数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义.pdf

数字信号处理中离散傅里叶变换的物理数字信号处理中离散傅里叶变换的物理 意义意义 HolaMirai 0 前言 1 1 为什么要进行傅里叶变换 1 2 傅里叶变换的物理解释 5 2 1 从宏观上认识傅里叶变换 6 3 模拟信号与数字信号之间相互转换的理论基础 11 3 1 模拟信号到数字信号 11 3 2 由数字信号重建原始信号 13 4 数字信号处理中的傅里叶变换 21 4 1 非周期系列的傅里叶变换 序列的傅里叶变换 DTFT 22 4 2 周期序列的傅里叶变换 序列的傅里叶级数 DFS 22 5 序列的周期性 27 6 一个实际例子 29 7 参考文献 31 8 附录 32 附录程序一 32 附录程序二 33 附录程序三 34 附录程序四 34 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 1 0 前言前言 在信号分析 处理领域 傅里叶变换是最主要的分析工具 得益 于傅里叶变换 工程师们才能将各种复杂无序的信号分解成一定频率 的正弦信号和余弦信号的叠加 然后从已知正弦信号和余弦信号的特 性出发 分析出原来信号的某些特性 需要说明的是 傅里叶变换并 没有改变我们的研究目标 我们的研究目标一直是时域的信号 f t 傅里叶变换只是让我们能从另外一个角度来研究问题 因为当 f t 并不是常见的正弦或余弦信号时 或其他规律的信号 如果再在时 域分析 那么我们将无法分析 因为在时域里面 我们只知道正弦或 余弦信号的特性 其他形式的信号特性我们没有分析过 这就引出了 傅里叶变换 傅里叶变换恰好能够将其他形式的信号分解成由不同频 率正弦信号 也可以用余弦信号 两则本质上是一样的 下同 的叠 加 1 为什么要进行傅里叶变换为什么要进行傅里叶变换 事物的外在表现形式是多样的 从不同角度去看问题 可以发现 事物的不同特性 人认识事物的过程是通过观察事物的外在表现形式 现象 从而了解事物的本质 马克思主义辩证法和认识论告诉我 们现象与本质是对立统一的辩证关系 对立表现在 现象是事物的外 在方面 是表面的 多变的 丰富多彩的 本质是事物的内在方面 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 2 是深藏的 相对稳定的 比较深刻 单纯的 因而现象是可以直接认 识的 本质则只能间接地被认识 统一表现在 两者是相互依存的 现象是本质的现象 本质是现象的本质 也就是说 本质只能通过现 象表现出来 现象只能是本质的显现 他们之间是表现和被表现的关 系 两者是相互蕴涵的 本质寓于现象之中 这是非常明显的 本质 只有通过现象表现出来才能被人认识 反过来 本质也包含现象 因 为现象尽管是多种多样的 纷繁复杂的 但毕竟是由本质决定的 早 已潜在地包含于本质之中 因此 对于一个信号 时域和频域均是信号多方面的外在表象 一方面 我们可以直接从时域去观察该信号 但可能不能获得足够多 关于本质的信息 另一方面 当我们从频域去观察该信号时 也许可 以获得足够多关于本质的信息 然而事物的本质无法被彻底认识的 我们只有不断的接近它 就目前我们了解的信号的本质是 对于任意 的信号 f t 都可以看做是由一系列不同频率 幅度 相位的正弦 信号叠加而成的复合信号 该本质是我自己的理解 不一定完全正 确 图 2 1 可以形象的表示从不同方面观察同一事物在认识事物中 的作用 中间这幅图好比是时域信号 看起来没有规律 而其实在看 似杂乱无章的表面下 内部有着巧妙的规律 那我们是否能说该幅图 的本质就是图中的两句话呢 答案是不能 因为也许还有我们尚未发 现的规律 但是至少现在看起来不再是杂乱无章的了 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 3 图 2 1 变换角度看事物 俯瞰中间这幅图 不能发现该图想表达的意思 闭上一只眼 从下往上看 发现 我愿一直 守护在你身边 的汉字 从左往右看 发现 直到我永远停止呼吸为止 汉字 认识事物是一个过程 有许多不同的方法 比如局部到整体 特 殊到一般 对傅里叶变换的认识 我们可以用特殊到一般的方法 先研究周期信号的傅里叶级数 特殊 再推理到非周期信号 一般 由傅里叶级数推导出傅里叶变换 然后反过来定义傅里叶级数 以下 是人们认识傅里叶变换的过程 可以看出 人们认识傅里叶变换正是 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 4 由特殊到一般的过程 1757年 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时 大胆地采用 了三角级数表示函数 1 0 cos2 n n nxAAxf 1 1 2 0 dcos 2 1 xnxxfAn 其中 1759 年 拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数 1777年 欧拉在天文学的研究中 用三角函数的正交性得到了将函 数表示成三角函数时的系数 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数 1753 年 丹 贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级 数的形式 这为傅立叶级数题奠定了物理基础 促进了它的发展 1822 年 傅立叶在 热的解析理论 一书中对于欧拉和贝努利等 人就一些孤立的 特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理 发展 成一般理论 傅立叶指出 任意定义在 上的函数 xf 当满足狄利克 雷 Dirichlet 收敛条件时 函数 xf可以展开成级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 1 2 其中 2 1 0 dcos 1 nxnxxfan 2 1 dsin 1 nxnxxfbn 公式 1 2 的另一种表示方式为 1 0 sin 2 n nn nxA a xf 1 3 其中各系数可以按如下方式求得 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 5 将公式 1 3 三角展开得 sincoscossin 2 sin 2 1 0 1 0 nxAnxA a nxA a xf nnnn n n nn 1 4 公式 1 2 1 3 的右边相等 即可知 2 1 dsin 1 cos 2 1 0 dcos 1 sin nxnxxfbA nxnxxfaA nnn nnn 1 5 nn A 是未知数 解方程组 1 5 可求得 nn A 因此 傅里叶级数形式 1 3 反映在数学上 是把一个复杂的 周期为 2的函数 f x 表示为各类正弦函数 sin nn nxA 的叠加 反 映在物理上 则是把一个复杂的周期为 2的信号 f t 表示为各类正 弦信号 sin nn ntA 的叠加 当函数的周期不是 2时 设其周期为l 2 相应的傅里叶级数为 1 0 sincos 2 k nn l xn b l xn a a xf 1 6 其中 l l n l l n nx l xn xf l b nx l xn xf l a 2 1 dsin 1 2 1 0 dcos 1 2 傅里叶变换的物理解释傅里叶变换的物理解释 数字信号处理是一名集理论与实践性很强的学科 傅里叶变换如 果单纯从数学上来分析可能会显得很枯燥 作为一名不是数学专业的 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 6 工科生 我们所使用的每一个公式 都应该有其物理意义 我们之所 以一直不能理解记忆傅里叶变换 那是因为大学时老师只是一遍又一 遍的推导傅里叶变换的公式 各种特定信号的傅里叶变换形式 以及 各种各样的结论 但从来不讲为何要这样变换 变换的目的是什么 变换会对信号的物理表现形式产生什么影响 以下 我将从物理学角 度解释傅里叶变换的意义 2 1 从宏观上认识傅里叶变换 傅里叶变换的宏观解释就是将一个信号分解成一系列不同幅度 频率 相位的正弦信号的叠加 以下详细说明 对正弦函数 tftf 0 2sin 2 1 我们称信号 f t 是频率为 f0的周期函数 称正弦信号 tf 0 2sin 的频率为 f0 称 00 2 fw 为正弦信号 tf 0 2sin 的角频率 注意 由于 角频率 0 w和频率 f0只是乘于 2的关系 本质上表示的是同一个事物 因此下文中为了表示方便 有时也直接称角频率为频率 读者可以从 符号上看出来到底是指角频率还是频率 特此说明 周期信号周期信号 傅里叶级数傅里叶级数 FS 为了解释傅里叶变换的物理意义 我们先来分析周期信号的傅里 叶变换 再来分析一般的非周期信号 傅里叶级数即是周期信号的傅 里叶变换 大学高数课上我们学过 满足狄利克雷 Dirichlet 条件的 周期函数可以展开成傅里叶级数的形式 傅里叶级数是傅里叶变换的 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 7 一种特殊情形 信号是周期的 所以频率离散 这个后面会详细讲 以下以一个例子来解释如何对一个周期信号进行分解 考虑一个信号 f t 是周期为 2的周期函数 它在 上的 表达式为 t t tf 01 01 2 2 图 2 2 f t 信号的时域波形 将其展开为傅里叶级数 先求其系数 an和 bn 2 1 0 0dcos1 1 dcos 1 1 dcos 1 0 0 n tnttnttnttfan 2 3 6 4 2n0 5 3 1 4 1 1 2 cos1 2cos1cos1 dsin1 1 dsin 1 1 dsin 1 0 0 0 0 当 当n n n n nn nt n nt tnttntxnttfb n n 2 4 所以有 2 0 12sin 12 1 3sin 3 1 sin 4 tt tk k tttf 2 5 其物理意义为 对于周期信号 f t 可以看成是又无数个正弦 信号叠加而成的 各周期信号的频率分别为 1 3 5 7 2k 1 角频率 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 8 分别为 2 3 2 5 2 7 2 幅值分别为 4 3 1 4 5 1 4 7 1 4 相位均为 0 图 2 3 展示了该信号的合成过程 由图 2 3 可以看出 随着 n 的增大 合成信号将无限趋近与原信号 程序可以参考 附录 程序一 周期信号 f t 的周期为 2 0 T 其频率为1 2 0 0 T f 由傅里叶 级数展开式可知 傅里叶级数的基频为 0 0 0 1 2 f T 各正弦的信号 分量的频率为 5 4 3 2 1 0 0 kk 图 2 3 周期信号 f t 的合成 非周期信号非周期信号 一般信号一般信号 傅里叶变换傅里叶变换 FT 当信号不是周期信号时 信号的傅里叶变换将不再是傅里叶级数 形式 但我们仍可以由周期信号的傅里叶级数得到启发 设想当周期 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 9 信号的周期 0 T时 傅里叶级数的基频0 2 0 00 T f 各正弦的 信号分量的频率 0 k将由离散变为连续 因此我们可以尝试理解 周 期信号和非周期信号的傅里叶变换本质上是一样的 都是将信号分解 为一系列正弦信号的叠加 其中分解信号的最小频率为 0 0 2 T 其 他分解信号都是他的整数倍 5 4 3 2 1 0 0 kk 以下以一个矩形信号例子来说明如何对非周期信号进行分解 设有一个矩形信号 其信号方程为 2 0 2 T t T tE tf 2 6 图 2 4 矩形信号的时域波形 这是一个定义在 上的非周期信号 对其进行傅里叶变 换 2 2 2 sin 22 2 2 2 2 T SaET T T ETee j E j eE dteEdtetfF T j T j T T tj T T tjtj 2 7 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 10 其中 2 2 sin 2 T T T Sa 得到矩形信号的傅里叶变换为 2 T SaETF 2 8 由矩形信号的傅里叶变换求出各频率w正弦信号分量的幅度和 相位 2 T w SaETFA 幅度 2 9 0 1 4 12 2 12 2 4 T n T n T n T n 相位 2 10 图 2 5 矩形信号的傅里叶变换波形 图 2 5 是矩形信号的傅里叶变换波形 求得了信号的傅里叶变换 后 则原信号可以表示为 sinwwtAtf w 2 11 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 11 3 模拟信号与数字信号之间相互转换的理论模拟信号与数字信号之间相互转换的理论 基础基础 这一章主要讲由模拟信号经抽样到数字信号 再由数字信号重建 模拟信号的方法和他们之间相互转换的理论基础 并不涉及傅里叶变 换的具体使用 之所以讲这一章 是希望我们在会对数字信号进行傅 里叶变换的同时 也能了解其背后的理论支撑 因此 这一章可以只 做了解 不要求掌握 3 1 模拟信号到数字信号 在这章之前 我所介绍的傅里叶变换都是用于时域连续的函数 其自变量 x 连续 值 f x 也连续 在信号分析领域 我们称这种信号 为连续时间信号或者模拟信号 其时间和信号幅值都是连续的 对应 于模拟信号 时间离散 幅值离散的信号称为数字信号 数字信号可 以在计算机上处理 模拟信号不能在计算机上直接处理 我们要想使 用计算机分析 处理信号 第一步要做的就是由模拟信号得到数字信 号 由模拟信号得到数字信号的第一步是 抽样 抽样就是利用周 期性抽样脉冲序列 p t 从连续信号 xa t 抽取一些列的离散值 得到 抽样信号 或称抽样数据信号 即是离散时间信号 以 txa 表示 抽 样是模拟信号到数字信号的第一个环节 txa 再经过幅度量化编码后 即得到数字信号 nx 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 12 图 3 1 连续时间信号的抽样 a 抽样器的原理 b 实际抽样 c 理想抽样 由模拟信号到数字信号的过程中 数字信号处理初学者会有以下 困惑 第一 由模拟信号到数字信号的过程中 是否会丢失原信号的某 些细节 即会不会丢失信息 第二 第二 我们可以由模拟信号得到数字信号 反过来 我们 是否能够由数字信号重建原始模拟信号 先给出结论 对于第一个问题 结论是会丢失一些信息 这主要是幅值量化过 程中造成的 抽样不会造成信息丢失 丢失信息的程度与 A D 转换芯 片的转换精度有关 不过由于目前 A D 转换芯片的转换精度已经很 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 13 高 因此幅值量化的结果与抽样信号 txa 误差很小 对于第二个问题 结论是可以重建原始模拟信号 但是由于第一个结论 因此重建的信 号与原始信号会有细微差别 这种差别是允许的 因为幅值量化的过 程中 丢失的是信号中的高频成分 其在信号中占比非常小 而且通 常是无用信息 丢失这部分不影响我们对信号的理解 图 3 2 说明了 由模拟信号到数字信号的过程 图 3 2 模拟信号到数字信号的过程 3 2 由数字信号重建原始信号 3 1 节我们已经有结论 由离散时间信号 txa 可以完全重建原始 信号 数字信号 nx是由离散时间信号 txa 幅值量化以后得到的 虽 然存在信息丢失 但如 3 1 节所述 这种误差在工程中允许 因此可 以将离散时间信号 txa 的值用数字信号 nx的对应值代替 由离散时 间信号 txa 重建原始信号的过程则转化成由数字信号重建原始信号 的过程 下面将说明如何由离散时间信号 txa 重建原始信号 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 14 1 理想抽样理想抽样 当0 的极限情况 当T 时 就可近似看成理想抽样 此 时脉冲序列 p t 变成冲激函数序列 t T 而各冲激函数准确的出现在 抽样瞬间上 面积为 1 抽样后输出理想抽样信号的面积 即积分幅 度 则准确的等于输入信号 txa在抽样瞬间的幅度 理想抽样过程可 见图 3 1 c 冲击序列为 m T mTtt 3 1 理想抽样信号输出 txa 为 m a m a Taa mTtmTx mTttx ttxtx 3 2 下面讨论理想抽样信号后频谱发生的变化 在连续时间信号与系 统中已学过 时域相乘 则频域 傅里叶变换域 为卷积运算 各傅 里叶变换分别表示为 tXFTjX aa 3 3 tFTj TT 3 4 tXFTjX aa 3 5 其中 FT 表示傅里叶变换 则对公式 3 2 中 ttxtx Taa 两端傅 里叶变换得 2 1 jjXjX Ta a 3 6 先给出结果 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 15 k ssT kj 3 7 k sa ajkjX T jX 1 3 8 下面分别求各信号的傅里叶变换 求 jXa dtetxtXFTjX tj aaa 3 9 求 j s T 由于 t s T 是周期函数 可以表示成傅里叶级数 即 k tjk kT s eAt 3 10 其中 s 为级数的基频 T fs 1 为抽样频率 系数 Ak T dtet T dtemTt T dtet T A tjk T T tjk T T m tjk T T Tk s ss 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 11 以上结果的得出是考虑到在 2 T t 的区间内 只有一个冲击 t 而 0 m时 mTt 都在积分区间外 且利用了以下关系 dtttff 0 3 12 因而 k tjk T s e T t 1 3 13 因此得出 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 16 k ss k sT kk T j 2 3 14 下图 3 3 表示了 t 和 j T 图 3 3 周期冲激序列 t 与它的傅里叶变换 j T 将公式 3 14 代入公式 3 6 可得 2 1 1 2 2 1 2 1 k a k sa k sa Ta a T jkjX T kjX T kjX T jjXjX 3 15 由此可以得出结论 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延 拓而成拓而成 且频谱幅度是原信号频谱幅度的且频谱幅度是原信号频谱幅度的 1 T 倍倍 若若 txa是频带宽度有限的是频带宽度有限的 只要满足采样定理只要满足采样定理 则抽样后则抽样后 nTxnx a 能够不失真的还原出原信号能够不失真的还原出原信号 txa 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 17 所谓周期延拓 只是数学上的表现 实际上在 22 ss 单个周 期内就已经包含了信号的全部频谱信息 其他周期延拓产生每个区间 的信息都是 22 ss 区间信息的复制 也即其他区间的频谱并没有 对应的物理意义 只是傅里叶变换产生的信息冗余 但如果不满足采 样定理的话 这些冗余信息会相互重叠 导致最后不能分辨 工程实践中 txa一般不满足频带宽度有限条件 因此工程实际中 会在采集前将原始信号通过一个前置低通滤波器 称为防混叠滤波 器 其截至频率为2 s f 这样信号的最高频率就被限制在2 s f以下 图 3 4 展示了不同抽样频率 s 下原信号频谱的不同情况图 3 4 图 3 4 理想抽样后 原信号频谱的周期延拓 a 原限带信号 b 冲激序列信号 c hs 2时 d hs 2时产生频谱混叠 现象 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 18 抽样后有 2 0 2 1 s s a a jX T jX 3 16 2 理想抽样信号重建理想抽样信号重建 由上一小节可知 如果原始信号前加了一个防混叠滤波器 同时 满足采样定理 则抽样后不会产生频谱混叠 可以重建原始信号 由 公式 3 16 知 抽样信号的频谱幅值是原来信号频谱幅值的 T 1 因此将 jXa通过以下理想低通滤波器 如图 3 5 所示 2 0 2 s s T jH 3 17 图 3 5 理想低通滤波器特性及抽样恢复框图 就可以得到原信号频谱 jXjHjXjY aa 3 18 频谱得到后 下面讨论如何由抽样值来恢复原来的模拟信号 即 txa 通过 jH的响应特性 t T t T de T dejHth s s tjtj sin 2 2 1 2 2 3 19 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 19 由 txa 与 th的卷积积分 得到理想低通滤波器的输出为 TmTt TmTt mTx mTthmTx dthmTx dthtx thtxtxty m a m a m a a aaa sin 3 20 这就是信号重建的抽样内插公式 即由抽样值 mTxa重建原信号 txa的公式 TmTt TmTt sin 称为内插函数 图 3 6 是内插函数的图 形 由图可知 重建后的信号 txa在每一个抽样点上的信号值保持不 变 而抽样点之间的信号则由各加权内插函数波形的延伸部分叠加而 成 图 3 6 内插函数及内插函数的恢复 2 实际抽样信号重建实际抽样信号重建 实际情况中 抽样脉冲不是冲激函数 而是一定宽度 的矩形周 期脉冲 tp 由于 tp是周期函数 故仍可以展开成傅里叶级数 k tjk k s eCtp 3 21 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 20 其中 s 为级数的基频 s s T f 1 为抽样频率 系数 Ck s ss jk s s tjktjk T T k e k k T dte T dtetp T C 2 2 sin 1 1 0 2 2 3 22 因此 当 T 一定时 k C的幅度 k C将随 k 变化 类似理想信号抽样 的推导 用 k C代替理想信号抽样的 T Ak 1 这样可以得到实际抽样信号 的频谱 k sak ajkjXCjX 3 23 图 3 7 实际抽样时 频谱包络的变化 由图 3 7 可以看出 和理想抽样一样 抽样数据信号的频谱是连 续信号频谱的周期延拓 因此只要满足采样定理 就不会产生频谱的 混叠 和理想抽样不同的是 这里的频谱分量的幅度有变化 其包络 是随频率增加而逐渐下降的 当包络为零时 即 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 21 0 2 2 sin s jk s s k e k k T C 3 24 这就要求 T kk s 2 22 3 25 所以 T k 由于 T 因此包络的零点出现在 k 很大的地方 包络的变化并不影响信号的恢复 因为我们只需取系数 00 T CC 的那一项 即 22 ss 区间 见 3 23 式 它是 常数 只是幅度有所缩减 只要频谱没有混叠 抽样内插是没有失真 的 4 数字信号处理中的傅里叶变换数字信号处理中的傅里叶变换 第三章我们讲了模拟信号与数字信号之间如何转换 以及转换背 后的理论基础 将模拟信号抽样变为数字信号后 我们就可以在计算 机上进行傅里叶变换了 与模拟信号对应 数字信号也有周期与非周 期性 分别称之为周期系列和非周期序列 需要说明的是 模拟信号 是周期的 经抽样得到的数字信号不一定是周期序列 它需要满足一 定的条件 第五章我会讲 如有兴趣 可以参看第五章 当然 模拟 信号不是周期信号的 其抽样后得到的信号肯定也不是周期的 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 22 4 1 非周期系列的傅里叶变换 序列的傅里叶变换 DTFT 了解了非周期模拟信号的傅里叶变换后 我们可以自然的写出非 周期序列的傅里叶变换和其反变换 deeXnx enxeX njj n njj 2 1 4 1 与非周期模拟信号的傅里叶变换的区别是序列的傅里叶变换积 分值不是连续而是离散的 积分区间都是 4 2 周期序列的傅里叶变换 序列的傅里叶级数 DFS 和模拟信号不一样 这一次我们不是先讲周期序列 而是先讲非 周期序列的傅里叶变换 这跟我们工程实际是有关的 工程实际中 我们要测试的信号一般都夹杂着噪声等各种非周期信号 因此要我们 要在非周期信号中发现其中的周期分量 图 4 1 展示了这一过程 程 序可以参考 附录程序二 图 中5t sin 21 10t 0 5sin 2 x1 是 我 们 要 发 现 的 信 号 randx 2相当于噪声 21xxx 是我们实际要抽样的信号 显而易 见 它是非周期的 因此经过抽样得到的周期序列也是非周期的 那 么我们如何通过21xxx 发现信号5t sin 21 10t 0 5sin 2 x1 呢 我们以一定抽样频率 s f对信号21xxx 连续抽样得到 N 点数字序列 得到有限长序列 然后我们假设21xxx 是以这有限长序列的序列 值 s f N 1 为周期的周期序列 也即周期延拓 对其进行傅里叶变换 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 23 则比起噪声信号的频率 频率为HZf10 和HZf5 的信号分量的幅值 将很大 如图 4 2 所示 HZf10 和HZf5 的幅值很大 说明其在信 号内占的比重很大 而且HZf10 的幅值恰好为HZf5 的一半 与模 拟信号里面的幅值比一样 频域中幅值与时域中幅值的关系是 T 倍关 系 由图 4 2 还可以看出 叠加了噪声的信号其傅里叶变换比起周期 信号 它的频谱不是平滑的 这些非平滑的地方 就是噪声的频谱 图 4 1 周期信号叠加随机信号 噪声 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 24 图 4 2 周期信号叠和加了随机信号 噪声 的傅里叶变换 有了以上定性认识后 我们再来介绍周期信号的傅里叶变换 由 模拟信号中的周期信号傅里叶变换可以知道 周期序列的傅里叶变换 也是傅里叶级数形式 两者关系如表 4 1 表 4 1 周期模拟信号和周期序列信号傅里叶级数的对比 基频序列周期基频K 次谐波序列 模拟 周期 t T j e 2 0 0 T 0 0 2 T t T jk e 0 2 序列 周期 n N j e 2 N N 2 0 n N jk e 2 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 25 序列的傅里叶级数公式如下 10 1 10 1 0 1 0 NnWkX N nx NkWnxkX kn N N k N n kn N 4 2 其中 N j N eW 2 为基频分量 由公式还可以看出 周期序列的傅里叶级数包含的频率分量只有 N 个 而对应的限带模拟信号傅里叶变换其频率远不止 N 个 但是 是有限个的 因为是限带的模拟信号 这就涉及到 N 的选择问题 周期序列的傅里叶级数可以看成是在频域内对对应的限带模拟信号 傅里叶变换的频率抽样 如前所述 假如以抽样频率 s f对模拟信号进 行抽样 那么其频谱将以 T fs s 2 为周期进行周期延拓 而一个完 整周期内就已经包含原始限带信号的全部频谱信息 但是由于原始频 率分量可能非常多 可能跟无数多一样 但是有限多的 超出计算 机能力或者根本不用考虑那么高分辨率 因此 我们对 s 进行 N 点 等间隔抽样 即只考察所有频率中频率 10 Nk N kf s 的分量 例如图4 2中我抽取了所有信号中频率 1270 128 25 kkf的信号分 量 N s 也称频谱分别率 显然图 4 2 频谱分辨率能够区分出HZf10 和HZf5 两者相差 5HZ 因此 N 的选择根据原信号的分辨率 的要求来选择 N 应满足一下条件 f f N s 4 3 其中 f 为原信号个正弦信号分量之间的频率差的最小值 公式 4 3 满足频域采样定理 频域采样定理 频域采样 KX 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 26 不失真的恢复 nx的条件是采样点数 N 必须大于等于序列的长度 L 因此可以不失真的重建序列 nx 而由 nx可以不失真的重建 txa 因 此整条思路就清晰了 图 4 3 解释了周期序列的傅里叶级数各参数之间的关系 图 4 3 周期序列及其傅里叶变换频谱 T T F f N s0 0 由前面的讨论可知 一个域的离散会造成另一个域的周期延拓 因此时域的周期造成频域的周期延拓 周期为 T fs s 2 反过来 频域的离散 满足频域抽样定理抽样得到的 N L 也会造成时域的 周期延拓 所以 nx也周期延拓成周期序列 周期为 0 s N 可以借助图 4 3 来理解实际工程中的傅里叶变换 TN 1 0 序 列是从原始信号中抽样得到的一段有限长序列 然后我们把它周期延 拓成周期序列 再对其求傅里叶级数 然后对其频率进行等间隔抽样 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 27 共 N 点 刚好对应有限长序列的 N 点周期延拓 分析信号的主要成 分 忽略次要成分 5 序列的周期性序列的周期性 如果一个时域信号是周期信号 则满足什么条件可以使得抽样得 到的序列也为周期序列 设时域周期信号 sin 0 tAtxa 5 1 经理想冲激序列 t T 抽样得到的序列 sin sin 0 0 n Tntxnx nTta 5 2 其中 s f f T 0 00 2 称为数字角频率 设 nx是周期为 N 的周期序列 则有 Nnxnx 5 3 代入公式 5 2 得 sin sin sin 0 00 0 nxnA nNA NnANnx 5 4 所以有 kN 2 0 5 5 即有 k N 0 2 针对 0 2 值 分情况讨论 1 当 0 2 为整数时 只要 k 1 0 2 N就是最小正整数 序列的 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 28 周期即为 0 2 如所示 图 5 1 当1 10 2 0 0 A 时的正弦序列 周期性序列 周期 N 10 2 当 0 2 是一个有理数时 有理数可以表示成分数 则 N k 为 互素的整数 Nk k N k 0 2 为最小整数 这就是序列的周期 3 当 0 2 是一个无理数时 则任何 k 都不能使 N 为正整数 序列不 是周期序列 这正是序列不同于连续信号的地方 回到最开始的问题 如何才能由一个周期原始信号抽样得到周期 序列 T T TfT 0 000 2 222 这表明 若要 0 2 为整数 就表示原始信 号的周期 0 T应为抽样时间间隔 T 的整数倍 若要 0 2 为有理数 就表 示 0 T与 T 是互为素数的整数 即 N 个抽样间隔等于 k 个原始信号周 期 如图 5 2 所示 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 29 图 5 2 当1 2 14 3 0 0 A 时的正弦序列 3 142 0 为有理数 序列周期为 N 14 6 一个实际例子一个实际例子 至此 关于傅里叶变换的所有知识讲解体系已经讲完了 现在让 我们来看一个工程实际的例子 有一待测信号 6002cos 1002cos 1 tttxa 5 6 用 DFT 做频谱分析 要求能满足分辨 txa所有频率分量 问 1 抽样频率应该为多少赫兹 2 抽样点数应该为多少点 3 若用kHZfs3 频率抽样 抽样点数为 512 点 做频谱分析 求 nxDFTkX 512 点 并粗略画出 kX的幅频特性 kX 标出 主要的坐标值 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 30 解答 1 将 txa分解成各频率正弦信号相加 5002cos 2 1 7002cos 2 1 6002cos ttttxa 5 7 可以看出 信号 txa是由频率分别为 500HZ 600HZ 700HZ 的正弦 信号组成 txa的最高频率为 700HZ 根据抽样定理 抽样频率 s f应 该大于等于信号中信号分量最高频率的 2 倍 所以HZfs1400 取 HZfs1400 2 抽样序列为 14 5 2cos 2 1 14 7 2cos 2 1 14 6 2cos 5002cos 2 1 7002cos 2 1 6002cos nnn nTnTnT txnx nTta 5 8 所以 0 2 分别等于 6 14 7 14 5 14 当 k 分别等于 6 7 5 时 N 14 所以 抽样点数 N 14 或者因为原信号的频谱间隔f 100HZ 根据频域抽样定理 要分辨 出所有信号分量 14 f f N s 3 序列的傅里叶变换如图 5 3 所示 程序可以参考 附录程 序三 其频率响应在 500HZ 600HZ 700HZ 有突出响应 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 31 图 5 3512 3 NkHZfs点时的傅里叶变换 最后附录一个 matlab 中傅里叶变换的程序 附录程序四 大 家可以修改其中的时域信号 抽样频率 s f和抽样点数 N 看看不同参数 下傅里叶变换的情况 感谢你的阅读 7 参考文献参考文献 程佩青 数字信号处理 第三版 清华大学出版社 2013 数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义 32 8 附录附录 附录程序一 m 2 t m pi 0 1 m pi yy1 sin t yy2 1 3 sin t 3 yy3 1 5 sin t 5 yy4 1 7 sin t 7 yy5 1 9 sin t 9 yy6 1 11 sin t 11 y1 4 pi yy1 y2 4 pi yy1 yy2 y3 4 pi yy1 yy2 yy3 y4 4 pi yy1 yy2 yy3 yy4 y5 4 pi yy1 yy2 yy3 yy4 yy5 y6 4 pi yy1 yy2 yy3 yy4 yy5 yy6 subplot 3 2 1 plot t y1 xlim m pi m pi title n 1 subplot 3 2 2 plot t y2 xlim m pi m pi title n 3 subplot 3 2 3 plot t y3 xlim m pi m pi ti