线性代数期末复习题.doc

线性代数综合复习题一、单项选择题： 1、若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D=（ ） (A)3 (B) 3 (C) 11 (D) 112、设是三阶方阵A的列向量组，且齐次线性方程组AX=O仅有零解，则（ ）(A) 可由线性表示 (B) 可由线性表示(C) 可由线性表示 (D) 以上说法都不对3、设A为n(n2)阶方阵，且A的行列式|A|=a0，A*为A的伴随矩阵，则| 3A* | 等于（ ）(A) 3na (B) 3a n-1 (C) 3nan-1 (D) 3an4、设A=, B=,，则有（ ）(A) (B) (C) (D) 5、设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）(A) |A|2必为1 (B) |A|必为1 (C) A-1=AT (D) A的行向量组是正交单位向量组6、设是阶方阵，且，则（ ）(A) 1和2必是的特征值 (B) 若则(C) 若则 (D) 若1不是的特征值，则7、设矩阵，矩阵B满足，其中E为三阶单位矩阵，为A的伴随矩阵，则（A） ； （B）； （C）； （D）。8、下列命题中，错误的是 (A) 若线性无关，则常数必全为零(B) 若线性无关，则常数必不全为零(C) 若对任何不全为零的数，都有线性无关(D) 若线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数，使9、设=，则向量 是的属于特征值的一个特征向量。（A）； （B）； （C）； （D）10、设矩阵_ _ 。（A）0； （B）3； （C）1； （D）4。11、已知三阶可逆方阵A的特征值是1，2，-3，则E+的特征值是( )。（其中E为三阶单位矩阵）（A）1，; （B）2，; （C）2，； （D），.答 应选（B）12、设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶单位矩阵，则=( )。（A）； （B）； （C）； （D）13方程组的解是 （ ）14 行列式的值是（ ）。15、设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。 16、设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。 （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。17、设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）。 18、任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。（A）合同； （B）相似； （C）等价； （D）以上都不对。二、判断题：判断结果填在题号后的括号内，正确，错误。1( )、向量组a1,a2,a3,a4，如果其中任意两个向量都线性无关，则a1,a2,a3,a4线性无关。2( )、设A、B为同阶可逆矩阵，则(A+B)-1=A-1+ B-1。3( )、对任意阶方阵，若，则一定有。4( )、齐次线性方程组的解空间的维数是1。5( )、设可逆矩阵A有一个特征值为 l，则必有一个特征值 -l。6( )、设A、B均为阶方阵，若，则A和B一定不相似。7( )、已知向量组可以由向量组线性表示：则这两个向量组等价。8( )、 若n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。 三、填空题 1、若三阶行列式，则= 。2、 四阶方阵，其中a1,a2,a3,a4是四维列向量，且，则非齐次线性方程组的一个解向量为 。3、设A、B是三阶方阵，E是三阶单位阵，且，则 。4、若A及其伴随矩阵A*均为n (2)阶非零矩阵，且AA*O，则r (A*)=_ _。5、设三阶方阵A的行列式|A|=8，已知A有两个特征值-1和4，则还有一个特征值为 _。6、设A为实对称矩阵，a1=(1,1,3)T与a2=(3,2,t)T分别是属于A的不同特征值1与2的特征向量，则t= 。7、二次型的正惯性指数是 。8、 与向量都正交的一个单位向量是 。9 行列式。10、设矩阵（ ）。11、 线性方程组 有解的充要条件是( )12、设二次型，则当（ ）时该而此型正定。13、 方程组的解是 （ ）14、设行列式，则第二列各元素的代数余子式之和 。15、设A、B为4阶方阵，且r（A）=4，r（B）=3，A和B的伴随矩阵为 （ ）16、若A=为正交矩阵，则= ，=。17、设A为n阶矩阵，且|A|0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值，则必有特征值 。四、计算题讨论a，b取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷解，在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示全部解。五、计算题 设 ， 1. (5分)求矩阵A的秩r(A)，及A的列向量组的一个极大无关组；2. (5分)矩阵B中元素t取何值时B可逆？ 六、计算题已知是3维向量空间的一组基，向量组满足（1）证明：是一组基。（2）求由基到基的过渡矩阵。（3）求向量关于基的坐标。七、计算题 求正交替换将二次型化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。八、计算题 （1）设矩阵A=可相似对角化，求x。（2）设矩阵A=，求的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。九、证明题已知为n阶方阵，证明：有相同的特征值。十、证明题 已知为三