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探究空间四边形 陕西汉中市405学校 侯有岐 任娟 723312 空间四边形是立体几何中的最基本图形之一通过对空间四边形在点、线、面方面的研究，可以使学生在空间概念的建立、空间想象能力的培养上起到事半功倍的效果，从而使分散的知识点集中起来，复杂的问题变得简单容易. 如图，四边形是空间四边形，若连结两条对角线，则空间四边形就成了常见的几何体三棱锥（即四面体）.一、位置关系例1 如图，在空间四边形中中，与，与，与的位置关系是 .解析： 假设与共面，则在同一个平面内，这与四边形是空间四边形矛盾，所以，与是异面直线，同理可得与，与也是异面直线.例2 如图，平面四边形的四个顶点分别在空间四边形的四条边上,若和不平行.求证：和的交点在上.分析：本例实质是证明、和三线共点问题，用公理3即可.证明: 由于和在同一平面上,且和不平行,则和必相交于一点. , 同理, 而, , 和的交点在上.点评：以上两例，体现了空间四边形中的线线、线面位置关系.既考查了异面直线的证明,又考查了用公理3证明三线共点问题的一般方法,同时又涉及了数学中的一种重要证题方法反证法.二、数量关系例3 已知分别为空间四边形的边、的中点，对角线=6，=8，求的值.分析: 空间四边形各边中点连线构成平行四边形是空间四边形的一个重要性质,这样就可以利用平行四边形性质解决相关问题,因而先利用三角形中位线证明有关线段平行.解: 分别为、的中点，. 同理 四边形是平行四边形. 由平行四边形性质得 =.例4 空间四边形一组对边中点的连线段小于另一组对边和的一半.分析: 本题讨论的是三边之间的大小关系,因而首先利用空间四边形将有关线段转化在同一三角形内,再利用三角形三边关系定理解决.解: 如图,在空间四边形中,取中点,连结、,则 . 在中，. 故命题成立.点评:以上两例, 体现了空间四边形中特殊线段间的等量与不等量关系,所包含的方法及技巧体现了转化与化归的数学思想,应引起重视.三、图形形状例5 如图，分别是空间四边形各边上的点，且有.(1)证明: 四点共面;(2)满足什么条件时, 是平行四边形.解: (1) , . , . 四点共面. (2) 当且仅当 时,四边形为平行四边形. . 同理 . 由 得 . 故当 时,四边形为平行四边形.点评: 空间四边形是立体几何的一个基本图形,它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时,该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时, 该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时, 该平行四边形为正方形.通过以上三个方面的讨论,可以看出,以空间四边形作为思维的
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