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第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数N，使得当nN时,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作。如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。令，其中a和b是实数。由不等式容易看出，等价于下列两极限式：因此，有下面的注解：注解1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当nN时，在这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。复数项级数就是或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为：如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么我们说级数发散。注解1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。注解2、级数收敛于的定义可以叙述为：，注解3、如果级数收敛，那么注解4、令，我们有因此，级数收敛（于）的必要与充分条件是：级数收敛（于a）以及级数收敛（于b）。注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时，柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当m及nN，对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数收敛，我们称级数绝对收敛。注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有注解2、若级数绝对收敛，则一定收敛。例、当时，绝对收敛；并且有我们
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