高等数学上_复旦大学出版_习题三答案.pdf

高等数学上 复大版 习题三 63 习题三习题三 1 确定下列函数的单调区间 1 32 26187yxxx 解 所给函数在定义域内连续 可导 且 2 612186 1 3 yxxxx 可得函数的两个驻点 在内 分别取 号 故知函数在 12 1 3xx 1 1 3 3 y 内单调增加 在内单调减少 1 3 1 3 2 8 2 0 yxx x 解 函数有一个间断点在定义域外 在定义域内处处可导 且 则函数有驻点 在0 x 2 8 2y x 2x 部分区间内 在内 0 故知函数在内单调增加 而在内单调减少 0 2 0y 4 3 1 1 yxx 解 函数定义域为 则函数有驻点 在内 2 2 1 21 yxx 1 1 2 xx 1 2 0y 5 e 0 0 nx yxnn 解 函数定义域为 0 11 eee nxnxxn ynxxxnx 函数的驻点为 在上 函数单调增加 在上 函数单调减少 0 xxn 0 n0y n 0y 在上 函数单调减少 1 11 2 18 0y 在内 函数单调增加 2 0y 故函数的单调区间为 1 2 1 11 2 18 11 18 2 证明下列不等式 1 当时 0 2 x 证明 令则 sintan2 f xxxx 2 2 1cos coscos1 cos xxx fx x 当时 为严格单调增加的函数 故 0 2 x 0 0f xf 即sin2tan2 xxx 2 当时 01x 2 esin1 2 x x x 高等数学上 复大版 习题三 65 证明 令 则 2 esin1 2 x x f xx ecos x fxxx 则为严格单调减少的函数 故 即 esin1e sin1 0 xx fxxx fx 0 0fxf f x 为严格单调减少的函数 从而 即 0 0f xf 2 esin1 2 x x x 1x 1 2y 2 32 23yxx 解 令 得驻点 2 66yxx 0y 12 0 1xx 126yx 01 0 0 xx yy 故极大值为 极小值为 0 0y 1 1y 3 32 26187yxxx 解 2 612186 3 1 yxxxx 令 得驻点 0y 12 1 3xx 1212yx 13 0 0 xx yy 故极大值为 极小值为 1 17y 3 47y 4 ln 1 yxx 解 令 得驻点 1 10 1 y x 0y 0 x 故为极大值 2 0 1 0 1 x yy x 0 0y 5 42 2yxx 高等数学上 复大版 习题三 66 解 32 444 1 yxxxx 令 得驻点 0y 123 1 0 1xxx 2 10 124 0 0 xx yxyy 故为极大值 为极小值 1 1y 0 0y 6 1yxx 解 令 得驻点且在定义域内有一不可导点 当时 1 1 2 1 y x 0y 1 3 4 x 1 2 1x 3 4 x 当时 故为极大值点 且极大值为 0y 3 4 x 1 3 4 x 35 44 y 因为函数定义域为 故不是极值点 1x 1x 7 2 13 45 x y x 解 令 得驻点 23 125 45 x y x 0y 12 5 x 当时 当 故极大值为 12 5 x 0y 12 5 x 121 205 510 y 8 2 2 344 1 xx y xx 解 2 1 3 1 x y xx 22 2 1 x x y xx 令 得驻点 0y 12 2 0 xx 22 23 22 1 2 21 2 1 xxxxxx y xx 20 0 0 xx yy 故极大值为 极小值为 0 4y 8 2 3 y 9 e cos x yx 解 e cossin x yxx 令 得驻点 0y 0 1 2 4 k xkk 高等数学上 复大版 习题三 67 2e sin x yx 2 21 44 0 0 xkxk yy 故为极大值点 其对应的极大值为 2 2 4 k xk 2 4 2 2 e 2 k k y x 为极小值点 对应的极小值为 21 21 4 k xk 21 4 21 2 e 2 k k y x 10 1 x yx 解 11 2 11ln ln xx x yxxx xx 令 得驻点 0y ex 当时 当时 ex 0y ex 故极大值为 1 e e ey 11 2ee xx y 解 令 得驻点 2ee xx y 0y ln2 2 x ln2 2 2ee 0 xx x yy 故极小值为 ln2 2 2 2 y 12 2 3 2 1 yx 解 无驻点 y的定义域为 且y在x 1 处不可导 当x 1 时 当x 1时 3 21 31 y x 0y 1 2y 13 1 3 32 1 yx 解 无驻点 y在处不可导 但恒小于 0 故y无极值 2 3 21 3 1 y x 1x y 14 tanyxx 解 y为严格单调增加函数 无极值点 2 1sec0yx 5 试证明 如果函数满足条件 那么这函数没有极值 32 yaxbxcxd 2 30bac 证明 令 得方程 2 32yaxbxc 0y 2 320axbxc 高等数学上 复大版 习题三 68 由于 那么无实数根 不满足必要条件 从而y无极值 22 2 4 3 4 3 0ba cbac 0y 6 试问a为何值时 函数在处取得极值 它是极大值还是极小值 并求此极 1 sinsin3 3 f xaxx 3 x 值 解 f x 为可导函数 故在处取得极值 必有 3 x 得a 2 3 0 coscos3 3 x faxx 又 3 30 2sin3sin3 3 x fxx 所以是极大值点 极大值为 3 x 3 3 f 7 求下列函数的最大值 最小值 2 54 1 0 f xxx x 解 y的定义域为 得唯一驻点x 3 0 3 2 2 27 0 x y x 且当时 y单调递减 当时 y单调递增 3 x 0y 因此x 3 为y的最小值点 最小值为f 3 27 又 故f x 无最大值 lim x f x 2 1 5 1 f xxxx 解 在上得唯一驻点 1 10 2 1 y x 5 1 3 4 x 又 53 1 1 5 65 44 yyy 故函数在 5 1 上的最大值为 最小值为 f x 5 4 65 42 3 82 13yxxx 解 函数在 1 3 中仅有两个驻点x 0 及x 2 而y 1 5 y 0 2 y 2 14 y 3 11 故在 1 3 上 函数的最大值是 11 最小值为 14 8 设a为非零常数 b为正常数 求y ax2 bx在以 0 和为端点的闭区间上的最大值和最小值 b a 解 得不可能属于以 0 和为端点的闭区间上 20yaxb 2 b x a b a 高等数学上 复大版 习题三 69 而 2 2 0 0 bb yy aa 故当a 0 时 函数的最大值为 最小值为 2 2bb y aa 0 0y 当a 1000 0y 0 试证 的最大值为 11 11 f x xxa 2 1 a a 证明 11 0 11 11 0 11 11 11 x xxa f xxa xxa xa xxa 当x 当 0 xa时 22 11 0 11 fx xxa 又 且 lim 0 x f x 2 0 1 a ff a a 而的最大值只可能在驻点 分界点 及无穷远点处取得 f x 故 max 242 0 121 aa f x aaa 11 在半径为r的球中内接一正圆柱体 使其体积为最大 求此圆柱体的高 解 设圆柱体的高为h 则圆柱体底圆半径为 2 2 4 h r 2 2 23 2 4 4 h Vhr hh r 令 得0V 2 3 3 hr 即圆柱体的高为时 其体积为最大 2 3 3 r 12 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状 如 12 题图所示 设截面积为am2 问底宽x为多少时 才能使所用建造材料最省 解 由题设知 2 1 22 x xya 得 2 1 1 8 8 ax a yx xx 截面的周长 2 12112 2 2424 2 1 4 aa l xxyxxxxxx xx a l x x 令得唯一驻点 即为最小值点 0l x 8 4 a x 即当时 建造材料最省 8 4 a x 13 甲 乙两用户共用一台变压器 如 13 题图所示 问变压器设在输电干线 AB 的何处时 所需电线最短 解 所需电线为 高等数学上 复大版 习题三 71 222 22 22 11 5 3 03 2 25 3 3 1 1 2 25 3 L xxxx xxxx L x xx 在 0 x 3 得唯一驻点x 1 2 km 即变压器设在输电干线离 A 处 1 2km 时 所需电线最短 14 在边长为a的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形 将四边上折焊成一个无盖方盒 问截去 的小正方形边长为多大时 方盒的容积最大 解解 设小正方形边长为x时方盒的容积最大 2322 22 2 44 128 Vaxxxaxa x Vxaxa 令得驻点 不合题意 舍去 0V 2 a x 6 a x 即小正方形边长为时方盒容积最大 6 a 15 判定下列曲线的凹凸性 1 y 4x x2 解 故知曲线在内的图形是凸的 42 20yx y 0 x 0y 解 故曲线图形在是凹的 23 12 1 0yy xx 0 4 y xarctanx 解 2 arctan 1 x yx x 22 2 0 1 y x 故曲线图形在内是凹的 16 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 32 1 535yxxx 高等数学上 复大版 习题三 72 解 2 3103yxx 令可得 610yx 0y 5 3 x 当时 故曲线在内是凸弧 5 3 x 0y 0y 5 3 因此是曲线的唯一拐点 5 20 3 27 2 y xe x 解 1 e e 2 xx yxyx 令 得x 20y 当x 2 时 即曲线在内是凹的 0y 2 当x 2 时 即曲线在内是凸的 0y 故函数的图形在内是凹的 没有拐点 4 y ln x2 1 解 2 222 22 1 1 1 xx yy xx 令得x 1 或x 1 0y 当 1 x 当x 1 或x 1 时 即在内曲线是凸的 0y 0y 1 2 当时 即曲线在内是凹的 1 2 x 1 2 故有唯一拐点 1 arctan 2 1 e 2 6 y x4 12lnx 7 解 函数y的定义域为 0 且在定义域内二阶可导 32 4 12ln4 144ln yxxyxx 令 在 0 得x 1 0y 当x 1 时 即曲线在内是凹的 0y 1 当 0 x 1 时 即曲线在 0 1 内是凸的 0y 证明 令 n f xx 12 1 0 nn fxnxfxn nx 则曲线y f x 是凹的 因此 x yR 22 f xf yxy f 即 1 22 n nn xy xy 证明 令f x ex e e0 xx fxfx 则曲线y f x 是凹的 x yRxy 则 22 f xf yxy f 高等数学上 复大版 习题三 74 即 2 ee e 2 xyxy 证明 令f x xlnx x 0 1 ln1 0 0 fxxfxx x 则曲线是凹的 x y 有 yf x x yR 22 f xf yxy f 即 1 ln lnln 222 xyxy xxyy 18 求下列曲线的拐点 23 1 3 xtytt 解 222 23 d33d3 1 d2d4 ytyt xtxt 令 得t 1 或t 1 2 2 d 0 d y x 则x 1 y 4 或x 1 y 4 当t 1 或t 当 0 t 1 或 1 t 0 时 曲线是凸的 2 2 d 0 d y x 0 不失一般性 当时 即时 3tan3 33 高等数学上 复大版 习题三 75 当或时 即或时 tan3 tan3 3 2 2 d 0 d y x 故当参数或时 都是y的拐点 且拐点为及 3 3 2 33 32 aa 2 33 32 aa 19 试证明 曲线有三个拐点位于同一直线上 2 1 1 x y x 证明 2 22 21 1 xx y x 23 2 1 23 23 1 xxx y x 令 得0y 1 23 23xxx 当时 1 x 0y 当时 23 23 x 0y 因此 曲线有三个拐点 1 1 1313 23 23 44 因为 0 111 13 123 4 13 123 4 因此三个拐点在一条直线上 20 问a b为何值时 点 1 3 为曲线y ax3 bx2的拐点 解 y 3ax2 2bx y 6ax 2b 依题意有 3 620 ab ab 解得 39 22 ab 21 试决定曲线y ax3 bx2 cx d中的a b c d 使得x 2 处曲线有水平切线 1 10 为拐点 且点 2 44 在曲线上 解 令f x ax3 bx2 cx d 联立f 2 44 f 2 0 f 1 10 f 1 0 高等数学上 复大版 习题三 76 可解得a 1 b 3 c 24 d 16 22 试决定中的k的值 使曲线的拐点处的法线通过原点 22 3 yk x 解 22 4 3 12 1 ykx xyk x 令 解得x 1 代入原曲线方程得y 4k 0y 只要k 0 可验证 1 4k 1 4k 是曲线的拐点 那么拐点处的法线斜率等于 法线方程为 1 8 x ky 1 8k 1 8 yx k 由于 1 4k 1 4k 在此法线上 因此 得 舍去 1 4 8 k k 22 321 321kk 故 12 832 k 23 设y f x 在x x0的某邻域内具有三阶连续导数 如果 而 试问x x0 00 0 0fxfx 0 0fx 是否为极值点 为什么 又是否为拐点 为什么 00 xf x 答 因 且 则x x0不 是 极 值 点 又 在中 00 0fxfx 0 0fx 0 U x 故在左侧 与异号 在右侧 与 000 fxfxxxfxxf fx 0 x 0 fx 0 x 同号 故在x x0左 右两侧凹凸性不同 即是拐点 0 fx f x 00 xf x 24 作出下列函数的图形 2 1 1 x f x x 解 函数的定义域为 且为奇函数 222 2222 2 23 121 1 1 2 3 1 xxx y xx x x y x 令 可得 0y 1x 令 得x 0 0y 3 列表讨论如下 当x 时 y 0 故y 0 是一条水平渐近线 x0 0 1 1 1 3 3 3 y 0 y 0 0 y0极大拐点 高等数学上 复大版 习题三 77 函数有极大值 极小值 有 3 个拐点 分别为 0 0 1 1 2 f 1 1 2 f 3 3 4 作图如上所示 3 3 4 2 f x x 2arctanx 解 函数定义域为 且为奇函数 2 22 2 1 1 4 1 y x x y x 令y 0 可得x 1 令y 0 可得x 0 列表讨论如下 又 2 limlim 1arctan 1 xx f x x xx 且lim lim 2arctan xx f xxx 故是斜 渐近 线 由对称 性知亦是 渐近 线 函数 有极 小值 极 大值 yx yx 1 1 2 y 0 0 为拐点 作图如上所示 1 1 2 y 2 3 1 x f x x 解 函数的定义域为 1xR x 2 22 3 2 1 2 1 1 1 2 1 xxxx x yx xx y x 令得x 0 x 20y 当时 单调增加 2 x 0 yf x 当时 单调减少 2 1 x 0 yf x x0 0 1 1 1 y 0 y 0 y0极小 高等数学上 复大版 习题三 78 当时 单调减少 1 0 x 0 yf x 故函数有极大值f 2 4 有极小值f 0 0 又 故x 1 为无穷型间断点且为铅直渐近线 2 11 lim lim 1 xx x f x x 又因 且 lim1 x f x x 2 lim lim1 1 xx x f xx x x 故曲线另有一斜渐近线y x 1 综上所述 曲线图形为 4 2 1 e x y 解 函数定义域为 2 2 1 1 2 2 1 e e2 241 x x yx yxx 令 得x 1 0y 令 得 0y 2 1 2 x 当时 函数单调增加 1 x 0 y 当时 函数单调减少 1 x 0 y 当时 曲线是凸的 22 1 1 22 x 0y 高等数学上 复大版 习题三 79 故函数有极大值f 1 1 两个拐点 11 22 22 1 e 1 e 22 AB 又 故曲线有水平渐近线y 0 lim 0 x f x 图形如下 25 逻辑斯谛 Logistic 曲线族 0 1e cx A yxA B C B 建立了动物的生长模型 1 画出B 1 时的曲线的图像 参数A的意义是什么 设x表示时间 y表示某种动物数量 1e cx A g x 解 g x 在 内单调增加 2 e 0 1e cx cx Ac g x 2222 44 ee2 1e ee 1e 1e 1e cxcxcxcxcxcx cxcx AcAcAc gx 当x 0 时 在 0 内是凸的 0 gxg x 当x 当x 0 时 2 A g x 且 故曲线有两条渐近线y 0 y A 且A为该种动物数量 在特定环境中 最大值 lim 0 lim xx g xg xA 即承载容量 如图 2 计算g x g x 并说明该和的意义 解 1e1e cxcx AA gxg xA 3 证明 曲线是对g x 的图像所作的平移 1e cx A y B 高等数学上 复大版 习题三 80 证明 1e1ee c x TcxcT AA y BB 取 得e1 cT B lnB T c 即曲线是对g x 的图像沿水平方向作了个单位的平移 1e cx A y B lnB T c 26 球的半径以速率v改变 球的体积与表面积以怎样的速率改变 解 32 4d 3d r VrArv t 2 ddd 4 ddd ddd 8 ddd VVr rv trt AAr r v trt 27 一点沿对数螺线运动 它的极径以角速度旋转 试求极径变化率 ear 解 ddd ee ddd aa rr aa tt 28 一点沿曲线运动 它的极径以角速度旋转 求这动点的横坐标与纵坐标的变化率 2 cosra 解 2 2 cos 2 cossinsin2 xa yaa ddd 22cos sin 2sin2 ddd ddd 2 cos22cos ddd xx aa tt yy aa tt 29 椭圆上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同 22 169400 xy 解 方程两边同时对t求导 得 22 169400 xy dd 32180 dd xy xy tt 由 得 dd dd xy tt 16 1832 9 yxyx 代入椭圆方程得 2 9x 16 3 3 xy 即所求点为 1616 3 3 33 30 一个水槽长 12m 横截面是等边三角形 其边长为 2m 水以 3m3 min 1的速度注入水槽内 当水深 0 5m 时 水面高度上升多快 解 当水深为h时 横截面为 高等数学上 复大版 习题三 81 2 1 2 233 hh sh 体积为 2 22 12 124 3 33 h Vshhh dd 4 3 2 dd Vh h tt 当h 0 5m 时 31 d 3mmin d V t 故有 d 34 3 2 0 5 d h t 得 m min 1 d3 d4 h t 31 某人走过一桥的速度为 4km h 1 同时一船在此人底下以 8 km h 1的速度划过 此桥比船高 200m 求 3min 后 人与船相离的速度 解 设t小时后 人与船相距s公里 则 2222 2 4 8 0 2 800 04 d80 d 800 04 sttt st t t 且 km h 1 1 20 20d 8 16 d6 t s t 32 一动点沿抛物线y x2运动 它沿x轴方向的分速度为 3 cm s 1 求动点在点 2 4 时 沿y轴的分速度 解 ddd 236 ddd yyx xx txt 当x 2 时 cm s 1 d 6 212 d y t 33 设一路灯高 4 m 一人高m 若人以 56 m min 1的等速沿直线离开灯柱 证明 人影的长度以常速增 5 3 长 证明 如图 设在t时刻 人影的长度为ym 则 5 3 456 y yt 化简得 m min 1 d 7280 40 40 d y ytyt t 即人影的长度的增长率为常值 34 计算抛物线y 4x x2在它的顶点处的曲率 解 y x 2 2 4 故抛物线顶点为 2 4 当x 2 时 0 2yy 高等数学上 复大版 习题三 82 故 23 2 2 1 y k y 35 计算曲线y cos