高等数学知识点第一章函数.doc

第一章 函数一、实数集合关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。记作U（x0，a）。称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。A、 点x0的空心邻域即（x0-a， x0+a）x0或U（x0，a）B、 点x0的左邻域（x0-a，x0 空心左邻域（x0-a，x0）C、 点x0的右邻域x0，x0+a） 空心右邻域（x0，x0+a）二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈定义域记作D（f）或D.对应规则记作fB、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论C、符号函数 y=sgnx x0时 y=1 x=0时y=0 x0时 y=-1D、取整函数 y=x=n nxn+1 n=0，1，2. x表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分 2.6=2 =3 -2.8=-3 取整函数的图像E、函数的自然定义域：即定义域 一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。三、函数的基本特性A、单调性 证明函数的单调性：任取x1、x2D且x1x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。由此函数单调性得证。B、有界性：若存在常数M0，使得对任意的xD，恒有|f（x）|M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。（判断函数是否有界一般为求解函数的值域） 有上界：f（x）M 有下界：f（x）MC、奇偶性 奇函数：任意xD，恒有f（-x）=-f（x） 偶函数：任意xD，恒有f（-x）=f（x） 非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数 判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断D、周期性 f（x）在D上有定义，存在常数T0，使对任意的xD，恒有x+TD，且f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。满足上式的最小正数T0为f（x）的周期 四、复合函数与反函数A、复合函数：y=fg（x）， y=f（u），uD（f），yZ（f）u=g（x），xD（g），uZ（g）y为因变量，x为自变量，u为中间变量。前提条件 D（f）Z（g） eg.y=sin2x y=u2 u=x2 y=sinx2 y=sinu u= x2 y=earcsin y=eu u=arcsinv v= w=1+x2B、反函数 x=f-1（y） yZ（f） 即反函数的定义域为直接函数的值域，值域为直接函数的定义域。 不是所有的函数都存在反函数 原函数（即直接函数）与反函数关于y=x对称 求某函数的反函数时用y表示出x并整理用x代替y，用y代替x eg.y=的反函数 用y表示x，整理得 x= 用x代替y，用y代替x得y=五、初等函数A、基本概念：基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并在其定义域内有一个统一的解析表达式B、基本初等函数 a、常函数y=c b、幂函数y=xa （a为常数，且a0） 恒过（1,1） 定义域 值域 单调性a0时 在（0，+）增，在(-，0)减 a0时 在（0，+）减，在(-，0)增 c、指数函数y=ax （a0，且a1）恒过（0,1）定义域 值域 单调性a（0,1）减 a（1，+）增 d、对数函数y=ax（a0，a1）恒过（1,0）单调性a（0,1）减 a（1，+）增 y=ax与y=ax互为反函数，关于y=x对称 关于对数函数的重要恒等式 e、三角函数 y=sinx（正弦） y=cscx=（余割） y=cosx（余弦） y=secx=（正割） y=tanx（正切） y=cotx=（余切） sin2x+cos2x=1 1+tan2x=sec2x 1+cot2x=csc2x f、反三角函数：没什么题，看看书上的图像、定义域、值域就行了吧C、简单函数：基本初等函数经过有限次四则运算形成，简单函数一般是相对复合函数而言D、复合函数与幂指函数E、初等函数