1.讨论函数的单调性。2函数在定义域上的单调性为( )（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数4判断下列函数的奇偶性：,6已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。7若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B)(C) (D)9函数与互为反函数的充要条件是_.典型例题EG1已知函数，且（1） 求函数定义域（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.变式1：已知是偶函数，定义域为.则 ， 变式3：若函数是奇函数，则 变式4：函数的图象关于直线对称.则 变式5：函数在上的单调递增区间为 EG2、已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.或变式3：已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”。已知下列函数：；，其中是“有界函数”的是_（写出所有满足要求的函数的符号）EG3、已知函数，求，的值变式1：设则_变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是 A.B. C.D.变式3：设函数f（x）= 则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10EG4、试着举几个满足“对定义域内任意实数，都有”的函数例子.变式1：设函数f（x）的定义域是N*，且，则f（25）= _.变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有（1）设，求 （2）证明是周期函数.变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当（1）求