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中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案高等数学复习题一、填空题1已知时，与是等价无穷小，则常数= 2. 已知 在处连续，则= 3. 函数的可去间断点为 ，补充定义 ，则函数在处连续.4已知，则5若，则6.设函数是的一个原函数，则 . 7. .8.若，则 .9. .10. .11. .12. .13. .14. .15. .16.设是连续函数，且，则 .17.设 .18. .19.曲线 .20. .21.设，则 .22.设，则 .23.已知在处取极值，则 .24. 设A=，则A1= ，(A*)1= 。25. 已知A=，B=，则AB= ，= 。26. = 。27 若a31a2ka54a1ka43是5阶行列式中一项，则当k= ，l= 时，该项符号为正号。28. f(x)=是 次多项式，其一次项的系数是 。29. 若n阶行列式零元素的个数超过n(n1)个，则行列式为 。30. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.31.设函数，则的间断点是 。32. 。33.设，则= 。34.设，则 。35. = 。36.设为连续函数，为的原函数，则 。二、选择题1下列命题正确的是（ ）(A) 定义在上的一切偶函数在处一定连续;(B) ,在点处都不连续，则在处也一定不连续;(C) 定义在上的一切奇数函数在处不一定连续;(D) ,在点处都不连续，则+在处一定不连续2已知，则( )(A) 1； (B) 任意实数； (C) 0.6 ； (D) -0.63设, 其中在处可导，则是的（ ） (A) 连续点 (B) 第一类间断点(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能确定4已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，是（ ）(A) (B) (C) (D) 5下列命题正确的是（ ）(A); (B); (C)(D)表示曲线在点处的切线与轴平行6 若在（a ,b）内可导,则至少存在一点，使（ ）(A) (B) (C) (D) 7设在内可导,则在内（ ）.(A) 只有一点,使 ； (B) 至少一点,使；(C) 没有一点,使 ； (D) 不能确定是否有,使.8若，在内则在内（ ）.(A) (B) (C) (D) 9.记，则（ ）.（A） （B）（C） （D） 10.( ).（A）（B）（C）（D）11.设（ ）.（A）依赖于 （B）依赖于（C）依赖于，不依赖于 （D）依赖于，不依赖于12. 的值为（ ）.（A）0 （B）1 （C）ln2 （D）不存在13.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）.（A） （B） （C） （D）14.设，则有（ ）.（A）（B）（C）（D）15.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.（A）1 （B）0 （C）e （D）e-116.设的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导 （B）可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值17.设上二阶可导，且记 ， ，则有（ ）.（A） （B） （C） （D）18. 设A、B均为n阶方阵，则必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B119. 设A、B均为n阶方满足AB=0，则 。 (A) A=B=0(B) A+B=0 (C) |A|=0或|B|=0(D) |A|+|B|=020. 行列式= a1na2n1an1 (A) 1 (B) n (C) (D) 21. 若D=m0，则D1= 。 (A) 40m (B) 40m (C) 8m (D) 20m 22 D= 。 (A) 294 (B) 294 (C) 61 (D) 61 23. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示“选出的学生是男生”，B表示“选出的学生是三年级学生”，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含义是（）（A）选出的学生是三年级男生；（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；（C）选出的学生是男子篮球运动员；（D）选出的学生是三年级篮球运动员；25. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）26. 设A、B互为对立事件，且则下列各式中错误的是（）（A）（B）（C）（D）27.的（ ）.（A）可去间断点 （B）跳跃间断点（C）无穷间断点 （D）振荡间断点28.设函数具有二阶导数，（ ）.（A） （B）（C） （D）29.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A） （B）（C） （D）30.设上具有连续导数，且，则（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-231.设函数(其中为常数)，则在(，+)内为( )(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶性与有关的函数32.当时，下列变量中是无穷小的为( )(A)(B) (C)(D) 33.函数的图形如图示，则曲线在区间a，b(其中为大于零的常数)上拐点的个数为( )(A)0(B)1 (C)2 (D)334.设函数在闭区间a，b上连续，则曲线与直线和所围成的平面图形的面积等于( )(A)(B)(C)(D)35. 若f ( x )在点x处可导，则=（ ） (A) (B) 2 C. 0 (D) 36.下列算式正确的是（ ）(A) =0 (B) =0(C) (D)=0 37.下列变量中，（ ）是无穷小量。(A) ln( x 1 ) ( x1) (B) sinx+cosx (x0) (C) e (x -) (D) (x) 38下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. B. C. D. 39.下列极限计算正确的是（ ）。A.B. C. D. 40.当（ ）时，在处连续。A.0B. 1C.2D. 141.设，则（）。 A不存在 B. C. D.42.设，则（ ）。 AB. C. D. 不存在43.设在处可导，且，则( )。A.不存在B. C.0D. 任意44. （）。A.B. C.D. 45.若可导且，则下列不等式不正确的是( )。A. B. C. D. 46.在某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（ ）A. B. C. D. 47.如果，则f（x）=（ ）A. 2sin2x B. 2cos2x C. 2sin2x D. 2cos2x48.已知，那么常数a=（ ）。49.（）。 AB. C. D. 50.设是函数的一个原函数，则（ ）。 A B. C. D. 三计算下列函数极限1. 已知，求常数2345。6设平面曲线的方程为，求曲线在点(2，1)处的切线方程。7设函数，求。8计算。四已知，求的定义域五求六已知，试确定和的值七求八已知数列，极限存在，求此极限九设，求的间断点，并说明间断点的所属类型十讨论的连续性。十一（10分）设，求十二设在内有意义，且，又，其中, 求十三设由方程组所确立，求十四设 ，已知在处连续可导，试确立并求十五设曲线和在点处相切，求常数.十六、证明题1. 设在a , b 上可微，使2. 设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使 .十七、设函数 y = y(x)由方程所确定，试求y = y(x)的驻点，并判别它是否为极值点.十八、证明：当十九、计算：1.；2.；3.；4.；5.二十、已知 求.二十一、已知，且，求.二十二、解答下列各题（每小题6分，共30分）：1.计算；2.；3.求曲线直线和轴所围图形的面积.二十五、已知连续，.二十六、设在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的点，使.二十八、设函数有连续导数，且，求极限. 二十九、求曲线的与直线平行的切线方程.三十、设上连续，且上至少存在一点，使.三十一、设曲线 时切线斜率为，问为何值时，曲线与轴所围部分面积最大？三十二、 求A的秩R(A)，A= 三十三、 设A=，求(A*)1。 三十四、求解下列各题： 1. 设A=，当k取何值时，R(A)=3，当k取何值时，R(A)0， 所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）27.的（ ）.（A）可去间断点 （B）跳跃间断点（C）无穷间断点 （D）振荡间断点解：28.设函数具有二阶导数，（ ）.（A） （B）（C） （D）解：故应选(C).29.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A） （B）（C） （D）解：考虑辅助函数30.设上具有连续导数，且，则（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2解：因为，故应选（A）.31.设函数(其中为常数)，则在(，+)内为(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶性与有关的函数答： B 32.当时，下列变量中是无穷小的为(A)(B)(C)(D)答： C 33.函数的图形如图示，则曲线在区间a，b(其中为大于零的常数)上拐点的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3答： B 34.设函数在闭区间a，b上连续，则曲线与直线和所围成的平面图形的面积等于(A)(B)(C)(D)答： D 35. 若f ( x )在点x处可导，则=（ ） (A) (B) 2 C. 0 (D) 答：B 36.下列算式正确的是（ ）(A) =0 (B) =0(C) (D)=0 答： B 37.下列变量中，（ ）是无穷小量。(A) ln( x 1 ) ( x1) (B) sinx+cosx (x0) (C) e (x -) (D) (x) 答：C 38下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. B. C. D. 解 A中：因为 时，故 ，不是无穷小量； B中：因为时，故是无穷小量； C中：因为 时，故；但是时，故，因此当时不是无穷小量。 D中：因为，故当时，不是无穷小量。因此正确的选项是B。39.下列极限计算正确的是（ ）。A.B. C. D. 解 A不正确。因为不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即B正确。将分子、分母同除以 ，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到C不正确。因为，故不能直接用极限的减法运算法则，即D不正确。可以分成两项乘积，即 =其中第一项而第二项故原算法错误。正确选项应是B。40.当（ ）时，在处连续。A.0B. 1C.2D. 1解 函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为而右连续故当1时，在处连续。正确的选项是D。41.设，则（）。 A不存在 B. C. D.解 因为时，是常数函数，而点在范围内，故0。正确的选项是C。42.设，则（ ）。 AB. C. D. 不存在解 如果单看 求极限，很难求出结果。但是若联想到以及导数的定义，即有 0故正确的选项是C。43.设在处可导，且，则( )。A.不存在B. C.0D. 任意解 因已知在处可导，且，将看成,看成，则就是在处的导数，故正确选项是B。44. （）。A.B. C.D. 解 根据复合函数求导法则，得故正确选项应是A。 45.若可导且，则下列不等式不正确的是( )。A. B. C. D. 解 首先要注意，这里要选择的是不正确的式子。先看A：根据复合函数的求导法则可知故A不正确。因此正确的选项是A。46.在某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（ ）A. B. C. D. 解 如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）c都是f（x）的原函数，故有，即正确的选项是C。47.如果，则f（x）=（ ）A. 2sin2x B. 2cos2x C. 2sin2x D. 2cos2x解 根据不定积分的性质可知f（x）=正确的选项是D。48.已知，那么常数a=（ ）。解 因故，即正确的选项是D。49.（）。 AB. C. D. 解 两种方法，其一是凑微分直接计算：其二是求导计算：四个备选答案中都含有项，对它求导 与被积函数比较可知，是的原函数。正确的选项是B。50.设是函数的一个原函数，则（ ）。 A B. C. D. 解 因是函数的一个原函数，即有=，故故正确的选项C。三计算下列函数极限1. 已知，求常数解. .2解. 3解. .4解. 5。解：。6设平面曲线的方程为，求曲线在点(2，1)处的切线方程。解：方程两端对求导得，将点(2，1)代入上式，得= 1，从而在(2，1)处的切线方程为，即。7设函数，求。解：。8计算。解：令，则，且当时有，当时有。于是20etdttetdttettdeteee。四已知，求的定义域解. , 故的定义域为五求解. 又, 故六已知，试确定和的值解. ,即,故七求解. , ,八已知数列，极限存在，求此极限解. 显然, 存在, 令. 对两边取极限得, 即, , 由于, 九设，求的间断点，并说明间断点的所属类型解. 在内连续, , , 因此, 是的第二类无穷间断点; , 因此是的第一类跳跃间断点.十讨论的连续性。解. , 因此在内连续, 又, 在上连续.十一（10分）设，求解 ，又，故。十二设在内有意义，且，又，其中, 求解 十三设由方程组所确立，求解方程组两边对求导得，两边再对求导得，将代入得，。十四设 ，已知在处连续可导，试确立并求解 ，在处连续，即。当时，当时，当时，故。十五设曲线和在点处相切，求常数.解 在处的切线斜率为，在点处切线的斜率为，即，由条件得 。又过点，即.十六、证明题1. 设在a , b 上可微，使3. 设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使 .十七、设函数 y = y(x)由方程所确定，试求y = y(x)的驻点，并判别它是否为极值点.十八、证明：当十九、计算：1.；解：原式，令，则，所以，.2.；解：原式.3.；解：原式，令，则，所以，.4.；解：.5.解：当时，原式；当时，原式；当时，设，则，所以.二十、已知 求.解：因为又可导必连续，则，即，所以，二十一、（8分）已知，且，求.解：因为，即，所以，又由，可得,故.二十二、解答下列各题（每小题6分，共30分）：1.计算；解：利用定积分的分拆与合并技巧计算.原式，在上式右端第一式中，令，得，从而，原式.2.；解：当时，当时，.从而3.求曲线直线和轴所围图形的面积.解：所求图形的面积为二十五、已知连续，.解：从而于是二十六、设在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的点，使.证：令.则有.又因为，所以存在，使，因若不然，则在内或恒为正，或恒为负，均与矛盾.但当时，故.由上证得.再对在区间上分别用Rolle定理，知至少存在，使，即.二十八、设函数有连续导数，且，求极限. 解：因为, 所以.二十九、求曲线的与直线平行的切线方程.解：因为, 直线的斜率为,由条件有,故.从而切点为,于是所求切线方程为,即.三十、设上连续，且上至少存在一点，使.证：作辅助函数依题意则由闭区间上连续函数的零点定理知,至少存在一点三十一、设曲线 时切线斜率为，问为何值时，曲线与轴所围部分面积最大？解：.依题意, 曲线在时切线斜率为, 则, 即. 又曲线与轴两交点坐标分别对应和, 则所求面积.从而.令, 得.当时, , 而当时, .所以是的惟一极大值点, 也是最大值点, 因此当时, 曲线与轴所围成的面积最大.三十二、 求A的秩R(A)，A= 解：，故R(A)=3。 三十三、 设A=，求(A*)1。 解：由AA*=A*A=|A|E，知(A*)1=，故A1=. 三十四、求解下列各题： 1. 设A=，当k取何值时，R(A)=3，当k取何值时，R(A)3。 解：故，k17时，R(A)=3，k=17时，R(A)=23。 2. 设AX+E=A2+X，且A=，求X。解：由AX+E=A2+X，得(AE)X=A2E，而AE可逆，故X=A+E=。三十五、求解下列概率题：1一列国际列车上有12名中国人，求这12名中国人属相都不同的概率？解：设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有种，则=0.000054。 23人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共码破译的概率是多少？解：设Ai表示“第i人