高等数学第十章重积分自测题(答案).pdf

第十章 重积分 自测题 答案第十章 重积分 自测题 答案 一 单项选择题 每题2分 22分 1 设 1 D 是正方形域 2 D 是 1 D 的内切圆 3 D 是 1 D 的外接圆 1 D 的中心点在 1 1 记 22 1 22 1 y xyx D Iedxdy 22 2 22 2 y xyx D Iedxdy 22 22 3 3 y xyx D Iedxdy 则 123 I II大小 顺序为 B A 123 III B 213 III C 321 III D 312 III 2 D 2 1 1 22 xyxyx则 dyx D 22 A A 1 2 1dx dyyx x x 2 2 1 1 22 B dy x x 2 2 1 1 1 2 1 22 dxyx C 1 2 1dx dyyx x 2 1 2 1 22 D 1 2 1dx dyyx 1 2 1 22 3 改变 1222 11 1 2 y y dyf x y dxdyf x y dx 的积分次序 则下列结果正确的是 A A 2 1 1 x x dyyxfdx B 2 1 1 x x dyyxfdx C 3 1 1 x x dyyxfdx D 1 3 1 1 x x dyyxfdx 4 已知 D 是正方形域 11 02xy 则 2 D Iyx dxdy 的值为 D A 2 3 B 4 3 C 21 15 D 46 15 5 设 D 2222 0 xyax xyay a 则 D f x y dxdy 可化为 D A cos 2 0sin cos sin a a df rrrdr B sin 4 0 2 cos sin a a df rrrdr C sin 4 00 cos sin a df rrrdr sin 2 cos 4 cos sin a a df rrrdr D sin 4 00 cos sin a df rrrdr cos 2 0 4 cos sin a df rrrdr 6 由不等式 22 yxz 222 1 1xyz 确定 则 dvzyxf D A 2 0 1 22 yx dxdyzyxfdz B 2 0 222 zyx dxdyzyxfdx C 2 0 2 222 zzyx dxdyzyxfdx D 2 1 2 222 zzyx fdxdydz 222 1 0 xyz dzfdxdy 7 为球体 1 222 zyx 则 dvzyx 222 B A dxdydz B dddsin 2 00 1 0 3 C dddsin 2 00 1 0 3 D dddsin 2 0 2 0 1 0 3 8 设 由 22 1zxyz 围成 计算 22 xyz dv 正确的是 C A 因为 22 zxy 故原式 22 11 00 2 22 3 xyz zz dvzdzdxdyz zdz B 原式 222 2 11 22 110 2 xxy x dxdyxyz dz C 原式 2 211 2 00 2 r ddrrz rdz D 因为22 zxy 故原式 2222 xyxydv 2 211 3 00 2 3 r ddrr dz 9 设 是由 2222 xyza 与 222 xyb 0ba 与xoy平 面 所 围 成 的 立 体 则 33 3 xydv 利 用 对 称 性 和 几 何 意 义 原 积 分 3 32dva 三 计算题 每小题 4 分 44 分 2 3 1 2 0 1 x y x x f x dxf xe dy 计算积分其中 1 6e 2222 11 0 2 2 2 2 D x y x xdxdy D xyxyx dxe dy 计算二重积分 1 22 3 1 0 0 D xy dxdyD xyxy 其中 22 4 D xdxdy D xyx 2 1 2 00 5 y x dxedy 1281 1232145 22315e 答案 其中第 5 题 22 2 111 22 000 yy x y dxedydyedx 22222 11111 22 22222 00000 1 yyyyy eydyedyey dyedyyde 222 1 1 11 2222 00 0 yyy edyyeedye 322222 1 1z dxdydzxyzzxy 3 计算三重积分 1 222 2 20 0 0 z xy dxdydzyxxz za ay 其中 由柱面及平面 所围成的区域 22222 22 2 3 1 21 z dvxyzzxy xy 其中 2222 4 0 2 1 1xydxdydzyozzzyz 其中 域是由在平面内 所围成平面域绕z轴旋转而成的空间区域 2222 5 43zdxdydzzxyxyz 其中 与所围成立体 2 8642813 12 3 4 5 15975154 a 答案 四 应用题与证明题 1 题 5 分 2 4 题 每题 3 分 总分 14 分 2222 14zxyzxy 证明 曲面上任一点处的切平面与曲面所 围成立体体积为定值 8 答案 定值 设 22 4zxy 上任一点的坐标为 22 0000 4 xyxy 令 22 4F x y zxyz 则切平面法向量 00 2 2 1 nxy 于是切平面方程为 22 000000 2 2 1 4 0 x xxyyyzxy 或 22 0000 224zx xy yxy 则联立 22 0000 22 224zx xy yxy zxy 可得xoy面上投影曲线 22 00 4xxyy 于是围成部分的体积为 22 00 2222 0000 4 224 x xy y xyx xy yxydxdy 22 2 00 4 8dd 是一定值 证毕 22222 26zxyxyz 求抛物面与球面所围立体的体积及表面积 6 62 249 4 4 6 33 答案 体积 2 表面积 11 0000 3 1 1 xx f x yf x yf y x dxf x y dydxfxy dy 设为连续函数 且求证 证 右边 1 00 1 1 x dxfxy dy 先作换元1yt 则dydt 111 0001 1 1 1 x x dxfxy dydxfx t dt 再作换元1xs 则dxds 11111 00010 1 1 1 x xs dxfxy dydxfx t dtdsf s t dt 交换积分次序得 111 000 s s dsf s t dtdtf s t ds 由已知 f x yf y x 1111 00000 ss s dsf s t dtdtf s t dsdtf t s ds 改变积分变量及得证 0 4 0 0 0 a D f xaf xy dxdyxf x dx Dx yxyxya 设在上连续 证明 其中 证 左边 0000 aa xaa x D