第十三章勒让德多项式 球函数.doc

第十三章 勒让德多项式 球函数（13）一、内容摘要1幂级数解法：就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数。不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程的级数解： 如果函数和在点的领域中解析，则称为方程的常点，如果是函数或的奇点，则称为方程的奇点。定理: 如果函数和在点的邻域中解析, 则常微分方程在圆内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为Taylor级数形式： 。2勒让德方程的级数解:（1）时的连带Legendre方程称为Legendre方程由幂级数解法可得的系数的递推公式： 这样 阶 Legendre 方程的级数解是： 可以判断阶 Legendre 方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在处发散。由递推公式易知，当时，和必定有一个成为次多项式。这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。Legendre方程和解在有界要求分离变过量过程中引入的常数为零或正整数。通常把解在有界说成是Legendre方程的自然边界条件。这样，Legendre方程和自然边界条件构成本征值问题。本征值是，本征函数是阶Legendre多项式。（2）球函数方程 ，对球函数进一步分离变量，并考虑到自然边界条件的要求，得到如下分离变量形式的球函数： 其中关于部分的函数是连带Legendre方程的解。取，这时球函数只和有关，是一个轴对称的函数；同时满足的方程变为Legendre方程： 我们把阶Legendre多项式记作: 。它既是阶Legendre 方程的解, 也是时的球函数。阶Legendre多项式中系数之间的递推公式为: 。我们可得阶Legendre多项式如下： 其中表示不超过的最大整数。（3）Legendre 多项式的微分与积分表示： 分数形式： 这一关系又称作Rodrigues公式 积分形式： 这一积分被称为Schlfli积分。（4）Legendre 多项式的生成函数母函数 令, 则上式表明: Legendre多项式正是把关于函数在附近展开为泰勒级数的展开系数；类似地，如果把关于的函数以Legendre多项式为基展开，则展开系数就是相应的的幂函数。因此我们把这个函数叫做Legendre多项式的母函数或生成函数。（5）递推公式： （6）Legendre 多项式的正交关系可以证明不同阶的Legendre 多项式相互正交： 其中称作函数的模, 定义为:模的倒数称为归一化因子。（6）函数用Legendre多项式展开 展开定理: 设函数在区间上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数,则可以在该区间上展开成绝对且一致收敛的级数:其中3连带Legendre函数（1）连带Legendre方程为： 作变换：，代入方程并整理可得： 可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导次得到.Legendre方程的解为： 称为连带Legendre函数。（2）连带Legendre 函数的微分与积分表示 微分形式： 积分形式： （3）连带Legendre 函数的模与正交关系正交性：；模：二、习题1填空题（1）_；_(写成递推形式)()2求下列积分。（1），其中（2） （3） 3将下列式子按勒让德多项式展开。（1） （2）（3），4（1） 将函数在区间上用Legendre多项式展开成广义Fourier级数。 （2）将在区间展成广义Fourier级数。5证明 6设有一球心在原点半径为的球形导热体，内部无热源，球面温度为，求经过充分长时间后导体内的温度分布。7求下列方程的幂级数解： （1） （2） 三、参考答案1填空题（1）（2）2解：（1）注意到被积函数中三个勒让德多项式次数的关系，我们只需将被积函数看成是 次多多项式与 次勒让德多项式的乘积，考虑到，因此：其中 为的最高次幂的系数，在计算上面的积分时还用到 综合以上结果，即得： （2）由被积函数的奇偶性可以判断，当 为奇数时积分一定为0，故下面只需要讨论 为偶数的情形。再因为和 的 任意性，不妨假定，因此， 因为是 次多项式，次数低于 ，因此积分。在代入勒让德多项式的特殊值，同时在勒让德方程中令又可以得到，并注意到为偶数，因此最后就得到： ，=偶数，且。（3）由Rodrigues公式得 ，由得：对积分作变量代换得3解：（1）因为，可以根据勒让德方程计算出次积分：但当时需要另行计算，综合以上结果，并考虑到，即得：（2）通过作变换，也可以推得：所以： （3） 根据定理可得 ，其中对积分作变量代换 ，并利用的奇偶性得 而当为偶数时有 （1）上面积分总是可以求出的，譬如当 时，故有从而有展开式 其中系数由（1）给出。4解：（1）的广义Fourier展式为且展开系数可以计算如下：根据Legendre多项式的正交性质，易知且计算可得（2）由定理得 .由Fourier系数计算公式及勒让德多项式的正交性可得 又由于是奇函数，故有.故有 （1）计算得 在（1）中取得 ，由此得 . 最后将上面所得系数代入到（1）中便得.5证明：在中取并将该等式左边展成Taylor级数得比较上式等号两边的系数可知 直接计算可得问题得证. 6解 ：由于导热体内部无热源，球面温度与时间无关，所以经过充分长的时间后导体内的温度将趋于稳态，即温度不随时间变化. 设导体内温度为，则满足如下定解问题 由于边界温度与无关且有界，可推知导体内温度有界且与也无关，即球体内任一圆：上的温度相同. 设，利用球面坐标变换可得满足如下定解问题 （1）其中 . 利用分离变量法求解该问题，令并代入到（1）中的方程可得此既， （2）. （3）对（3）方程两边乘并利用的有界性可得由定理知 特征值为，特征函数为.下面求解，将代入到（2）中得，该方程为欧拉方程，作变量代换 将该方程转化为常系数微分方程后易得其通解为 ，利用的有界性可得 ，即利用叠加原理就得到（1）的解为，其中系数由（1）中的边界条件来确定. 在上式中令得，易得 最后就得到（1）的解为7解：（1）此题中，它们都是R上解析函数. 根据幂级数解法，可设解为 . 将该级数求一阶和二阶导数并将和代入到原方程中得，或，令上式中系数为零可得 ，此即 . （1）由（1）易得 .将上面的结果代入到 得其中表示的半阶乘，其值为小于或等于的一切偶正整数之乘积，而值为小于或等于的一切奇正整数之乘积, 为任意常数. 由