《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何（电子讲稿）.doc

第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作（图61）向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，或，由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量因此，如果向量和的大小相等，且方向相同，则说向量和是相等的，记为相等的向量经过平移后可以完全重合向量的大小叫做向量的模向量，的模分别记为，模等于1的向量叫做单位向量模等于0的向量叫做零向量，记作0或零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的与的模相等而方向相反的向量，称为的负向量，记作设和为非零向量，在空间中任取一点，作，规定不超过的（即）称为向量和的夹角（图62），记作或如果和中有一个为零向量，规定它们的夹角可在与之间任意取值若或，即向量和的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作/可认为零向量与任何向量都平行若，则称向量与垂直，记作也可认为零向量与任何向量都垂直 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上因此，两向量平行又称两向量共线 类似还有向量共面的概念，设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量与，任取一点，作，再以B为起点，作，连接，（图63），那么向量称为向量与的和，记作，即上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则向量加法还满足如下平行四边形法则（图64）：当向量与不平行时，平移向量，使与的起点重合，以，为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点的向量等于向量与的和向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 ； （2）结合律 由于向量的加法符合交换律与结合律，故个向量相加可写成,并按向量相加的三角形法则，可得个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和我们规定两个向量与的差为（图65）特别地，当时，有显然，任给向量及点，有，因此，若把向量与移到同一起点，则从的终点向的终点所引向量便是向量与的差 由三角形两边之和大于第三边的原理，有 及 ，其中等号在与同向或反向时成立2向量与数的乘法向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模为当时，向量与的方向相同，当时，向量与的方向相反当时，即为零向量，这时它的方向可以是任意的 特别地，当时，有 向量与数的乘积运算满足下列运算规律： （1）结合律 ； （2）分配律 ； 向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算例1 化简解 例2 设在平面上给了一个四边形，点、分别是边、的中点，求证：证 如图66所示，连结，则在中，；在中，所以 设，则向量是与同方向的单位向量，记为于是由向量的数乘运算知向量与平行，因此有如下定理：设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使 证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性 设/取，当与同向时取正值；当与反向时取负值，即这是因为此时与同向，且再证明实数的唯一性设，又设，两式相减，得，即 因，故，即定理获证定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点及单位向量确定了数轴，对于数轴上任一点，对应一个向量，由/，根据定理1，必有唯一的实数，使，（实数叫做数轴上有向线段的值），并知与实数一一对应于是点 向量 实数，从而数轴上的点与实数有一一对应的关系据此，定义实数为数轴上点的坐标由此可知，数轴上点的坐标为的充分必要条件是三、空间直角坐标系在空间取定一点和3个两两垂直的单位向量，就确定了3条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系，称为坐标系或坐标系通常把轴和轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住轴，其余四指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指所指的方向为轴的正向，如图67所示在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面轴及轴所确定的坐标面叫做面，另两个由轴及轴和轴及轴所确定的坐标面分别叫做面和面3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示（图68）设为空间一点，过点作3个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们与轴、轴、轴的交点依次为、（图69），这3点在轴、轴、轴上的坐标依次为，于是空间点就唯一地确定了一个有序数组反之，若已知一个有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，然后通过，分别作与轴、轴、轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点（图69）用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系这组数叫做点的坐标，并依次称和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标点通常记作记，则，设，则上式称为向量的坐标分解式，称为向量沿3个坐标轴方向的分向量有序数称为向量在坐标系中的坐标，记作向量称为点关于原点的向径上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标记号既表示点，又表示向量究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征例如：点在面上，则；类似地，点在面上，则；点在面上，则如果点在轴上，则；同样，点在轴上，有；点在轴上，有如果点为原点，则四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设，即， ，则加法：；减法：；数乘： （为实数）或，由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了由定理1可知：若时，向量相当于（为实数），即也相当于向量的对应坐标成比例，即例3 求解以向量为未知元的线性方程组，其中， 解 如同解二元一次线性方程组，可得以、的坐标表示式代入，即得， 例4 已知两点和以及实数，在直线上求一点，使解法1 如图610所示，由于，因此 ， 从而 ， 这就是点的坐标 解法2 设所求点为，则 ，依题意有，即，则有，故，从而 ，点叫做有向线段的分点，当时，点是有向线段的中点，其坐标为，五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间的距离公式设向量，作（图69），则，按勾股定理可得,因为，所以，于是得向量模的坐标表示式设有点，, 则，于是、两点间的距离为例5 求证：以，为顶点的三角形是直角三角形证 因为，所以，又因为，根据勾股定理可知，是直角三角形例6 设点在轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标解 因为点在轴上，故可设点的坐标为，则，由于，即 ，解之得从而所求点的坐标为或例7 已知两点和，求与方向相同的单位向量解 因为 , 所以，从而 2方向角与方向余弦非零向量分别与轴、轴、轴的夹角称为向量的方向角（图611）称为向量的方向余弦则，从而上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量，而且有例8 已知两点)和，求向量的模、方向余弦和方向角解 因为 ，所以 ，从而，即 ，;故 ，例9 设向量与轴和轴的夹角分别为和，而且，如果点的坐标为，求点的坐标解 设点的坐标为，则的坐标为，又设向量的方向角为、，由题设可得，因为，所以即 或由 可得，解之得，由 可得，解之得，由 可得，解之得或故点的坐标为或3向量在轴上的投影设点及单位向量确定轴（图612）任给向量，作，再过点作与轴垂直的平面交轴于点（点叫作点在轴上的投影），则向量称为向量在轴上的分向量设，则数称为向量在轴上的投影，记作或 按此定义，向量在直角坐标系中的坐标就是在3条坐标轴上的投影，即投影的性质： 性质1 （即），其中为向量与轴的夹角 性质2 （即）性质3 （即） 习 题 6-1 1在平行四边形中，设，试用和表示向量、，其中是平行四边形对角线的交点2若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形3求起点为，终点为的向量与的坐标表达式4求平行于的单位向量5在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？6求点与轴，平面及原点的对称点坐标7已知点，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）8过点分别作平行于轴的直线和平行于面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9求点到原点、各坐标轴和各坐标面的距离10求证以、3点为顶点的三角形是一个等腰三角形11在坐标面上，求与三个点等距离的点的坐标12轴上，求与点，点等距离的点13求使向量与向量平行14求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式15求与向量平行，模为10的向量的坐标表达式16已知向量，试求：（1）； （2）17已知两点，求向量的模、方向余弦和方向角18设向量的方向角为，若已知，求19已知3点，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量20设，求向量在轴上的投影和在轴上的分向量21一向量的终点为点,它在轴，轴和轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点的坐标22已知向量的两个方向余弦为，且与轴的方向角是钝角求23设有三个力，作用于同一质点，求合力的大小和方向角第二节 数量积 向量积 混合积一、向量的数量积1数量积的定义设一物体在常力作用下沿直线从点移动到点，以表示位移 由物理学知道, 力所作的功为, 其中为与的夹角（图613） 在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量和的模、 及它们的夹角的余弦的乘积，我们称之为向量和的数量积，记作（图614），即 由数量积的定义可以知道,力所作的功是力与位移这两个向量的数量积，即，下面我们来讨论数量积的一些性质2数量积的性质 性质1 当时，；当时，这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略 性质2 证 因为向量与自身的夹角，所以 性质3 两个向量与垂直的充要条件是证 若向量与中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立如果向量与均不为零向量时，则与均不为零，故当时一定有，从而，即；反之，如果，那么，于是 3数量积满足的运算规律（1） 交换律 （2） 分配律 （3） 结合律 , （、 为常数） 证 下面只证明分配律，余下的证明留给读者 当时，上式显然成立，当时，由性质1及投影的性质有 例1 试用向量证明三角形的余弦定理证 设在 中，（图615），要证记， 则有 ，从而即 4数量积的坐标表示设 ，则按数量积的运算规律可得 因为是两两互相垂直的单位向量，所以，从而这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5两向量夹角的余弦的坐标表示设则当时, 由数量积的定义有 例2 已知，求（1）； （2）与的夹角； （3）在上的投影解 （1）（2）因为，所以（3）因为，所以 二、向量的向量积1向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩 设为一根杠杆的支点，有一个力作用于这杠杆上P点处 与的夹角为（图616）由力学规定，力对支点的力矩是一向量, 它的模, 而的方向垂直于与所决定的平面, 的指向是按右手规则从以不超过的角转向来确定的（图617） 设向量是由两个向量与按下列方式定出： （1）的模：，其中为与间的夹角；（2）的方向：垂直于与所决定的平面，的指向按右手规则从转向来确定（图618）那么，向量叫做向量与的向量积，记作，即 根据向量积的定义，力矩M等于与F的向量积，即2向量积的性质 性质1 性质2 两个向量的充要条件是证 若向量与中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立如果向量与均不为零向量时，则与均不为零，故当时一定有，从而或，即；反之，如果，那么或，则，于是 3向量积的运算规律（1）反交换律 （2）分配律 （3）结合律 （为数） 4向量积的坐标表示设， 按向量积的运算规律可得由于，所以为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成例3 设向量，计算，并计算以，邻边的平行四边形的面积解 根据向量积的模的几何意义，的模在数值上就是以，为邻边的平行四边形的面积因而其面积为例4 求同时垂直于向量和轴的单位向量解 记，故同时垂直于向量与轴的单位向量为 例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理证 如图619所示，在中，设，且，, 则，从而，因此，同理可得，所以故 ，即 ，于是三、向量的混合积1向量的混合积的定义已知3个向量、，向量与向量的数量积称为这3个向量的混合积，记为2混合积的坐标表示设 ，因为再按两向量的数量积的坐标表达式可得由上述坐标表达式不难验证 3向量的混合积的几何意义向量的混合积的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积如果向量组成右手系（即的指向按右手规则从转向来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量组成左手系（即的指向按左手规则从转向来确定），那么混合积的符号是负的下面我们来解释这一问题一方面，设，按向量积的定义，向量积是一个向量，它的模在数值上等于向量和为边所作的平行四边形的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当组成右手系时，向量与向量朝着这平面的同侧（图620）；当组成左手系时，向量与向量朝着这平面的异侧所以，如设与的夹角为，那么当组成右手系时，为锐角；当组成左手系时，为钝角由于所以当组成右手系时，为正；当组成左手系时，为负另一方面，以向量为棱的平行六面体的底（平行四边形）的面积在数值上等于，它的高等于向量在向量上的投影的绝对值，即，所以平行六面体的体积由上述混合积的几何意义可知，若混合积，则能以三向量为棱构成平行六面体，从而三向量不共面；反之，若三向量不共面，则必能以为棱构成平行六面体，从而于是有下述结论： 三向量共面的充分必要条件是它们的混合积，即例6 已知，计算解 例7 已知，4点共面，试求点的坐标所满足的关系式解 四点共面相当于、三个向量共面，而，由3个向量共面的充要条件可知：即 为所求的关系式 习 题 6-2 1已知向量，求（1），；（2），2已知向量，求，及与的夹角余弦3已知，求4证明下列问题：（1）证明向量与向量垂直；（2）证明向量与向量垂直5求点的向径与坐标轴之间的夹角6求与平行且满足的向量7求与向量，都垂直的单位向量8在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高9已知向量 10证明：如果，那么，并说明它的几何意义11已知向量和，计算下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹在这样的意义下, 如果曲面与三元方程 （1）有下述关系： （1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）, （2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）,那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形（图621） 图6-22图6-21下面我们来建立几个常见的曲面的方程例1 建立球心在、半径为R的球面的方程解 设是球面上的任一点（图6-22），那么，即或 （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程特别地，如果球心在原点，那么球面方程为例2 求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程解 设是曲面上任一点，根据题意有，即，整理得: 与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点、半径为的球面这就是所求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量、和间的方程通常表示一个曲面因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题： （1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程； （2） 已知坐标、和间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子例3 方程表示怎样的曲面？解 通过配方，原方程可化为，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点、半径为的球面 一般地，设有三元二次方程，这个方程的特点是缺，各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成的形式，那么它的图形就是一个球面下面，我们来讨论一些特殊的曲面二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴 设在坐标面上有一已知曲线，把该曲线绕轴旋转一周，就得到一个以轴为轴的旋转曲面（图623），下面求该旋转曲面的方程设为曲线上的任一点，那么有 ， （3）当曲线绕轴旋转时，点也绕轴旋转到另一点，这时保持不变，且点到轴的距离将，代入（3）式，即得旋转曲面的方程为，即将曲线的方程中的改成，便得曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程同理坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为同理坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为例4 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面（图624）的方程解 面上直线的方程为，因为轴为旋转轴，为母线，所以只要将方程中的改成即可得到所要求的圆锥面方程或 ，其中显然，圆锥面上任一点的坐标一定满足此方程如果点不在圆锥面上，那么直线与轴的夹角就不等于，于是点的坐标就不满足此方程三、柱面给定一曲线和一定直线（不在曲线所在的平面内），如果一动直线平行于定直线并沿着曲线移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面设准线为面内的一条曲线，其方程为，沿作母线平行于轴的柱面（图625）在柱面上任取一点，过点作一条与轴平行的直线，则该直线与平面的交点为，由于在准线上，所以有即点的坐标应满足方程 反之,如果空间一点满足方程,即,则必在过准线上一点而平行于轴的直线上，于是点必在柱面上所以，方程在空间就表示母线平行于轴的柱面例如方程表示母线平行于轴，准线是平面上以原点为圆心、以为半径的圆的柱面（图626），称其为圆柱面，类似地，曲面、都表示圆柱面方程表示母线平行于轴，以坐标面上的抛物线为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图627） 一般地，只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上的曲线： 类似地，只含而缺的方程和只含而缺的方程分别表示母线平行于轴和轴的柱面 例如，方程表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的直线，所以它是过轴的平面四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面 怎样了解三元方程所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状这种方法叫做截痕法另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法： 设是一个曲面，其方程为，是将曲面沿轴方向伸缩倍所得的曲面，显然，若，则；若，则因此，对于任意的，有，即是曲面的方程下面我们来介绍几种典型的二次曲面 1椭圆锥面由方程所表示的曲面称为椭圆锥面（图628）我们先用截痕法来讨论其图形以垂直于轴的平面截此曲面,当时得一点；当时，得平面上的椭圆当变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当从大到小并变为时，这族椭圆从大到小并缩为一点综合上述讨论，可得椭圆锥面另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形把圆锥面沿轴方向伸缩倍，也可得到椭圆锥面的方程为，即 2椭球面图6-29由方程所表示的曲面称为椭球面（图629） 把面上的椭圆绕轴旋转一周所得的曲面称为旋转椭球面，其方程为，再把旋转椭球面沿轴方向伸缩倍，便得椭球面.另外，把球面沿轴方向伸缩倍，得旋转椭球面，再沿轴方向伸缩倍，也可得椭球面3单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面（图630） 把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转单叶双曲面，再沿轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面4双叶双曲面由方程所表示的曲面称为双叶双曲面（图631）把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转双叶双曲面，再沿轴方向伸缩倍, 即得双叶双曲面5椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面（图632）把面上的抛物线绕轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面，再沿轴方向伸缩倍，所得曲面叫做椭圆抛物面6双曲抛物面由方程所表示的曲面称为双曲抛物面（图633）双曲抛物面又称马鞍面下面我们用截痕法来讨论其图形用平面截此曲面，所得截痕为平面上的抛物线，此抛物线开口朝下，其顶点坐标为当变化时，的形状不变，位置只作平移，而的顶点的轨迹为平面上的抛物线因此，以为母线，为准线，母线的顶点在准线上滑动，且母线作平行移动，这样得到的曲面便是双曲抛物面 还有3种二次曲面是以3种二次曲线为准线的柱面：，依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面柱面的形状已经在前面讨论过，此处不再赘述 习 题 6-3 1已知，求线段的垂直平分面的方程2一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程3求下列各球面的方程：（1）球心，半径为； （2）球心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是与；（4）通过原点与，4将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程5将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程6指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）； （9）；（10）7指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）8说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）.9画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2），及三坐标平面所围成；（3），及在第一卦限所围成；（4），所围成第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线设和是两个曲面方程，它们的交线为（图634），因为曲线上的任何点的坐标应同时满足这两个方程，所以应满足方程组 （1）反过来，如果点不在曲线上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组因此，曲线可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间曲线的一般方程例1 方程组表示怎样的曲线？解 方程组中第一个方程表示母线平行于轴的圆柱面，其准线是面上的圆，圆心在原点，半径为1方程组中第二个方程表示一个母线平行于轴的柱面，由于它的准线是面上的直线，因此它是一个平面方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如图635所示例2 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点，半径为a的上半球面第二个方程表示母线平行于轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，这圆的圆心在点，半径为方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线，称为维维安尼（Viviani）曲线（图636）二、空间曲线的参数方程 空间曲线的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将上动点的坐标，表示为参数的函数： (2)当给定时，就得到上的一个点，随着的变动便得曲线上的全部点方程组（2）叫做空间曲线的参数方程图6-37例3 如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升（其中、都是常数），那么点的轨迹叫做螺旋线试建立其参数方程解 取时间为参数设当时，动点位于轴上的一点处经过时间，动点由运动到（图637），记在面上的投影为，的坐标为由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，所以经过时间，从而，,由于动点同时以线速度沿平行于轴的正方向上升，所以因此螺旋线的参数方程为 也可以用其他变量作参数，例如令，则螺旋线的参数方程可写为其中，而参数为三、曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如例如空间曲线：（），绕轴旋转，所得旋转曲面的方程为 （，）， （3）这是因为，固定一个，得上一点，点绕轴旋转，得空间的一个圆，该圆在平面上，其半径为点M1到轴的距离，因此，固定的方程（3）就是该圆的参数方程再令在内变动，方程（3）便是旋转曲面的方程例如直线绕轴旋转所得旋转曲面的方程为（上式消和，得曲面的直角坐标方程为）又如球面可看成面上的半圆周 （）绕轴旋转所得，故球面方程为 （,）四、空间曲线在坐标面上的投影以曲线为准线、母线平行于轴的柱面叫做曲线关于面的投影柱面，投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，或简称投影（类似地可以定义曲线在其他坐标面上的投影）下面我们来讨论投影柱面与投影的方程设空间曲线的一般方程为 （4）设方程组消去变量后所得的方程为，则该方程就是曲线关于面的投影柱面 一方面，方程表示一个母线平行于轴的柱面, 另一方面，方程是由方程组消去变量后所得的方程，因此当，满足方程组时，前两个数，必定满足方程，这就说明曲线上的所有点都在方程所表示的曲面上，即曲线在方程表示的柱面上所以方程表示的柱面就是曲线关于面的投影柱面 由投影的定义知曲线在面上的投影曲线的方程为： 同理，消去方程组（4）中变量或变量再分别和或联立，我们就可得空间曲线在面或面上的投影的曲线方程： 或 例4 已知两球面的方程为和,求它们的交线在面上的投影方程 解 将方程与方程相减得，将代入得这就是交线关于面的投影柱面方程两球面的交线在面上的投影方程为例5 求空间曲线在面上的投影曲线方程解 从所给曲线方程组中消去，就得到包含曲线的投影柱面方程由于此方程组中的第二个方程不包含有，所以包含曲线的投影柱面方程就是因此，投影柱面与面的交线为故曲线在面的投影曲线方程为例6 设一个立体由上半球面和锥面所围成（图638），求它在面上的投影解 半球面与锥面交线为消去z并将等式两边平方整理得投影柱面方程为：，故在面上的投影曲线为即平面上的以原点为圆心、1为半径的圆，立体在平面上的投影为圆所围成的部分，即 习 题 6-4 1画出下列曲线在第一卦限内的图形 （1） （2） （3）2分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程3求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（写出3种不同形式的方程）4试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点 5将下面曲线的一般方程化为参数方程（1） （2）6求螺旋线在3个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程7指出下列方程所表示的曲线.（1） （2） （3）（4） （5）8求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线9求曲线在坐标面上的投影10求抛物面与平面的交线在3个坐标面上的投影曲线方程第五节 平面及其方程在本节和下一节里，我们将以向量作为工具，在空间直角坐标系中建立平面与直线方程，并讨论它们之间的一些关系一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，则向量就叫做平面的法线向量显然，平面上的任何一个向量均与该平面的法线向量垂直由立体几何的知识可知，经过空间一点能作而且只能作一个平面垂直于一条已知直线，因此，若已知平面上的一点和它的一个法线向量时，平面的位置就完全确定了下面我们来建立此平面的方程在平面上任取一点（图639），因为，所以，因此它们的数量积为零，即n，由于，所以 （1）这就是平面上任一点的坐标所满足的方程 如果不在平面上，那么向量与法线向量不垂直，从而，即不在平面上的点的坐标不满足方程（1）由此可知，平面上的任一点的坐标都满足方程（1），不在平面上的点的坐标都不满足方程（1），故方程（1）就是平面的方程，而平面就是方程（1）的图形由于方程（1）可以由平面的法线向量和其上的一点来确定，所以称方程（1）为所求平面的点法式方程例1 求过点，且以为法线向量的平面的方程解 根据平面的点法式方程，所求平面的方程为即例2 求过3点、及的平面的方程解法1 由于过3个已知点的平面的法线向量与向量，都垂直，而，设，则有：，从而得，取即可得所求平面的法线向量根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即解法2 由于过3个已知点的平面的法向量与向量、都垂直，而，故可以用作为平面的法线向量即根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为，即二、平面的一般方程平面的点法式方程是三元一次方程，由于任一平面都可以用它上面的一点及其法线向量来确定，所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示反过来，设有三元一次方程 （2）我们任取满足方程（2）的一组数，即 （3）把上述两式相减，得 （4）把方程(4)与方程(1)相比较，可知方程（4）是通过点，为法向量的平面方程又由于方程（4）和方程（2）同解，所以方程（2）表示一个平面我们把方程（2）叫做平面的一般方程，其中的系数就是该平面的一个法线向量，即例如，方程表示一个平面, 是这平面的一个法线向量由平面的一般方程，根据系数的特殊取值，我们归纳其图形特点如下：当，方程（2）成为，它表示一个经过原点的平面当，方程（2）成为，它表示一个与轴平行的平面同样表示与轴平行的平面，表示与轴平行的平面当，方程（2）成为，它表示一个平行于面的平面同样地，表示一个平行于面的平面，表示一个平行于面的平面当，方程（2）成为，它表示坐标平面同样地，表示坐标平面，表示坐标平面当，方程（2）成为，它表示一个经过轴的平面同样地，表示一个经过轴的平面，表示一个经过轴的平面例3 设平面过轴及点，求此平面方程解 由题设知平面过轴，故所求平面可设为，由平面过点知，即，故所求平面方程为例4 求过3点，的平面的方程（其中为不等于零的常数）（图640）解 设所求的平面的方程为，因为平面经过三点，故其坐标都满足方程，则有即得，将其代入所设方程并除以，便得所求方程为 （5）方程（5）叫做平面的截距式方程，依次叫做 在平面轴上的截距三、两平面的夹角设两平面的方程分别为：，：,它们的法线向量分别是, ,当两个平面相交时，形成两个互补的二面角，其中一个二面角和向量与之间的夹角相同（图641）因此，规定两平面的法线向量的夹角为两平面的夹角（通常指锐角）由两向量夹角余弦的坐标表示式可得两平面、之间的夹角的余弦为 （6）从两向量垂直、平行的条件可得如下结论：平面，互相垂直的充分必要条件是；平面，互相平行的充分必要条件是例5 求两平面和的夹角解 由公式（6）有因此所求的夹角为例6 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程解法1 设所求平面的法线向量，则由题设可知在所求平面上，故，从而，即，亦即；而平面的法线向量为，则，从而，即，又由可得于是由平面的点法式方程，得所求平面的方程为，即.解法2 设所求平面的法线向量为，由题设知，故所求平面的法线向量可取为，即，所以所求平面方程为，即例7 设是平面外的一点，求到这平面的距离解 在平面上任取一点，则到平面的距离就是在平面法线向量上的投影的绝对值（图642），即，因为，,由向量的数量积可知=即 （7）因为点在平面上，所以点的坐标满足平面方程，即有代入（7）式中，得到点到平面的距离公式为： （8）例如，求点到平面的距离,利用公式（8）可得 习 题 6-5 1写出过点且以为法线向量的平面方程2求过三点的平面方程3求过点且与平面平行的平面方程4求通过轴和点的平面的方程 5求过点，且垂直于平面和的平面方程66设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程7写出下列平面方程：（1）平面； （2）过轴的平面；（3）平行于的平面； （4）在，轴上的截距相等的平面8求平行于而与3个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程9分别在下列条件下确定的值，使得（1）和表示同一平面；（2）与表示两个平行平面；（3）与表示两个互相垂直的平面10求平面与的夹角11求点到平面的距离第六节 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间不平行的两个平面必然相交于一直线，因此，空间任一直线都可以看作是两个平面与的交线（图643），设空间的两个相交的平面分别为，那么其交线上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组 （1）反过来不在空间直线上的点，不能同时在平面，上，从而其坐标不能满足方程组（1），因此直线可由方程组（1）表示，方程组（1）叫做空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程和参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量叫做这条直线的一个方向向量显然，以直线上任意不同两点作为起点和终点的向量都可作为它的一个方向向量因为过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知向量，所以当直线上的一点和它的方向向量为已知时，直线的位置就完全可以确定了下面我们来建立直线的方程设是直线上异于的任意一点，则向量与直线的方向向量平行（图644），其坐标对应成比例，于是有 （2）我们把方程（2）叫做直线的对称式方程或点向式方程，其中不能同时为零，当中有一个为零，例如时，方程（2）可理解为当中有两个为零，例如，方程（2）可理解为.直线的任一方向向量的坐标叫做这直线的一组方向数，而向量的方向余弦叫作该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程，如设，那么可得 （3）方程组（3）就是直线的参数方程若已知直线上的两个不同点的坐标、 同样可求出的方程，请读者自行完成.例1 把直线的一般方程化为对称式方程和参数方程解法1 先在直线上取一点为此，任意选定它的坐标，例如令，代入直线方程得解得，所以，是直线上的一点下面再求直线的方向向量，因为两平面的交线与两平面的法线向量为和都垂直，所以可取,因此，直线的对称式方程为 或 令，则可得直线的参数方程为解法2 在上取两个不同的点，则也可写出的对称式方程和参数方程，请读者自行完成.例2 求过点且与两平面和的交线平行的直线方程解 由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量一定与两平面的法线向量垂直，所以，因此，所求直线的方程为例3 求过直线：与平面的交点，且方向向量为的直线的方程解 先求的坐标，直线的参数方程为代入平面方程中，得解之得把求得的值代入直线的参数方程中，即得的坐标为 从而直线的方程为三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角设直线和的方向向量分别为和，由两向量之间夹角的余弦公式，立即可得两直线和的夹角的余弦表达式为从两个向量垂直、平行的充分必要条件可得如下结论：两直线和互相垂直的充要条件是：；两直线和互相平行或重合的充要条件是：例4 求直线： 和：的夹角解 直线的方向向量为，直线的方向向量为，设直线和的夹角为，则有所以四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平