线性代数考研辅导.pdf

2014考研线性代数 张 友 东北师范大学 二 一三 年 十 月 考研数学经典讲义线性代数篇前言 前言 线性代数在考研数学里占22 一个配角的地位 但是它有它的特点 这门课程概念 性很强 这个特点正好和考研现在这个趋向 考概念 考能力是吻合的 因此在考研在考 概念考能力这个方面和线性代数最为吻合了 线性代数并不是没有计算题 但是线性代数 计算题方法比较死板 不像高等数学有很多方法技巧问题 考生只要细心没有什么能力的 问题 因此能力的体现就是你对概念理解的深度 很多考生在过去学习时只记得一些计算 题 把概念忽视了 这是不对的 那么如何来复习线性代数 建议广大考生首先在初期准 备阶段 先把自己过去的教材或者笔记好好地看一遍 下面 再具体说一下复习建议 一 重视基础知识的理解和掌握基本概念 基本性质和基本方法一直是考研数学的重 点 线性代数更是如此 从经验看 有些考生对基本概念掌握不够牢固 理解不够透彻 在答题中对基本性质的应用不知如何下手 因此造成许多不应该的失分现象 所以 我们 建议考生在复习中一定要重视基本概念 基本性质和基本方法的理解与掌握 多做一些基 本题来巩固基本知识 讲到这里再给大家几条建议 第一要注意你的知识结构 要改造你 的知识结构 要改变你的思维习惯 也就是不能一脑袋的计算题 而是要把概念 道理搞 清楚 再有不是说考概念就是拿来下手就可以做的计算题 首先你要寻找简洁的计算思 路 因此这一年的复习任务就是把概念先复习好 然后熟悉用概念做题目 这两步做好了 在考场上面对线性代数考题就会有把握 等到了强化阶段建议大家参加一个好一点的辅导 班 因为你总停留在自己的课本上 有个惯性 不容易突破 最多是恢复你过去的记忆 不容易有自己的体会 需要有个老师帮你启示 让你有所突破 一般好的辅导班能做到这 一点 二 加强综合能力的训练从近十年特别是近两年的研究生入学考试试题看 加强了对 考生分析问题和解决问题能力的考核 在线性代数的两个大题中 基本上都是多个知识点 的综合 从而达到对考生的运算能力 抽象概括能力 逻辑思维能力和综合运用所学知识 解决实际问题的能力的考核 因此 在打好基础的同时 通过做一些综合性较强的习题 或做近年的研究生考题 边做边总结 以加深对概念 性质内涵的理解和应用方法的掌 握 三 注重概念和方法之间的联系和区别线性代数的内容不多 但基本概念和性质较 多 他们之间的联系也比较多 特别要根据每年线性代数考试的两个大题内容 找出所涉 及到的概念与方法之间的联系与区别 例如 向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨 论之间的联系 向量的线性相关 无关 与齐次线性方程组有非零解 仅有零解 的讨论 I 考研数学经典讲义线性代数篇前言 之间的联系 实对称阵的对角化与实二次型化标准型之间的联系等 掌握他们之间的联系 与区别 对大家做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助 最后 送考 生二十四个字 供复习时参考 理解基本概念 掌握解题方法 突破典型例题 注重总结 归纳 希望以上这些建议对备考研究生的朋友有所帮助 预祝大家考研成功 II 考研数学经典讲义线性代数篇目录 目录 第 1 章行列式 1 1 1知识要点概略 1 1 2难点 疑点解析及重要公式与结论 5 1 3典型题型与例题选讲 8 第 2 章矩阵及其运算 14 2 1知识要点精讲 14 2 2难点 疑点解析及重要公式与结论 23 2 3典型题型与例题分析 27 第 3 章向量 33 3 1知识要点精讲 33 3 2难点 疑点解析及重要公式与结论 42 3 3典型题型与例题分析 44 第 4 章线性方程组 51 4 1知识要点精讲 51 4 2典型题型与例题分析 58 第 5 章特征值与特征向量 69 5 1知识要点精讲 69 5 2典型例题与例题分析 74 第 6 章二次型 83 6 1知识要点精讲 83 6 2释疑解难 89 6 3典型题型与例题分析 91 III 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 第1章行列式 行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的 如今它在数学的许多分支中 都有着广泛的应用 是一种常用的计算工具 它是研究线性方程组 矩阵及向量组的线性 相关性的一种重要工具 1 1知识要点概略 考点分析 按照考试大纲的要求 行列式部分主要考查 行列式的概论和基本性质 行列式按 行 列 展开定理 题型以填空题和选择题为主 考试内容 1 会求n元排列的逆序数 2 深入领会行列式的定义 3 掌握行列的性质 并且会使用行列式的性质进行化简 计算行列式 4 灵活掌握行列式按行 列 展开法则 5 会用Crammer法则判断线性方程组解的存在性 唯一性及求出线性方程组的解 一 n阶行列式的定义 1 排排排列列列与与与逆逆逆序序序 定定定义义义1 1 由自然数1 2 n组成的一个有序数组i1i2 in 称为一个n级排列 n级排列 的总数为n 个 例如 1234和4312都是4级排列 而24315是一个5级排列 定定定义义义1 2 在一个n级排列i1i2 it is in中 若数it is 则称数it与is构成一个逆逆逆序序序 一 个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆逆逆序序序数数数 记为 i1i2 in 根据上述定义 可按如下方法计算排列的逆序数 设在一个n级排列i1i2 in中 比it t 1 2 n 大的且排在it前面的数由共有ti个 则ti的 逆序的个数为ti 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数 即 1 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 i1i2 in t1 t2 tn n i 1 ti 逆序数为奇数的排列称为奇奇奇排排排列列列 逆序数为偶数的排列称为偶偶偶排排排列列列 在所有的n n 2 级排列中 奇排列的个数 偶排列的个数 n 2 定义1 3 在排列i1 it is in中 交换任意两个数it和is的位置 称为一次对换 记 为 it is 对换改变排列的奇偶性 例例例1 1 设排列x1x2 xn 1xn的逆序数为k 问排列xnxn 1 x2x1的逆序数是多少 2 行列式的定义 定义1 4 由n2个元素aij i j 1 2 n 组成的记号 a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann 称为n阶阶阶行行行列列列式式式 其中横排称为行行行 竖排称为列列列 它表示所有取自不同行 不同列的n个 元素乘积a1j1a2j2 anjn的代数和 各项的符号是 当该项各元素的行标按自然顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 即 a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann j1j2 jn 1 j1 j2 jn a1j 1a2j2 anjn 其中 j1j2 jn表示对所有n级排列j 1j2 jn求和 行列式有时也简记为det aij 或 aij 这里 数aij称为行列式的元元元素素素 称 1 j1j2 jn a1j1a2j2 anjn为行列式的一一一般般般项项项 注注注 1 n阶行列式是n 项的代数和 且冠以正号的项和冠以负号的项 不算元素本身所带 的符号 各占一半 2 a1j1a2j2 anjn的符号为 1 j1j2 jn 不算元素本身所带的符号 3 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆 二 行列式的性质 将行列式D的行与列互换后得到的行列式 称为D的转置行列式 记为DT或D 即若 2 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 D a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann 则DT a11a21 an1 a12a22 an2 a1na2n ann 性性性质质质1 行列式与它的转置行列式相等 即D DT 注注注 由性质1知道 行列式中的行与列具有相同的地位 行列式的行具有的性质 它的列 也同样具有 性性性质质质2 交换行列式的两行 列 行列式变号 推推推论论论 若行列式中有两行 列 的对应元素相同 则此行列式为零 性性性质质质3 用数k乘行列式的某一行 列 等于用数k乘此行列式 即 D1 a11a12 a1n kai1kai2 kain an1an2 ann k a11a12 a1n ai1ai2 ain an1an2 ann kD 第i行 列 乘以k 记为ri k 或ci k 推推推论论论1 行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推推推论论论2 行列式中若有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 性性性质质质4 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 例如 D a11a12 a1n bi1 ci1bi2 ci2 bin cin an1an2 ann 则 D a11a12 a1n bi1bi2 bin an1an2 ann a11a12 a1n ci1ci2 cin an1an2 ann D1 D2 3 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 性性性质质质5 将行列式的某一行 列 的所有元素都乘以数k后加到另一行 列 对应位置的元素 上 行列式不变 注注注 以数k乘第j行加到第i行上 记作ri krj 以数k乘第j列加到第i列上 记作ci kcj 例例例1 2 行列式 1 11x 1 1 1x 1 1 1x 11 1 x 1 11 1 三 行列式按行 列 展开定理 1 余余余子子子式式式和和和代代代数数数余余余子子子式式式 在n阶行列式D中 去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元 素aij的余余余子子子式式式 记为Mij 再记 Aij 1 i jMij 称Aij为元素aij的代代代数数数余余余子子子式式式 2 行行行列列列式式式按按按一一一行行行 列列列 展展展开开开定定定理理理 n阶行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或 D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 推推推论论论 行列式某一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j 或 a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 综上所述 可得到有关代数余子式的一个重要性质 n k 1 akiAkj D ij D i j 0 i j 或 n k 1 aikAjk D ij D i j 0 i j 其中 ij 1 i j 0 i j 例例例1 3 五阶行列式 4 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 D5 1 aa000 11 aa00 0 11 aa0 00 11 aa 000 11 a 例例例1 4 设D 3 521 110 5 1313 2 4 1 3 D中元素aij的余子式和代数余子式依次记 作Mij和Aij 求A11 A12 A13 A14及M11 M21 M31 M41 四 拉普拉斯定理 定定定义义义1 5 在n阶行列式D中 任意选定k行k列 1 6 k 6 n 位于这些行和列交叉处的k2个元 素 按原来顺序构成一个k阶行列式M 称为D的一个k阶子式 划去这k行k列 余下的元素按 原来的顺序构成n k阶行列式 在其前面冠以符号 1 i1 ik j1 jk 称为M的代数余子式 其中i1 ik为k阶子式M在D中的行标 j1 j2 jk为M在D中的列标 注注注 行列式D的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行 列 展开的性质 拉拉拉普普普拉拉拉斯斯斯定定定理理理 在n阶行列式D中 任意取定k行 列 1 6 k 6 n 1 由这k行 列 组成的所 有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 例例例1 5 四阶行列式 a100b1 0a2b20 0b3a30 b400a4 的值等于 A a1a2a3a4 b1b2b3b4 B a1a2a3a4 b1b2b3b4 C a1a2 b1b2 a3a4 b3b4 D a2a3 b2b3 a1a4 b1b4 1 2难点 疑点解析及重要公式与结论 一 释疑解难 1 n阶行列式的定义 对于n阶行列式的定义 重点要把握两点 一是每一项的构成 二是每一项的符号 直 观地说 每一项的构成是不同行不同列的n个元素相乘 一个n阶行列式共有n 项 n阶行列 5 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 式的展开式中的每个乘积项a1j1a2j2 anjn前面带的符号为 1 j1j2 jn 即当行标按自然顺 序排列后 根据列标排列j1 j2 jk的逆序数确定此项的符号 当j1 j2 jk为偶排列时 符号为正 当j1 j2 jk为奇排列时 符号为负 若n阶行列式的展开式中乘积项行指标不是自然排列时 乘积项ai1j1ai2j2 ainjn的符号 应为 1 i1i2 in j1j2 jn 当n较大时 用定义计算行列式是十分繁杂的 一般采用行列式的性质和按行 列 展开定 理进行分析 2 行行行列列列式式式的的的计计计算算算方方方法法法 行列式的计算方法有两个 1 利用行列式的性质将行列式化成简单的且易于计算的行列式 如上 下三角行列式 等 2 利用行列式的展开定理 将高阶行列式化成低阶行列式进行计算 在实际计算过程中 往往把以上两种方法交替使用 先利用性质将某行 列 化出尽可 能多的零元素 再用展开定理进行降阶 注意 在化零元素的过程中 尽量不要出现分式 否则 计算过程往往会变得十分繁杂 另外 行列式性质和展开定理还是讨论行列式相关理论的重要基础 在后面的学习过 程中经常会遇到 因此 务比理解行列式的性质和展开定理的含义和功能 二 重要公式及结论 1 三阶行列式 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 2 上 下三角行列式 a11a12 a1n 0a22 a2n 00 ann a110 0 a21a22 0 an1an2 ann a11a22 ann 3 副对角行列式 6 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 D a11a12 a1n a21a22 0 an10 0 0 0a1n 0 a2n 1a2n an1an2 ann 1 n n 1 2 a1na2n 1 an1 4 两类特殊的分块行列式 1 D a11 a1k0 0 ak1 akk0 0 c11 c1kb11 b1n cn1 cnkbn1 bnn a11 a1k ak1 akk b11 b1n bn1 bnn 2 D c11 c1na11 a1m cm1 cmnam1 amm b11 b1n0 0 bn1 bnn0 0 1 mn a11 a1m am1 amm b11 b1n bn1 bnn 5 范德蒙德 Vandermonde 行列式 Dn 11 1 x1x2 xn x2 1 x2 2 x2 n xn 1 1 xn 1 2 xn 1 n n i j 1 xi xj 6 行列式按一行 列 展开 设A aij n n 则 ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin A i j 0 i j 或 a1jA1j a2jA2j anjAnj A i j 0 i j 7 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 即有AA A A A E 其中A A11A21 An1 A12A22 An2 A1nA2n Ann Aji Aij T 7 设A B为n阶方阵 则 AB A B 1 一般地 有AB BA 但 AB A B B A BA 2 当A B为非方阵时 一般 AB BA 不再成立 8 对于n阶方阵A 有 AT A A 1 A 1 A A n 1 n 2 9 对于分块对角阵的行列式 有 A0 0B AC 0B A0 CB A B 1 0Am m Bn nC 1 mn A B 2 一般地 AC DB AB CD 10 若A为n阶方阵 i i 1 2 n 是A的特征值 则 A n i 1 i 一般地 f A n i 1 f i 其中f A a0Am a1Am 1 amE f x a0 xm a1xm 1 an 11 若A与B相似 则 A B 从而将A的行列式的计算转化为B的行列式的计算 一般地 f A f B 从而 f A f B 1 3典型题型与例题选讲 题型一 利用行列式的性质与展开定理计算行列式 利用行列式的性质与展开定理计算已给出具体元素的行列式 其方法有二 一是利用 行列式的性质将所给行列式化为上 下 三角形行列式进行计算 二是利用展开定理 把高 阶行列式转化为低阶行列式进行计算 在具体求解时 一般总是先利用行列式的性质 把 行列式的某行的元素变成尽可能多的零 然后再按此行 列 展开降阶 即把两种方法结合 起来用 例例例1 6 计算行列式D x 2x 1x 2x 3 2x 22x 12x 22x 3 3x 33x 24x 53x 5 4x4x 35x 74x 3 8 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 例例例1 7 计算行列式 a1b1a1b2a1b3a1b4 a1b2a2b2a2b3a2b4 a1b3a2b3a3b3a3b4 a1b4a2b4a3b4a4b4 题型二 按行 列 展开定理求代数余子式 设D a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann 则有 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或 D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 这里Aij是aij的代数余子式 由上述公式可知 反过来 若要求某行 列 的对应元素的代数余子式的线性组合 k1Ai1 k2Ai2 knAin 则有 k1Ai1 k2Ai2 knAin a11a12 a1n ai 11ai 12 ai 1n k1k2 kn ai 11ai 12 ai 1n an1an2 ann 即转化为一个n阶行列式的运算 例例例1 8 已知D4 abcd cbda dbca abdc 则A14 A24 A34 A44 9 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 例例例1 9 已知四阶行列式D4 1234 3344 1567 1122 6 试求A41 A42与A43 A44 题型三 利用多项式分解因式计算行列式 若f x aij x 是一个m次多项式 且已知f x 0有m个根x1 x2 xm 则f x A x x1 x xm 再令x 0 求出A即可 或通过比较xm的系数也可求出A 例例例1 10 计算D 1123 12 x223 2315 2319 x2 例例例1 11 设f x xbcd bxcd bcxd bcdx 则方程f x 0有根 题型四 抽象行列式的计算与证明 所谓抽象行列式是指未知行列式中具体元素的行列式 这时无法利用通常的性质化 为三角形行列式等进行计算 主要方法有 1 综合运用行列式的性质及矩阵或向量的 运算性质 并注意到行列式 矩阵运算的差异进行计算 2 若是涉及到代数余子式Aij 或伴随阵A 的行列式计算问题 往往要考虑利用行列式按行 列 展开公式 或一般公 式AA A A A E 3 利用特征值或相似矩阵求行列式 例例例1 12 设四阶矩阵A 2 3 2 4 3 4 B 2 2 3 3 4 4 其中 2 3 4均 为四维列向量 且已知行列式 A 2 B 3 试计算 A B 例例例1 13 设A为3阶方阵 A 为A的伴随阵 且 A 1 2 试求行列式 2 3A 1 2A 0 0A 例例例1 14 设A是n n 2 阶非零实矩阵 其元素aij与其代数余子式Aij相等 求行列 式 A 10 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 例例例1 15 设矩阵A 210 120 001 矩阵B满足ABA 2BA E 其中A 为A的伴随矩 阵 E是单位矩阵 则 B 例例例1 16 设 1 2 3均为3维列向量 记矩阵A 1 2 3 B 1 2 3 1 2 2 4 3 1 3 2 9 3 如果 A 1 那么 B 题型五 n阶行列式的计算 计算行列式的关键是掌握其特征 特征一 待求行列式的零元素特别多 可考虑直接用展开定理 例例例1 17 计算Dn a1b10 00 0a2b2 00 000 an 1bn 1 bn00 0an 例例例1 18 计算n阶行列式Dn x 10 00 0 x 1 00 000 x 1 anan 1an 2 a2a1 例例例1 19 证明 Dn Cn 其中 Dn 210 00 121 00 012 00 000 21 000 12 Cn 2 10 00 12 1 00 0 12 00 000 2 1 000 12 特征二 所有行 列 对应元素相加后相等的行列式 这时可以把所有行 列 加到 第1行 或第1列 提取公因式后再化简计算 例例例1 20 计算n阶行列式 11 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 1 Dn 0 xx x x0 x x xx0 x xxx 0 2 Dn a xa a aa x a aa a x 特征三 三线型行列式 它是指行列式除某一行 某一列和对角线或次对角线不为 零外 其余元素均为零的行列式 主要求解方法有化三角形行列式法 降阶法以及数学归 纳法 例例例1 21 计算下列行列式 1 Dn 1 a0b1b2 bn 1bn c1a10 00 c20a2 00 cn00 0an ai 0 i 1 2 n 2 Dn 0 00 00 0 00 000 000 题型六 利用特征值计算行列式 例例例1 22 若 四 阶 矩 阵A与B相 似 矩 阵A的 特 征 值 为1 2 1 3 1 4 1 5 则 行 列 式 B 1 E 例例例1 23 设A为四阶矩阵 且满足 2E A 0 又已知A的三个特征值分别为 1 1 2 试计算行列式 2A 3E 题型七 综合题 例例例1 24 已知f x x12 x 224 3x 24 x 证明方程f x 0有小于1的正根 12 考研数学经典讲义线性代数篇第 1 章 行列式 例例例1 25 设矩阵A 2a10 000 a22a1 000 0a22a 000 000 2a10 000 a22a1 000 0a22a 现矩阵A满足方程Ax b 其中 x x1 x2 xn T b 1 0 0 T 1 求证 A n 1 an 2 问 当a为何值时 方程组有唯一解 并求x1 3 问 当a为何值时 方程组有无穷多解 并求其通解 例例例1 26 设随机变量Xij i j 1 2 n n 2 独立同分布 E Xij 2 则行列式 Y X11X12 X1n X21X22 X2n Xn1Xn2 Xnn 的数学期望E Y 13 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 第2章矩阵及其运算 2 1知识要点精讲 一 矩阵的概念与运算 1 矩阵的定义 定义 2 1由m n各数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的m行n列的数表 a11a12 a1n a21a22 a2n am1am2 amn 称为m行n列矩阵 简称m n矩阵 记为Am n aij称为矩阵A的第i行第j列元素 一个m n矩 阵A也可简记为A Am n aij m n或A aij 若矩阵A aij 的行数与列数都等于n 则称A为n阶矩阵 或方阵 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数 则称这两个矩阵为同型矩阵 注注注意意意 如果矩阵A B为同型矩阵 且对应元素均相等 则称矩阵A与矩阵B相等 记 为A B 2 矩阵的线性运算 定义 2 2设有两个m n矩阵A aij 和B bij 矩阵A与B的和记做A B 规定为 A B aij bij m n a11 b11 a12 b12 a1n b1n a21 b21 a22 b22 a2n b2n am1 bm1 am2 bm2 amn bmn 注注注意意意 只有两个矩阵式同型矩阵时 才能进行矩阵的加法运算 两个同型矩阵的和 即为两 个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵 设矩阵A aij 记 A aij 称 A为矩阵A的负矩阵 显然有A A 0 由此规定矩阵的减法为 A B A B 14 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 定义 2 3数k与矩阵A的乘积记做kA或Ak 规定为 kA Ak kaij ka11ka12 ka1n ka21ka22 ka2n kam1kam2 kamn 数与矩阵的乘积运算称为数数数乘乘乘运运运算算算 矩阵的加法与矩阵的数乘运算两种运算统称为矩阵的线性运算 它满足下列运算规 律 设A B C 0都是同型矩阵 k l是常数 则 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A 0 A 4 A A 0 5 1A A 6 k lA kl A 7 k l A kA lA 8 k A B kA kB 注注注意意意 在数学中 把满足上述八条规律的运算称为线线线性性性运运运算算算 定义 2 4设 A aij m s a11a12 a1s a21a22 a2s am1am2 ams B bij s n b11b12 b1n a21a22 a2n as1as2 asn 矩阵A与矩阵B的乘积记作AB 规定为 AB cij m n c11c12 c1n c2sc2s c2n cm1cm2 cmn 其中cij ai1b1j ai2b2j aisbsj s k 1 aikbkj i 1 2 m j 1 2 n 注注注意意意 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时 两个矩阵才能进行乘法运算 15 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 若C AB 则矩阵C的元素cij即为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的 和 即 cij ai1 ai2 ais b1j b2j bsj ai1b1j ai2b2j aisbsj 矩阵的乘法满足下列运算规律 假定运算都是可行的 1 AB C A BC 2 A B C AC BC 3 C A B CA CB 4 k AB kA B A kB 注注注意意意 矩阵的乘法一般不满足交换律 即AB BA 定义 2 5如果两矩阵相乘 有AB BA 则称矩阵A与矩阵B可交换 简称A与B可换 注注注意意意1 与单位矩阵E 容易证明 EmAm n Am n Am nEn Am n 或简写成EA AE A 可见单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1 更进一步我们有 注注注意意意2 设B是一个n阶矩阵 则B是一个数量矩阵的充分必要条件是B与任何n阶矩 阵A可换 注注注意意意3 设A B均为n阶矩阵 则下列命题等价 AB BA A B 2 A2 2AB B2 A B 2 A2 2AB B2 A B A B A B A B A2 B2 定义 2 6把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 称为A的转置矩阵 记作AT 或A 即 若 A a11a12 a1n a21a22 a2n am1am2 amn 则AT a11a21 am1 a12a22 am2 a1na2n amn 16 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 矩阵的转置满足一下运算规律 假如运算都是可行的 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT 4 AB T BTAT 二 方阵的幂 定义 2 7设方阵A aij n n 规定 A0 E Ak k z A A Ak为自然数 Ak称为A的k次幂 方阵的幂满足一下运算规律 假设运算都是可行的 1 AmAn Am n m n为非负整数 2 Am n Amn 注注注意意意1 一般地 AB m AmBm m为自然数 注注注意意意2 设A B均为n阶矩阵 AB BA 则有 AB m AmBm m为自然数 反之不成立 定义 2 8设 x a0 a1x anxm为x的m次多项式 A为n阶矩阵 记 A a0E a1A amAm A 称为矩阵A的m次多项式 因为矩阵Ak Al和E都是可交换的 所以矩阵A的两个多项式 A 和f A 总是可交换的 即 总有 A f A f A A 从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式 例2 1 设 A 101 020 101 而n 2 为正整数 则An 2An 1 定义 2 9由n阶方阵A的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 称为方阵A的行列式 记 做 A 或det A 注注注意意意 方阵与行列式是两个不同的概念 n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表 而n阶行列式是这些数按一定得运算法则所确定的一个数值 实数或复数 方阵A的行列式 A 满足以下运算规律 设A B为n阶方阵 k为常数 17 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 1 A T A 行列式的性质1 2 kA kn A 3 AB A B 进一步 A B AB B A BA 定义 2 10设A为n阶方阵 如果AT A 即 aij aji i j 1 2 n 则称A为对称矩阵 如果AT A 则称A为反对称矩阵 三 逆矩阵 定义 2 11对于n阶矩阵A 如果存在一个n阶矩阵B 使得 AB BA E 则称矩阵A为可逆矩阵 而矩阵B称为A的逆矩阵 注注注意意意1 若矩阵A是可逆的 则A的逆矩阵是唯一的 注注注意意意2 两个互逆的矩阵的乘法可交换 注注注意意意3 涉及两个矩阵是否可交换 考虑用逆矩阵的定义进行分析 例2 2 设n阶方阵A B C满足关系式ABC E 其中E是n阶单位矩阵 则必有 A ACB E B CBA E C BAC E D BCA E 定义 2 12如果n阶矩阵A的行列式 A 0 则称A是非奇异的 否则称为奇异的 定义 2 13行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵 A11A21 An1 A12A22 An2 A1nA2n Ann 称为矩阵A的伴随矩阵 记为A 定理 2 1n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式 A 0 且当A可逆时 有A 1 1 A A 其 中A 为A的伴随矩阵 由定理证明得伴随矩阵的一个基本性质 AA A A A E 18 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 推论 2 1若AB E 或BA E 则BA E 或AB E 且B A 1 A B 1 逆矩阵具有以下运算性质 若矩阵A可逆 则A 1也可逆 且 A 1 1 A 若矩阵A可逆 数k 0 则 kA 1 1 k A 1 两个同阶可逆矩阵A B的乘积是可逆矩阵 且 AB 1 B 1A 1 若矩阵A可逆 则AT也可逆 且有 AT 1 A 1 T 若矩阵A可逆 则 A 1 A 1 注注注意意意 若A可逆 则A A A 1 从而 A 1 1 A A 1 1 1 A A 例2 3 已知对于 n阶方阵A 存在自由数k 使得Ak 0 试证明矩阵E A可逆 并写出 其逆矩阵的表达式 E为n阶单位矩阵 例2 4 设A和B均为n n矩阵 则必有 A A B A B B AB BA C AB BA D A B 1 A 1 B 1 四 矩阵的初等变换 定义 2 14矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换 1 交换矩阵的两行 交换i j行 记作ri rj 2 以一个非零的数k乘矩阵的某一行 第i行乘k 记作ri k 3 把矩阵的某一行的k倍加到另一行 第j行乘k加到第i行上去 记作ri krj 把定义中的 行 换成 列 即得矩阵的初等列变换的定义 相应记号把r换成c 初等行变换与初等列变换统称为初初初等等等变变变换换换 注注注意意意 初等变换的逆变换变换仍是初等变换 且变换类型相同 定义 2 15若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 则称矩阵A与与与B等等等价价价 注注注意意意 两个同型矩阵A B等价的充要条件是秩r A r B 定理 2 2任意一个矩阵A aij m n经过有限次初等变换 可以化为下列标准型矩阵 A 1 1 0 0 Er0r n r 0 m r r0 m r n r 19 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 定义 2 16对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初初初等等等矩矩矩阵阵阵 三等初等变换分别对应着三种初等矩阵 1 E的第i j行 列 互换得到的矩阵 Eij 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 E的第i行 列 乘以非零数k得到的矩阵 Ei k 1 k 1 3 E的第j行乘以数k加到第i行上 或E的第i列乘以数k加到第j列上得到得矩阵 Eij k 1 1 k 1 1 关于初等矩阵有以下性质 1 E 1 ij Eij Ei k 1 Ei k 1 Eij k 1 Eij k 2 E ij 1 Ei k k E ij k 1 20 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 注注注意意意 对于初等矩阵的伴随矩阵 有 E ij E ij E 1 ij Eij Ei k Ei k E 1 i k kEi 1 k Eij k Eij k 定理 2 3设A是一个m n矩阵 对A施行一次某种初等行变换 相当于用同种的 m n 阶初等 矩阵左 右 乘A 例2 5 设 A a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 B a21a22a23 a11a12a13 a31 a11a32 a12a33 a13 P1 010 100 001 P2 100 010 101 则必有 A AP1P2 B B AP2P1 B C P1P2A B D P2P1A B 例2 6 设A为n n 2 阶 可 逆 矩 阵 交 换A的 第1行 与 第2行 得 矩 阵B A B 分 别 为A B的伴随矩阵 则 A 交换A 的第1列与第2列得B C 交换A 的第1列与第2列得 B B 交换A 的第1行与第2行得B D 交换A 的第1行与第2行得 B 定理 2 4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积 因此 求矩阵A的逆矩阵A 1时 可构造 n 2n矩阵 A E 然后对其施以初等变换将矩阵A化为 单位矩阵E 则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵E化为 A 1 即 A E 初等行变换 E A 1 这就是求逆矩阵的初等变换法 五 分块矩阵 定义 2 17将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵 每个小矩阵称为矩阵A的子块 以子块为元素形式的矩阵称为分分分块块块矩矩矩阵阵阵 注注注意意意 一个矩阵也可看做 m n个元素为1阶子块的分块矩阵 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规律相似 分块时要注意 运算的两矩阵按块能运算 并且参与运算的子块也能运算 即 内外都能运算 例2 7 设A为n阶非奇异矩阵 为n维列向量 b为常数 记分块矩阵 21 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 P E0 TA A Q A Tb 其中A 是矩阵A的伴随矩阵 E为n阶单位矩阵 1 计算并简化PQ 2 证明 矩阵Q可逆的充分必要条件是 TA 1 b 六 矩阵的秩 定义 2 18在m n矩阵A中 任取k行k列 1 6 k 6 m 1 6 k 6 n 位于这些行列交叉处的k2个 元素 不改变他们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 定义 2 19设A为m n矩阵 如果存在A的r阶子式不为零 而任何r 1阶子式 如果存在的 话 皆为零 则称数r为矩阵A的秩 记为r A 或R A 并规定零矩阵的秩等于零 矩阵的秩具有下列性质 若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则r s 若矩阵A中所有t阶子式全为0 则r A 3 AB B A kA kn 1A n 2 但一般地 A B A B 4 A 1 T AT 1 A 1 A 1 A T AT 2 有关A 的结论 1 AA A A A E 2 A A n 1 n 2 A A n 2A n 3 3 若A可逆 则A A A 1 A 1 1 A A 4 若A为n阶方阵 则r A n r A n 1 r A n 1 0 r A 1 4 r A B 6 r A r B 5 初等变换不改变矩阵的秩 6 r A r B n 6 r AB 6 min r A r B 特别地 若AB 0 则r A r B 6 n 其中n为A矩阵的列数 7 若A 1存在 r AB r B 若B 1存在 r AB r A 若r Am n n r AB r B 若r Bn s n r AB r A 8 r Am n n Ax 0只有零解 9 r A0 0B r A r B 10 r aE bA 3 阶矩阵A 1aa a a1a a aa1 a aaa 1 若A的秩是n 1 则a必为 A 1 B 1 1 n C 1 D 1 n 1 例2 37 设三阶矩阵A abb bab bba 若A的伴随阵的秩为1 则必有 A a b或a 2b 0 B a b或a 2b 0 C a b且a 2b 0 D a b且a 2b 0 例2 38 设A为5 4矩阵 A 1231 2 1k2 0113 1 104 2025 且A的秩是3 求k 题型九 综合题 例2 39 A a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann 满足 aii n j 1 j i a ij i 1 2 n 证明A可逆 31 考研数学经典讲义线性代数篇第 2 章 矩阵及其运算 例2 40 A 102 215 10a 3 不可逆 又矩阵B 223 348 b 1c 2 3 满足AX B 1 求a b c的值 2 求矩阵X 32 考研数学经典讲义线性代数篇第 3 章 向量 第3章向量 3 1知识要点精讲 考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量的线性相关和线性无关 向量的极大线 性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩和矩阵组的秩之间的关系 向量空间及其相 关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交 规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 一 n维向量及其线性运算 定义 3 1n个有序的数a1 a2 an所组成的数组 a1 a2 an 称为n维行向量 这n个数称 为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 注意 a1 a2 an 称为n维列向量 无论行向量还是列向量 统称为向量 定义 3 2两个n维向量 a1 a2 an 与 b1 b2 bn 的各对应分量的和组成的向 量 称为向量 与 的和 记为 即 a1 b1 a2 b2 an bn 由加法和负向量的定义 可定义向量的减法 a1 b1 a2 b2 an bn 定义 3 3n维向量 a1 a2 an 的各个分量都乘以实数k所组成的向量 称为数k与向 量 的乘积 又称为数乘 记为k 即 k ka1 ka2 kan 33 考研数学经典讲义线性代数篇第 3 章 向量 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算 注意 向量的线性运算与行 列 矩阵的运算规律相同 从而也满足下列运算规律 1 2 3 0 4 0 5 1 6 k l kl 7 k k k 8 k l k l 二 线性组合和线性表示 定义 3 4给定向量组 1 2 n 对于任何一组实数k1 k2 kn 表达式 k1 1 k2 2 kn n 称为此向量组的一个线性组合 k1 k2 kn称为这个线性组合的系数 定义 3 5给定向量组 1 2 n和向量 若存在一组数k1 k2 kn 使得 k1 1 k2 2 kn n 则称向量 是向量组 1 2 n的线性组合 又称向量 能由此向量组线性表示 或线性表 出 注意 记矩阵A 1 2 s 则 是否可由量组 1 2 s线性表示 相当于非齐 次线性方程组Ax 是否有解 1 能由量组 1 2 s唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组 1x1 2x2 sxs 有唯一解 2 能由量组 1 2 s线性表示且表示式不唯一的充分必要条件是线性方程 组 1x1 2x2 sxs 有无穷多解 3 不能由量组 1 2 s线性表示的充分必要条件是线性方程组 1x1 2x2 sxs 无解 34 考研数学经典讲义线性代数篇第 3 章 向量 定理 3 1设向量 b1 b2 bm j a1j a2j amj j 1 2 s 则向量 能由量组 1 2 s线性表示的充分必要条件是矩阵A 1 2 s 与矩 阵A 1 2 s 的秩相等 例3 1 设 1 1 2 0 T 2 1 a 2 3a T 3 1 b 2 a 2b T 1 3 3 T 试讨论当 a b为何值时 1 不能由量组 1 2 3线性表示 2 可由量组 1 2 3唯一线性表示 并求出表示式 3 可由量组 1 2 3线性表示但表示式不唯一 并求出表示式 三 线性相关性概念 定义 3 6给定向量组 1 2 s 若存在一组数不全为零的数k1 k2 kn 使得 k1 1 k2 2 ks s 0 则称此向量组线性相关 否则称线性无关 即当且仅当k1 k2 ks 0时 上式才成 立 则向量组 1 2 s线性无关 注意 1 包含零向量的任何一个向量组是线性相关的 2 向量组只含有一个向量 时 则 0的充分必要条件是 线性无关的 0的充分必要条件是 线性相关的 3 仅含有两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量对应分量成比例 反之 仅含有两个向量的向量组线性无关的充要条件是这两个向量对应分量不成比例 4 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线 三个向量线性相关的几何意义是 这三个向量共面 5 记矩阵A 1 2 s 则向量组 1 2 s线性相关 无关 等价于 Ax 0有 非零解 只有零解 r 1 2 s 2 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由 其余s 1个向量线性表示 定理 3 3设有列向量组 j a1j a2j amj j 1 2 s 则向量组 1 2 s线性相关的充要 条件是A 1 2 s 的秩小于向量的个数s 推论 3 1n个n维列向量 1 2 n线性无关 线性相关 的充要条件是 R A R 1 2 n n n 推论 3 2记A 1 2 n 则n个n维列向量 1 2 n线性无关 线性相关 的充要条 件是 A 0 0 注 上述结论对行向量也成立 推论 3 3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 此向量组必线性相关 定理 3 4若向量组中有一部分向量 向量组 线性相关 则整个向量组线性相关 推论 3 4线性无关的向量组中任何一部分组皆线性无关 定理 3 5向量组 1 2 s 线性相关 而向量组 1 2 s线性无关 则向量 可 由 1 2 s线性表示且表示法唯一 注意 一组向量线性无关 则每个向量在相同位置添加分量后仍然线性无关 反过来 若一 组向量线性相关 则去掉某些部分后仍线性相关 36 考研数学经典讲义线性代数篇第 3 章 向量 四 两个向量组之间的关系 定义 3 7设有向量组 I 1 2 s和向量组 II 1 2 t 如果向量组 I 的每个向量都 可以由向量组 II 线性表示 则称向量组 I 都可以由向量组 II 线性表示 如 果 向 量 组 I 和 向 量 组 II 可 以 相 互 线 性 表 示 则 称 向 量 组 I 和 II 等 价 记 为 1 2 s 1 2 t 向量组等价具有性质 反身性 对称性 传递性 注意1 如果向量组 1 2 s和 1 2 t等价 则 r 1 2 s r 1 2 t 但反过来不成立 例如 1 0 1 1 1 0 显然r 1 r 1 1 但 1不能由 1线性 表示 1也不能由 1线性表示 注意2 一组向量 1 2 t可由向量 1 2 s线性表示 相当于每个 i都可由向 量 1 2 s线性表示 即方程组 1x1 2x2 sx