辅助圆：优美的别解.doc

辅助圆：优美的别解江苏省溧水县第一初级中学 吕小保2009年河北省中考数学第24题，是一道颇具创意的考题.该题通过旋转、压缩变化，从特殊到一般，由易到难，不仅突出考查了正方形、等腰三角形、直角三角形、中位线定理等几何核心知识和发现问题、研究解决问题的能力，较好地体现了新课程“四基”“两能”目标培养新理念，而且解法多样，特别的是本题有着优美的辅助圆别解.试题：在图1（1）至图1（3）中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图（1），点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图（1）中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图（2），求证：FMH是等腰直角三角形；E（1）AHC(M)DBFG(N)G（2）AHCDEBFNMAHCDE（3）BFGMN图1（3）将图（2）中的CE缩短到图（3）的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）简解：（1）本小问较为容易，故省略；（2）方法1：如图2，连结MB、MD，设FM与AC交于点P图2AHCDEBFGNMPB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD = BC = BF；MBCD，且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM=CDM又FBP=HDC，FBM=MDHFBMMDHFM=MH，且MFB=HMDFMH=FMDHMD=APMMFB=FBP=90图3AHCDEBFGNMFMH是等腰直角三角形 方法2：如图3，连结MB、MD.B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，BC=CD，BM = BC = BA= DM = DC = DE.以点B、D为圆心，BC、DC为半径的B、D都经过点M.而在B、D中，圆心角FBA=90，HDE=90，FMA=45，HME=45FMH=180FMAHME=90AC = CE， CAM=CEM又FAB=HED=45， CAM+FAB =CEM+HED，即FAM=HEM又B与D为等圆，FM = HM.FMH为等腰直角三角形（3）是点评赏析：（1）如何想到构造辅助圆？添加圆的依据又是什么？首先，从问题（证明FMH是等腰直角三角形）入手.要证FMH=90，可转化证明FMA=HME=45其次，从图形来看，要证明度数为45的FMA、HME分别与已知直角FBA 、HDE之间的位置成圆周角与圆心角的位置关系，因此分别构造以B、D为圆心，FMA、HME为圆周角的圆.添加圆的依据主要有：依据1：圆的定义到定点距离等于定长的点的集合是圆.本题中，点A、F、M到点B的距离相等（理由见别解），所以点A、F、M在以点B为圆心，BA为半径的圆上.根据圆周角定理，得FMA=45.同理，点H、M、E在以点D为圆心，CD为半径的圆上，HME=45.依据2：直角三角形外接圆的圆心在其斜边的中点处.如图1（2），ACM与CEM都为直角三角形，所以ACM与CEM外接圆的直径分别为AC、CE，圆心分别为点B、D，且B、D分别经过点F、H.依据3：四点共圆的条件.由AMC=AFC=90、CME=CHE=90，得点A、M、C、F和点C、M、E、H分别共圆，圆心分别为点B、D.简单地说，添加圆有以下4个步骤：一化、二看、三想、四证.其中，“一化”就是要从问题入手，转化问题；“二看”就是要能从题目的已知条件和图形出发，观察未知元素与已知元素之间的位置关系；“三想”就是要能根据位置关系进行联想，猜想其背后隐藏的特有关系；“四证”就是要有根有据，运用几何知识对猜想进行验证.（2）用到圆中哪些知识？除了用到上述圆的定义、直角三角形外接圆的圆心位置或四点共圆的条件之外，还用到圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及推论（等圆中，相等的圆周角所对的弦也相等）.（3）别解有何优美？首先，方法2运用辅助圆，解题思路更清晰、直接，也更好理解，有一种简洁大方之美.从方法1来看，证明FMH=90尤为繁琐，其中经过了诸多的等角代换（有4次之多），这其中所涉及到的转化方向、技巧和观察分析图形的能力要求都比较高，不要说解题了，就是理解起来都比较困难.而构造辅助圆，则把要证明的目标与已知条件之间的距离大为缩短，变为一步之短，直接运用圆周角定理就行（FMA=45，HME=45）.其次，方法2更有一种大气、居高临