高等数学公式大全.pdf

张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 1 高等数学宝典 上篇 公式大全 含微分方程 复变函数 高等数学宝典 上篇 公式大全 含微分方程 复变函数 一 初等数学 一 初等数学 1 三角函数 1 相互联系 1cossin 22 xx sec1tan 22 xx csc1cot 22 xx 1cscsin xx 1seccos xx 1cottan xx tan cos sin x x x cot sin cos x x x 奇变偶不变 符号看象限 3 1 0 4 2 0 2 ncof nf n f 其中 号由角 2 n 所处的象限确定 2 和角公式 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan1 tantan tan 3 积化和差 sin sin 2 1 cossin cos cos 2 1 coscos cos cos 2 1 sinsin 4 和差化积 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos 5 降幂公式 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 6 半角公式 1 cos sin 22 1cos cos 22 1 cos1 cossin tan 21cossin1 cos 1 cos1cossin cot 21 cossin1 cos 2 复数 1 代数表示 z a bi 2 三角表示 z r cos i sin 其中 r a bi 22 ab a rcos b rsin 3 指数表示 a bi rei 欧拉公式 ei cos i sin 3 一些常见的曲线 1 圆 222 ayx 的参数方程为 sin cos ay ax 极坐标方程为 a 0 2 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 2 2 圆 222 aayx 的参数方程为 sin cos taay tax t 0 2 极坐标方程为 2asin 0 3 圆 222 ayax 的参数方程为 sin cos tay taax t 0 2 极坐标方程为 2acos 2 2 4 圆 222 ayax 的参数方程为 sin cos tay taax t 0 2 极坐标方程为 2acos 2 3 2 5 圆 222 aayx 的参数方程为 sin cos taay tax t 0 2 极坐标方程为 2asin 2 6 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程为 sin cos tby tax t 0 2 7 空间螺线 sin cos btz tay tax t R 8 笛卡儿叶线 x3 y3 3axy 的参数方程为 3 2 3 1 3 1 3 t at y t at x 9 星形线 x2 3 y2 3 a2 3的参数方程为 3 3 sin cos ay ax 10 摆线 圆滚线 2 2 1arcsin yay a y ax 的参数方程为 cos1 sin tay ttax 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 3 11 心形线 2222 xyxayx 的极坐标方程为 a 1 cos 12 心形线 2222 xyxayx 的极坐标方程为 a 1 cos 13 双纽线 x2 y2 2 a2 x2 y2 的极坐标方程为 2 a2cos2 14 双纽线 x2 y2 2 2a2xy 的极坐标方程为 2 a2sin2 15 阿基米德螺线 x y ayxarctan 22 的极坐标方程为 a 16 不经过原点的直线 ax by c 0 a2 b2 0 a cos b sin c 0 sincos ba c 例如 x a a 0 2 2 cos a x a a 0 0 sin a y a a 0 4 3 4 sincos a 二 极限 二 极限 1 q 1 n n q lim 0 2 n n n lim 1 3 设数列 an 与 bn 都收敛 aan n lim bbn n lim 则 n n n n nn n baba limlim lim a b lim lim lim n n n n nn n baba ab n n n n n n nb a b a lim lim lim b a b 0 4 设 xn m m l l nbnbb nanaa 10 10 其中 al 0 bm 0 l m 则 n limxn 1 6 n n n 1 1lim e 7 设 lim 0 xf xx A lim 0 xg xx B 则 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx A B 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 4 lim lim lim 0 xgxfxgxf nnxx AB lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx B A B 0 8 设 y f u 与 u g x 的复合函数 f g x 在 x0的某去心邻域 0 xN 内有定义 若 lim 0 xg xx u0 lim 0 uf uu A 且 x 0 xN 有 g x u0 其中 x0 u0为有限值 则复合函数 f g x 当 x x0时也有极限 且 lim 0 xgf xx lim 0 uf uu A 9 x x x sin lim 0 1 x x x 1 1lim e 10 常用的等价无穷小 sin x tan x arcsin x arctan x x x 0 1 cos x 2 2 1 x x 0 ln 1 x x x 0 ex 1 x x 0 n x 1 1 n x x 0 1 x 1 x x 0 三 导数与微分 三 导数与微分 1 导数定义 0 000 00 0 lim limlim 0 xx xfxf x xfxxf x y xf xxxx 2 函数四则运算的求导法则 xvxuxvxu xvxuxvxuxvxu 2 xv xvxuxvxu xv xu 3 反函数的求导法则 设定义在区间 I 上的严格单调连续函数 x f y 在点 y 处可导 且0 yf 则其反函数 y f 1 x 在 对应的点 x 处可导 且 1 1 yf xf 即 y x x y d d 1 d d 4 复合函数的求导法则 设函数 xu 在点 x 处可导 函数 y f u 在对应的点 xu 处可导 则复合函数 xfy 在点 x 处可导 且 d d xuf x y 即 x u u y x y d d d d d d 5 设函数 y f x 由参数方程 ty tx 确定 tx ty 在区间 上可导 函数 tx 具有连续的严格单调的反函数 1 xt 且 0 t 则 1 xty 函数 y f x 的导函数 由参数方程 tx ty y tx 确定 6 基本求导公式 1 x x 1 2 ax axlna 3 ex ex 4 logax 1 lnxa 5 lnx 1 x 6 sinx cosx 7 cosx sinx 8 tanx sec2x 9 cotx csc2x 10 secx secx tanx 11 cscx cscx cotx 12 arcsinx 2 1 1x 13 arccosx 2 1 1x 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 5 14 arctanx 2 1 1x 15 arccotx 2 1 1x 7 一些简单函数的高阶导数 n k 为正整数 1 0 内满足下列条件 1 0 lim lim 00 xgxf xxxx 2 f g 在 x0 x0 内可导 且 0 x g 3 A xg xf xx lim 0 A 为有限数或 则 lim lim 00 A xg xf xg xf xxxx 设函数 f x 在区间 x0 x0 0 内满足下列条件 1 lim lim 00 xgxf xxxx 2 f g 在 x0 x0 内可导 且 0 x g 3 A xg xf xx lim 0 A 为有限数或 则 lim lim 00 A xg xf xg xf xxxx 不可用洛必达法则的情形 1 2 1 lim 1 x x x 2 x xx x sin lim 3 xx xx x ee ee lim 事实上 2 1 lim 1 x x x 3 2 x xx x sin lim sin 1 lim x x x 1 xx xx x ee ee lim x x x e e 2 2 1 1 lim 1 14 带皮亚诺余项的泰勒公式 设函数 f x 在 x0处 n 阶可导 则 f x k n k k xx k xf 0 0 0 o x x0 n 15 几个初等函数的麦克劳林公式 1 ex 1 x 2 1 x2 6 1 x3 1 n xn o xn 2 sinx x 3 1 x3 5 1 x5 1 n 12 1 n x2n 1 o x2n 1 3 cosx 1 2 1 x2 4 1 x4 1 n 2 1 n x2n o x2n 4 ln 1 x x 2 1 x2 3 1 x3 1 n 1 n 1 xn o xn 5 1 x n x n n xx 1 1 2 1 1 2 o xn 6 sin2x 2 2cos1x n n n x n xxx 2 242 2 o 2 2 1 4 2 2 2 1 2 1 2 1 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 7 o 12 2 1 3 22 1 1 4 2nn n n xx nn x x 7 cos2x 1 sin2x 1 o 12 2 1 3 22 14 2nn n n xx nn x x 16 带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数 n ba Cxf 且 1 n ba Cxf 则 0 baxx 有 f x k n k k xx k xf 0 0 0 1 0 1 1 n n xx n f 其中 介于 x 与 x0之间 17 几个初等函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式 1 ex 1 x 2 1 x2 6 1 x3 1 n xn 1 1 n x x n e x R 0 1 2 sinx x 3 1 x3 5 1 x5 1 n 1 12 1 n x2n 1 12 12 cos 1 nn x n x x R 0 1 3 cosx 1 2 1 x2 4 1 x4 1 n 2 1 n x2n 221 22 cos 1 nn x n x x R 0 1 4 ln 1 x x 2 1 x2 3 1 x3 1 n 1 n 1 xn 1 1 1 1 1 n nn xn x x R 0 1 5 1 x n x n n xx 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 nn xx n n x R 0 0 t 0 2 令 x asect 则 22 xa atanx dx asecttantdt 其中 a 0 t 0 2 令 x atant 则 22 xa asecx dx a sec2xdt 其中 a 0 t 0 2 7 分部积分法 1 不定积分的分部积分法 u x dv x u x v x v x du x 2 分部积分法中 u x v x 的常见选取方法 P x sinxdx P x d cosx P x cosxdx P x d sinx P x exdx P x d ex P x lnxdx lnxd P x dx eaxcos bx dx a 1 cos bx d eax b 1 eax d sin bx eaxsin bx dx a 1 sin bx d eax b 1 eax d cos bx 3 定积分的分部积分法 b a xxvxud b a xvxu d d b a b a xuxvxvxu 8 平面曲线的弧长 1 在直角坐标系中 y f x x a b 其中 C 1 ba xf 取 ds d d 22 yx 则 s ds o x x 0 于是 d 1 2 b a xys 2 参数方程 ty tx t 其中 C 1 tt 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 10 ds 22 d d yx 22 d ttt 于是 d 22 ttts 3 极坐标系中 则 sin cos y x d 22 s 9 空间曲线的弧长 设空间曲线 L 的参数方程为 xx t yy t zz t t 其中 1 C x ty tz t 则 ds 222 d d d xyz 222 d x ty ty tt 于是 L 的长度为 222 d sx ty ty tt 10 平面图形的面积 1 直角坐标系中 y f x 与 y g x 以及 x a x b 所围成的图形的面积 其中 f x g x d b a xxgxfA x y 与 x y 以及 y c y d 所围成的图形的面积 其中 y y d d c yyyA 2 极坐标系中 a d 2 1 d 2 A d 2 1 2 A 11 空间立体的体积 1 平行截面面积 A x 已知的立体 a x b dV A x dx d b a xxAV 2 旋转体的体积 y f x x a b 绕 x 轴旋转一周 其中 f x 0 A x f 2 x 故 d 2 b a xxfV x g y y c d 绕 y 轴旋转一周 其中 g y 0 A y g2 y 故 d 2 d c yygV 五 微分方程 五 微分方程 1 一阶可分离变量的微分方程 d d ygxf x y 其中 f x g y 连续 d d ygxf x y xxf yg y d d xxf yg y d d CxFyG 其中 g y 0 1 yg yG F x f x C 为任意常数 2 一阶线性微分方程 d d xqyxp x y 其中 p x q x 连续 1 对于 0 d d yxp x y 分离变量得 d d xxp y y xxp Cey d C 为任意常数 2 对于 d d xqyxp x y xxp exCy d 得 d d d Cxexqey xxpxxp 3 可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程 1 齐次方程 d d yxf x y 其中 f tx ty f x y 0 t 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 11 将原方程化为 d d x y x y 令 x y u 得 uxy 从而 d d d d x u xu x y 代入原方程并整理得 d d uu x u x 分离变量 得 d d x x uu u 两边积分 以 x y 代替 u 2 伯努里方程 d d yxqyxp x y 其中 1 0 两边同除以 y得 d d 1 xqyxp x y y 令 1 yz 则 d d 1 d d x y y x z 原方程化为 1 1 d d xqzxp x z 解上述关于 z 的一阶线性非齐次微分方程 以 1 y代替 z 4 可降阶的高阶微分方程 1 xfy n 型 2 不显含未知函数 y 的方程 yxfy 令 zy 则 d d zxf x z 若解之得 1 Cxz 则 d 21 CxCxy 3 不显含自变量 x 的方程 yyfy 改取 y 为自变量 令 yzyz 则 d d d d d d d d y z z x y y z x z y 于是原方程化为 d d zyf y z z 这是关于 z y 的一阶微分方程 若解之得 1 Cyz 即 d d 1 Cy x y 则 d 2 1 C Cy y x 5 设 a1 x a2 x f x CI 则 x I 及任给的初始条件 y x0 y0 y x0 y1 初值问题 1000 21 yxyyxy xfyxayxay 存在定义于区间 I 上的唯一解 y y x 6 设 y1 x y2 x 是线性齐次方程 y a1 x y a2 x y 0 的两个解 12 12 y xyx W x y xyx 则 1 y1 x y2 x 在区间 I 上线性相关 x0 I 使它们的 Wronski 行列式 W x0 0 2 y1 x y2 x 在区间 I 上线性无关 x I 它们的 Wronski 行列式 W x 0 7 线性齐次方程 y a1 x y a2 x y 0 必存在两个线性无关的解 8 设 y1 x y2 x 是线性齐次方程 y a1 x y a2 x y 0 的两个线性无关的解 则该线性齐次方程的解集 S 是 y1 x y2 x 生成的一个二维线性空间 112212 yc yc yc c 为任意常数 9 设 y x 是二阶线性非齐次方程 y a1 x y a2 x y f x 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 12 的一个特解 y1 x y2 x 是对应的齐次方程 y a1 x y a2 x y 0 的两个线性无关的解 则 y c1y1 x c2y2 x y x 为非齐次方程 的通解 10 设 xyi是方程 y a1 x y a2 x y fi x i 1 2 n 的特解 则 1 xyxy n 是方程 y a1 x y a2 x y f1 x fn x 的特解 11 二阶线性常系数齐次方程的解法 1 特征方程 ar2 br c 0 有两个相异实根 r1 r2 则通解 21 21 xrxr ececy 2 特征方程有两个相等实根 r1 r2 r 则通解 21 rx exccy 3 特征方程有一对共轭复根 r i 则通解 sincos 21 xcxcey x 12 二阶线性常系数非齐次方程的解法 1 待定系数法求 ay by cy f x a 0 b c 为常数 的特解 f x Pn x e x 若 不是 ar2 br c 0 的根 则令 y b0 xn b1xn 1 bn 1x bn e x 若 是 ar2 br c 0 的单根 则令 y x b0 xn b1xn 1 bn 1x bn e x 若 是 ar2 br c 0 的重根 则令 y x2 b0 xn b1xn 1 bn 1x bn e x 再代入原方程 通过比较系数确定 b0 b1 bn f x Pn x e xcos x 或 f x Pn x e xsin x 先求 ay by cy Pn x e x cos x isin x Pn x e i x的特解 Y 则原方程的特解互取为 xexPxfY xexPxfY y x n x n sin Im cos Re 2 常数变易法 13 n 阶 Euler 方程 a0 xny n a1x n 1y n 1 an 1xy any f x 其中 a0 a1 an为常数 14 二阶 Euler 方程的解法 令 x et 则 ax2y bxy cy f x 化为 d d d d 2 2 t efcy t y ab t y a 这是一个线性常系数微分方程 求出其通解后将 t 换为 lnx 即得原方程的解 六 多元函数微分学 六 多元函数微分学 1 偏导数定义 00 xy z x zx x0 y0 fx x0 y0 x yxfyxxf x lim 0000 0 00 xy z y zy x0 y0 fy x0 y0 y yxfyyxf y lim 0000 0 2 2 2 2 yxf x f x z x z x xx 22 yxf yx f yx z x z y xy 22 yxf xy f xy z y z x yx 2 2 2 2 yxf y f y z y z y yy 2 可微的必要条件 若函数 f x y 在点 M0 x0 y0 处可微 则 f x y 在点 M0 x0 y0 处连续 f x y 在点 M0 x0 y0 处存在偏导数 且 d d d 0000 00 yyxfxyxfz yx yx 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 13 3 全微分的运算法则 d f x y g x y df x y dg x y d f x y g x y g x y df x y f x y dg x y d d d 2 yxg yxgyxfyxfyxg yxg yxf g x y 0 4 方向导数 1 z f x y 在点 M0 x0 y0 处沿着向量 l 的方向导数 00 xy z lt yxftytxf t cos cos lim 0000 0 其中向量 l 的方向余弦为 cos cos 2 若函数 f x y 在点 M0 x0 y0 处可微 则 f x y 在点 M0 x0 y0 处沿任一方向 l 的方向导数都存在 且有 cos cos 0000 00 yxfyxf z yx yx l 5 梯度 grad f x0 y0 j i 0000 yxfyxf yx 6 复合函数微分法 1 设函数 u x v x 在点 x 处可导 而 z f u v 在对应的点 u v 处可微 则复合函数 z f x x 在点处可导 且 x v v z x u u z x z d d d d d d dd grad dd uv z xx 2 设函数 u x y v x y 在点 x y 处可偏导 而 z f u v 在对应的点 u v 处可微 则复合函数 z f x y x y 在点 x y 处存在偏导数 且 x v v z x u u z x z grad x v x u z y v v z y u u z y z grad y v y u z 7 隐函数微分法 1 设二元函数 F x y 满足下列条件 Fx x y Fy x y 在点 x0 y0 的某邻域内连续 F x0 y0 0 Fy x0 y0 0 则存在点 x0的一个邻域 N x0 以及在 N x0 内定义的唯一的函数 y y x 满足 i y0 y x0 F x y x 0 x N x0 ii 在 N x0 中 函数 y y x 有连续的导数 且 y x F F y 2 设 n 1 元函数 F x1 x2 xn y 满足下列条件 21 yxxxF nxi i 1 2 n Fy x1 x2 xn y 在点 M0的某邻域内连续 F M0 y0 0 Fy M0 y0 0 则存在点 M0的一个邻域 N M0 以及在 N M0 内定义的唯一的一个 n 元函数 y y x1 x2 xn 满足 i y0 y M0 且 F x1 x2 xn y x1 x2 xn 0 x1 x2 xn N M0 ii y y x1 x2 xn 在 N M0 中有一阶连续偏导数 且 y x i F F x y i i 1 2 n 3 设三元函数 F x y z G x y z 满足下列条件 Fx Fy Fz Gx Gy Gz在点 M0 x0 y0 z0 的某邻域内连续 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 14 F x0 y0 z0 0 G x0 y0 z0 0 0 0 M zy zy GG FF 则存在点 x0的一个邻域 N x0 以及在 N x0 内定义的唯一的一组函数 xzz xyy 满足 i y0 y x0 z0 z x0 且 0 0 xzxyxF xzxyxF x N x0 ii y y x z z x 在 N x0 中均有连续的导数 且 d d zy GF xz GF x y d d zy GF yx GF x z 其中 xz xz GG FF xz GF zy zy GG FF zy GF yx yx GG FF yx GF 8 切线方程与法平面方程 1 设曲线 的参数方程为 xx t yy t zz t M0 M 的坐标分别为 x t0 y t0 z t0 则切线方程为 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 故切向量为 a x t0 y t0 z t0 法平面的方程为 x t0 x x0 y t0 y y0 z t0 z z0 0 2 设曲线 的方程为 xzz xyy 则点 0000 xzxyxM处的切线方程为 1 0 0 0 00 xz xzz xy xyyxx 法平面方程为 x x0 y x0 y y x0 z t0 z z x0 0 3 设曲线 的方程为 0 0 zyxG zyxF 它确定 xzz xyy 则点 M0处的切线方程为 000 000 MMM yx GF zz xz GF yy zy GF xx 法平面方程为 0 000 000 zz yx GF yy xz GF xx zy GF MMM 9 切平面方程与法线方程 1 F x y z 0 在点 M0 x0 y0 z0 处的切平面方程为 0 000000 zzMFyyMFxxMF zyx 法线方程为 0 0 0 0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx 2 z f x y 在点 M0 x0 y0 z0 处的切平面方程为 0 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 15 法线方程为 1 0 00 0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx 10 多元函数的 Taylor 公式 设二元函数 f x y 在点 M0 x0 y0 的某邻域 N M0 内有 n 1 阶连续偏导数 则 M x0 x y0 y N M0 有 00 yyxxf 0000 yxf y y x xyxf 2 1 00 2 yxf y y x x 1 00 yxf y y x x n n 1 1 00 1 yyxxf y y x x n n 其中 0 1 上式称为二元函数 f x y 在点 M0处带有 Lagrange 型余项的 n 阶 Taylor 公式 特殊情形 1 中值公式 00 yyxxf yyyxxfxyyxxfyxf yx 000000 其中 0 1 2 一阶 Taylor 公式 00 yyxxf 0000 yxf y y x xyxf 2 1 00 2 yyxxf y y x x 0 00 M y x f f yxyxf y x MHyx f 2 1 其中 M x0 x y0 y 0 1 Hf M 为 f 在点 M x y 处的 Hessian 矩阵 yyxy xyxx ff ff 3 Maclaurin 公式 f x y f 0 0 n k k f y y x x k 1 0 0 1 1 1 1 yxf y y x x n n 其中 0 1 时 i2ln n m kz n m ez 取 k 0 1 2 n 1 时的 n 个值 特别地当 n 1 时 z 即为 z 的 n 次方根 对应于 Lnz 的各个单值分支 z 的各个分支在除原点及负实轴外的其他点处解析 且其导数为 z 1 4 三角函数 i 2 1 sin iizz eez 2 1 cos iizz eez 是以 2 为周期的解析函数 sinz cosz cosz sinz 5 其他的初等函数 cos sin tan z z z sin cos cot z z z cos 1 sec z z sin 1 csc z z 2 ch zz ee z 2 sh zz ee z 6 复变函数积分的定义 n k kk d L zfzzf 1 0 limd n k kkkk d yxvu 1 0 i i lim i lim 11 0 n k kkkk n k kkkk d yuxvyvxu ddidd LL yuxvyvxu 7 复变函数积分的计算 1 设 L 的参数方程为 x x t y y t t 起点 t 终点 则 L zzfd ttyvtxud ttyutxvd i 2 设 L 的参数方程为 z z t t 起点 t 终点 则 L zzfd d ttztzf 3 设 f z 在区域 D 内解析且 z 为 f z 的一个原函数 则 d 1 0 1 0 001 z z z z zzzf 其中 z0 z1 D 8 Cauchy 积分定理 设 f z 在单连通域 D 内解析 L 为 D 内任一条分段光滑的闭曲线则 0d L zzf从而积分 L zzfd 与路径无关 只与起点和终点有关 9 复合闭路定理 设 L Lk k 1 2 n 为 n 1 条取逆时针方向的简单闭曲线 Lk k 1 2 n 完全在 L 内且互不相 交 也互不包含 D 为由 L Lk k 1 2 n 围成的复连通域 如果 f z 在DDD 上解析 则 d d 1 n k LL k zzfzzf 10 闭路变形原理 当n 1时 上述复合闭路定理即 d d 1 LL zzfzzf它表明 区域D内的一个解析函数沿闭曲 线积分 不因闭曲线在区域内连续变形而改变它的值积分 只要在变形过程中曲线不经过被积函 数的奇点 11 Cauchy 积分公式 设 f z 在区域 D 单连通或复连通 及 D 的边界 L 上解析 则对任意 z D 有 d 2 1 L z f i zf 其中 L 取正向 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 22 12 高阶导数公式 设函数f z 在区域D 单连通或复连通 及D的边界L上解析 则f z 在区域D内存在任意阶导数 且 对任意 z D n 1 2 有 d 2 1 L n n z f i n zf 其中 L 取正向 13 孤立奇点及其分类 若 f z 在 z0不解析 但在 z0的某一去心邻域 0 z z0 内解析 则称 z0为 f z 的孤立奇点 设 z0为 f z 的孤立奇点 f z 在 z0的去心邻域 0 z z0 内的 Laurent 展式为 0 n n n zzc 若 n n n zzc 0 中无负幂项 则称 z0为 f z 的可去奇点 若 n n n zzc 0 中负幂项只有有限项 则称 z0为 f z 的极点 若 c m 0 而 c k 0 k m 1 m 2 则称 z0为 f z 的 m 级极点 若 n n n zzc 0 中负幂项有无穷多项 则称 z0为 f z 的本性奇点 14 孤立奇点类型的判定 设 z0为 f z 的奇点 f z 在 0 N z 内解析 则 1 z0为 f z 的可去奇点 0 00 f zzz F z czz 在 N z0 内解析 其中 c0为有限复常数 0 lim zz f z c0 其中 c0为有限复常数 f z 在 0 N z 内有界 2 z0为 f z 的 m 级极点 f z z z0 m z 其中 z0 0 且 z 在 N z0 内解析 z0为 f z 的极点 0 lim zz f z 3 z0为 f z 的本性奇点 0 lim zz f z 不存在且 0 lim zz f z 15 零点 若解析函数 f z 能表示成 f z z z0 m z 其中 z0 0 且 z 在 z0处解析 m 为某一正整数 则 称 z0为 f z 的 m 级零点 若 f z 在 z0处解析 则 z0为 f z 的 m 级零点 z0为 1 f z 的 m 级极点 f n z0 0 n 0 m 1 f m z0 0 16 若 f z 在 z 的去心邻域 z C R z 内解析 则称 为 f z 的孤立奇点 令 t 1 z 则 t 0 是 f 1 t 的孤立奇点 若 t 0 是 f 1 t 的可去奇点 m 级极点 本性奇点 则称 z 是 f z 的可去奇点 m 级极点 本性奇 点 设 f z 在 z C R z 内解析 则在此圆环内有 01 n n n n n n zczczf 因此 z 是 f z 的 1 可去奇点 中无正幂项 2 m 级极点 cm 0 而ck 0 k m 1 m 2 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 23 3 本性奇点 中有无穷多个正幂项 17 设 f z 以 z0为有限孤立奇点 即 f z 在 z0的某个去心邻域 0 z z0 R 内解析 L 为该邻域内包含 z0 的任意一条逆时针方向的简单闭曲线 则 f z 在 z0点处的留数 Res f z z0 L zzfd i2 1 1 设 01 n n n n n n zczczf则 Res f z z0 c 1 2 如果 z0为 f z 的一级极点 则 Res f z z0 lim 0 0 zfzz zz 记 z z z0 f z 则 Res f z z0 z0 3 如果 z0为 f z 的 m 级极点 则 Res f z z0 d d lim 1 1 0 1 1 0 zfzz zm m m m zz 若 z0为 f z 的 m 级极点 则 大于或等于 m 的正整数 k 有 Res f z z0 d d lim 1 1 0 1 1 0 zfzz zk k k k zz 4 若 zQ zP zf P z 及 Q z 在 z0处解析 且 P z0 0 Q z0 0 Q z0 0 则 Res f z z0 0 0 zQ zP 18 设 为 f z 的一个孤立奇点 即 f z 在 的某去心邻域 R z 内解析 设 L 为圆环域 R z 内绕 原点的任何一条逆时针方向简单闭曲线 则 f z 在 的留数 Res f z L zzfd i2 1 19 Res f z c 1 其中 c 1为 f z 在 R z 内的 Laurent 展式中 z 1 的系数 20 Res f z 0 1 1 Res 2 zz f 21 设函数 f z 在区域 D 内除去有限个孤立奇点 z1 z2 zn外处处解析 L 是 D 内包围诸奇点的任意一 条逆时针简单闭曲线 则 Resi2d 1 n k k L zzfzzf 22 如果函数 f z 在扩充复平面内除去有限个孤立奇点外处处解析 那么 f z 在所有奇点 包括 点 的 留数的总和等于零 即 Res f z n k k zzf 1 Res 0 23 形如 2 0 d sin cosxxxR的积分 其中 R cosx sinx 为 cosx sinx 的有理函数 令 z eix x 0 2 对应于 z 1 逆时针方向一周 则 dz ieix dx i d d z z x 2 1 2 1 2 1 cos 2 1ii z z zzeex xx i 2 1 i 2 1 sin 2 ii z z eex xx 所以 2 0 d sin cosxxxR i d i 2 1 2 1 1 22 z z z z z z z R 令 i 2 1 2 1 i 1 22 z z z z R z zf 则 2 0 d sin cosxxxR 1 1 d2 iRes n k z k f zzf zz 其中 zk k 1 2 n 为 f z 在 z 0 的积分 其中 R x 是 x 的有理函数 而分母的次数至少比分子的次数高 一次 并且在实轴上无孤立奇点 则该积分收敛 且 Resi2d 1 ii n k k zaxa zezRxexR 其中 zk为 R z 在上半平面内的所有有限远孤立奇点 十 级数 十 级数 1 设 1 Sc n n 1 Tc n n 为任意常数 则 1 TScc n nn 2 幂级数 0 n n n c z 的收敛半径 设 n n n c c 1 lim或 lim n n c 则 0 n n n c z 的收敛半径 1 0 0 0 R 3 设 0 n n nz czS z R1 T z 0n n nz c z R2 cn n c n 1 2 为复常数 R min R1 R2 则当 z R 时有 1 S z T z 0n n nz c 0n n nz c 0 n n nn zcc 2 S z T z 0n n nz c 0n n nz c 0 0110 n n nnn zcccccc 4 设复幂级数 0n n nz c的收敛半径为 R 0 和函数为 S z 则 1 S z 在收敛圆内 即 z R 内解析 2 幂级数 0n n nz c在收敛圆内可以逐项求导 即当 z R 时 有 1 1 0 n n n n n n znczczS 3 幂级数 0n n nz c在收敛圆内可以逐项积分 即当 z R 时 有 L n L n n zzczzSdd 0 L 为圆域 z R 内的简单曲线 并且逐项求导或逐项积分后所得的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 但在收敛圆周上的敛 散性有可能改变 5 设实幂级数 0n n nx a的收敛半径 R 0 其和函数为 S x 则 1 S x 在收敛域D 上连续 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 25 2 幂级数 0n n nx a在 R R 内可以逐项求导 即 x R R 有 1 1 0 n n n n n n xnaxaxS 3 幂级数 0n n nx a在 R R 内可以逐项积分 即 x R R 有 1 dd 1 00 00 n n n n x n n x x n a xxaxxS 并且逐项求导和逐项积分后所得的幂级数收敛半径仍为 R 但在收敛区间端点的敛散性可能改 变 6 设复函数 f z 在区域 D 内解析 z0 D R 为 z0到 D 的边界上各点的最短距离 则当 z z0 R 时 f z 能展开成幂级数 即 0 0 0 n n n zz n zf zf f z 在点z0处的Talor展式 其中系数 1 0 zf n c n n n 0 1 2 且展开式是唯一的 0 0 0 n n n zz n zf 称为f z 在点z0处的Talor级数 特别地 当z0 0时 它们相应的称为Maclaurin展式与Maclaurin级数 7 设实函数 f C x0 R x0 R 则 f x 在 x0 R x0 R 内能展成幂级数 0 0 0 n n n xx n xf xf的充分 必要条件是 x x0 R x0 R 其泰勒公式的余项 Rn x 0 n 满足此条件时 展开式是唯一 的 8 几个常用的展开式 1 2 1 2 n zz ze n z z 2 2 1 cos iizz eez 0 2 00 2 1 i 2 1 i 2 1 n nn n n n n n z n z n z z 3 0 12 12 1 sin n nn n z z z 4 23 0 1 1 1 nn n zzzzz z z 1 5 2311 0 1 1 1 1 1 nnnn n zzzzz z z 1 6 1 1 1 ln 1 n n n xx n x 1 1 7 n x n n xxx 1 1 2 1 1 1 2 当 1时 的收敛域为 1 1 当 1 0时 的收敛域为 1 1 9 设 f z 在圆环域 R1 z z0 R2内解析 则在此圆环域内 f z 能展成双边无穷级数 即有 张小向高数宝典 上篇 公式大全 中篇 典型题赏析 下篇 高数秘籍 双面打印 复印 节约纸张 版本号 2011 6 272365083 26 0 n n n zzczf f z 在圆环域 R1 z z0 R2内的 Laurent 展式 其中 d i2 1 1 0 L n n z f c n 0 1 2 3 L 为圆环内绕 z0的任何一条逆时针方向的简单 闭曲线 并且展开式是唯一的 n n n zzc 0 称为 f z 在该圆环内的 Laurent 级数 10 三角函数系 1 cosx sinx cos2x sin2x cosnx sinnx 的正交性 0dcos1 xnx 0dsin1 xnx n 1 2 0dsincos xnxmx m n 1 2 0dcoscos xnxm 0dsinsin xnxmx m n 1 2 且 m n 2d11 x dcos2 xnx dsin2 xnx n 1 2 11 以 2 为周期的函数 f x 可展开为三角级数的必要条件 若 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a xf在 上可逐项积分 则有 Euler Fourier 公式 2 1 dsin 1 2 1 0 dcos 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 上述公式中的an n 0 1 2 bn n 1 2 称为函数f x 的Fourier系数 由这些系数作出的三 角级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 称为 f x 的 Fourier 级数 记为 sincos 2 1 0 n nn nxbnxa a xf 12 Dirichlet 收敛定