非线性系统的李导数运算.doc

非线性系统控制理论第二章 李导数李括号运算与分布 为了尽快的涉及非线性系统的几何理论，我们将以较短的篇幅介绍李导数的概念与李括号运算。2.1 向量场若是维函数向量,即 它的每一个分量都是变量的函数。从几何观点看，即是对状态空间中每一个点（对应一个状态）对应一个确定的向量，即映射。即可以想象从每一个点“发射”出一个向量，因而从整体上看形成一个由向量构成的场。2.2 李导数 给定一个光滑的标量函数和一个向量场,则可以定义标量函数沿向量场的导数称为李导数,或称为的李导数。它是一个新的标量函数记为。 设为一光滑标量函数; 为上的一个光滑的向量场; 为上的另一个光滑的向量场;则 ， 或记为。同理有: 多重李导数可以递归地定义为:又定义: ；同理： 上标”0”意味着不求导，因为 适合递归式子。2.3 李括号运算 若与为上的两个向量场,两同维的向量,的李括号运算定义为:或记为,它是一个新的向量场。同理可知也是一个的矩阵。它们分别称为流形映射到和的Jacobian阵。李括号运算也可以多次重复进行，例如：或 也可采用递归记法: 当时 因而可以定义: 2.4 李括号运算具有下列性质(1) 在域上是双线性的,即若是向量场,且是实数,则有: (2) 是斜可交换的,即:(3) 满足Jacobian恒等式,即若是向量场,则2.5 协向量场的微分运算 对于一个向量场,常常采用与其对偶的协向量场,两者都定义在的开集上,但是列向量场,而是行向量场,即。它是空间的对偶空间，记为。 定义一种新的运算，称为协向量场沿向量场的李导数，即 其中上标表示转置。以上三种运算可以统一起来统称为李导数，只是： 是指光滑标量函数沿向量场的李导数，得到的仍是一个标量函数。 是光滑的向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的向量场。 是协向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的协向量场。这三种李导数有下列关系： 其中表示向量场；表示协向量场；表示内积。2.6 运算法则 以上三种李导数运算,经过简单的推导，可以得到下列运算规则:(1) 如果是一个向量场, 为实值函数,则(2) 若是向量场, 是实值函数,则(3) 若是向量场, 是实值函数,则(4) 若是向量场, 是协向量场, 是实值函数,.则 若是向量场, 是实值函数,则(5) 若是向量场,是协向量场,则此式即上述已提到的三种李导数之间的关系。2.7 分布（ Distributions）(1)分布的意义定义在开集上的光滑向量场可以直观地看作是一种光滑映射，即对于上每一点赋以维光滑向量。现在假设定义在同样的开集上有个光滑的向量场,，并且注意到在U中任意给定的点，向量, 张成了一个向量空间，该向量空间是内被定义的那个向量空间（即）的子空间。 即有= 若,是光滑的，则对开集上的每一点来说，子空间由某些光滑的向量场来张成，于是称它为光滑分布。所以分布是在某种意义下的子空间的集合，也是向量场的集合，记为 =要注意记分布整体，而记记在点上的“值”（即某一个子空间）。从分布是一个向量空间，一个的子空间的观点出发，则可列出分布的一些特性。(2)分布的一些特性： （）如果和是分布，则+也是分布，称为分布的和，即若 = = 当指定时，上两式均表示子空间。因此 =也表示某子空间。故 （）同理若和是分布，则也是分布，称为分布的交，即由下式确定=（）包容：若对所有,有，记为称为包容。所以若对所有，,则称向量场属于分布，记。（）若一个矩阵，它具有行，每一行的各项均是的光滑函数,则它的每一列就可看成是光滑的向量场。这种矩阵就可表示成由它的列张成的光滑分布。其在每一点上的“值”就是矩阵在点上的“象”，即=（）分布在点处的维数就是子空间的维数，显然若分布被看成是某矩阵的列所张成的子空间的集合，则分布在点处的维数就是矩阵的秩。 若一个分布它在中任何上的维数不变，即=const ， 则称分布是非奇异的，否则称变维分布。 若在某点处及其的邻域上分布是非奇异的，则称为正则点，否则称奇异点（）两个光滑分布的和仍是光滑分布，而两个光滑分布的交不一定是光滑的。可由反例说明：若 = =则 若=，若，所以的交是不光滑的，因为不可能在上找到一个光滑的向量场，它除了的线上不为零之外，其余各处均为零。（3）对合分布（）定义：若和是属于分布的任意两个向量场，且由和 构成的李括号所得到的向量场仍然属于分布，则这样的分布称为对合分布。 即：当且仅当 ， 称为对合分布。（）判别对合分布的方法： 考虑非奇异分布，则中的任意两个向量场，均可表示成 =其中 则可容易推导得： 等价于 （对所有1,j）所以有：当且仅当（对所有1,j）分布是对合的。因此实际上只要证明对非奇异分布对所有x和所有1,j成立（）一些推论 一维分布总是对合分布：因为,是非零向量场则由 = =0因而 故结论得证 二维分布不一定是对合的考虑在空间中的二维分布 =, =由于=所以有 =2=3因而该分布不是对合的。 两个对合分布的和不一定是对合的；（可由上面的例子说明，因为一维分布是对合的，但两个一维分布的和不一定对合），但两个对合分布的交仍是对合分布。（）对偶分布（协分布） 在很多情况下，为了应用的方便起见，常常采用所谓对偶分布或协分布。 上面提到分布是用列向量场来定义的。 而对偶分布是用其对偶物行向量场来定义的，所以对于某一给定的点，协分布是对偶空间的一个子空间。 若表示一组行向量场（即协向量场）则协分布表示为 对于中给定的点，协分布是中的一个子空间，记为 所以如果给定一个分布，则对于中的每一个点，有，它是的子空间；的所有零化向量的集合构成了对偶空间特定的子空间，即它是的正交补，是的子空间。即可用式子表示成：0，对所有也称为(x)的零化子。式中表示行向量*与列向量的内积。类似的，若给定一个协分布，则协分布的正交补可表示成：0，对所有要注意的是由此构成的协分布可能失掉光滑性，即原分布是光滑的，而其正交补不一定保证也是光滑的。2.8 定理考虑偏微分方程 其中： 1 是需要求解的未知函数 是已知向量场所以是未知函数的偏导数，是一个行向量。现在要问此偏微分方程是否有解。以上问题如果用几何的观点来叙述，则表示如下：一个非奇异的维分布： 定义在的开集上，对于上的每一点及其邻域，是定义在上的光滑向量场。如果在上定义的个实光滑函数，能使=，那末就称这个分布是完全可积的。或者具体一点说就是矩阵的列所张成的分布是完全可积的。现在的问题是在什么条件下分布是完全可积的？定理：一个分布当且仅当它是对合的，则是完全可积的。该定理的证明应分两部分，即需证明条件的必要性与充分性。必要性：即若这样的解存在，（即是完全可积的）来推导出是对合的。即 若已知=则有 1，1采用李导数记号 即：再由李括号运算法则可得： 由于上式中的两项为零。故有 则构造：=因为已知=所以所有一定是中的一个向量，根据对合分布的判别法则可知是对合的。充分性：充分性可以从构造上来证明，即若条件满足,偏微分方程的个独立函数是如何一定能被构造出来的。因为分布对应的子空间是非奇异的，且其维数为，于是总可以找到另外的同样定义在开集上的向量场集合，它是原来向量场集合的补集，即在每一点,有并假设向量场中的函数均是光滑的，再令是常微分方程在初始条件下的解。即，它是和的光滑函数，换句话说，它满足，。可以称为流函数。因此，对任意给定的，以及的领域上的任意，总可以找到充分小的，使下列映射关系成立，它是一个局部微分同胚映射，所以其逆映射也存在，即。因此对于充分小的，有成立。这样偏微分方程的解可以用向量场的流函数的恰当组合来构成，这些流函数是，。现在来考虑映射，（）。其中，记号“表示”“恰当的组合”。若充分的小，则可以证明这个映射具有下列特点：（1） 它定义在所有上，并且是微分同胚映射，因而与是微分同胚。（2） 对所有，它的雅可比阵，其前面的列是中的线性独立向量。因为是映射的象域，是的一个开邻域。而若就是点的象（或值），则由特性（1）知是微分同胚映射，则存在，且