缓和曲线上各种迭代算法及比较.doc

缓和曲线各种迭代算法及比较半只烟（850570455）关于缓和曲线的直接计算式都是采用近似计算，因而其计算精度和参数有关，不同的参数得到的计算精度是不一样的，那么很自然的会想到，有没有一种计算方法使计算结果达到一给定的精度后才结束过程而和参数无关，答案是肯定的。通常利用程序使用数值计算的迭代方法。下面给出常用的使用迭代原理进行计算的变步长辛普森积分法和高斯-勒让德求积法，至于别的方法，此处不再详述，有兴趣的可参阅数值计算方法方面的资料。变步长辛普森迭代求积法变步长辛普森积分法是计算定积分的经典方法，其计算步骤如下：（1） 用梯形公式计算，其中n=1,h=b-a,且令Sn=Tn。（2） 用变步长梯形法则计算用辛普森求积公式计算若，则令转到步骤（2）继续计算；否则结束，S2n即为所求的积分近似值。其中为事先给定的求积精度。由于需要对被积函数求值，先给出求解回旋线的函数值的子程序FX，用于求解回旋线上距起点x处的X坐标，求解Y坐标只需把cos(余弦函数)改成Sin(正弦函数),此处不在给出。FileName:FX计算f(x)行数代码说明3Cos(J+AX+(B-A)X2(2L)X计算Y时，需把cos改成sin，变量见后FileSIMPSON复化Simpson迭代求回旋线坐标增量行数代码说明Deg:Norm设置360度制，取消小数位数“QiDianFangWei”?J起点方位角J180J:Rad转换成弧度，设置成弧度计算“QiDianBanJin”?A起点半径，直线为0“ZhongDianBanJin”?B终点半径，直线为0“HHQX Chang”?L缓和曲线全长“JiSuanChang”?D计算点到起点的长度If A0:Then 1AA:IfEnd计算起点曲率If B0:Then 1BB:IfEnd计算终点曲率1N:DH初始节点数N和积分上限HHX:Prog “FX”计算f(b)的值,b=HXY暂存0X:Prog “FX”计算f(a), f(a)= f(0)H(X+Y)2T计算Tn,TS:1E:0wSn=Tn初始计算精度，W为迭代次数While E0.0001大于给定的精度就进行迭代0PFor 0K To N-1(K+0.5)HX:Prog “FX”P+XP:W+1W在For循环中计算累计和，并计数Next(T+HP)2U计算T2n(4U-T)3V计算结果Abs(V-S)E修改迭代值UT:VS准备迭代参数N+NN:H2H准备迭代参数WhileEndDeg：V设回成角度模式，计算结果W迭代次数高斯-勒让德迭代求积法对定积分的积分变量x作变换，将原积分转化为区间-1，1上的积分，即由差值求积公式有其中，（k=0,1,2,n-1）,为区间-1，1上的n个求积结点，且，如果n个结点（k=0,1,2,n-1）取勒让德多项式在区间-1，1上的n个零点，则上述差值求值公式称为高斯-勒让德求积公式，其代数精度为2n+1。下表给出了n从2到10间的求积结点tk和求积系数kn求积结点tk求积系数k20.57735026921.0000000000 30.0000000000 0.8888888889 0.77459666920.5555555556 40.33998104360.6521451549 0.86113631160.3478548451 50.0000000000 0.5688888889 0.53846931010.4786286705 0.90617984590.2369268851 60.23861918610.4679139346 0.66120938650.3607615731 0.93246951420.1713244924 70.0000000000 0.4179591837 0.40584515140.3818300505 0.74153118560.2797053915 0.94910791230.1294849662 803626837834 0.52553240990.3137066459 0.79666647740.2223810345 0.96028985650.1012285363 90.0000000000 0.3302393550 0.32425342340.3123470070 0.61337143270.2606106964 0.83603110730.1806481607 0.96816023950.0812743884 1002955242247 0.43339539410.2692667193 0.67940956830.2190863625 0.86506336670.1494513492 0.97390652850.0666713443 下面示例仿照复化Simpson迭代求积程序给出高斯-勒让德迭代求积法，程序中选n=5，并采用变步长求积法。FileName：GAUUSLGD高斯勒让德迭代回旋线坐标增量行数代码说明Deg:Norm设置360度制，取消小数位数“QiDianFangWei”?J起点方位角J180J:Rad转换成弧度，设置成弧度计算“QiDianBanJin”?A起点半径，直线为0“ZhongDianBanJin”?B终点半径，直线为0“HHQX Chang”?L缓和曲线全长“JiSuanChang”?D计算点到起点的长度If A0:Then 1AA:IfEnd计算起点曲率If B0:Then 1BB:IfEnd计算终点曲率-0.9061798459,-0.5384693101,0.0,0.5384693101,0.9061798459Mat T求积结点系数赋矩阵T0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851Mat Y求积系数赋矩阵Y1N:DH初始节点数NAbs(0.001H)S1E35P: 1E:0OWhile E0.0001 And Abs(H)S大于给定的精度就进行迭代0G初始临时结果For 1I To N在外层For循环中计算一次迭代值(I-1)HQ:IHR0WFor 1K To 5在内层循环中计算每次函数值(R-Q)Mat T1,K+(R+Q)2XProg”FX”计算函数值，X是入口参数和输出值W+XMat Y1,KWO+1O计数，Next G+WG临时结果NextGH2G本次迭代结果Abs(G-P)(1+Abs(G)E迭代精度GP:N+1N:DNH修改迭代控制变量WhileEndDeg ：G设回成角度模式，显示结果O显示迭代次数直接使用积分功能9860中提供了内置的定积分计算功能，可在程序中直接调用该功能，语法如下：参数f(x)被积函数，指令固定使用X作为自变量，其它的变量写在函数中，以当前值作为常数。，b,积分下限和上限。功能：实现定积分的近似值。如（38）用内置积分式计算为：使用X作为自变量进行积分，但是X的值不会被改变，积分计算的结果可以赋给变量。计算精度被系统设为10-5，并且不可更改。曲线元实例计算比较某实际工程中，有一不完整缓和曲线段，A点桩号K0+271.881，半径R=75，B点桩号K0+223.715，半径50。曲线间长48.166。A点切线方位如图。1）、以A为起点，计算终点B相对于A的坐标增量1.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：X= 48.16626(cos712418.5”+4(cos613752.22”+cos38380.96”)+2cos504226.37”+ cos252435.99”)=30.15953726Y= 48.16626(sin712418.5”+4(sin613752.22”+sin38380.96”)+2sin504226.37”+ sins252435.99”)=35.890542251.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式为简便计算，对参数进行先赋值：712418.5”-F ,起点方位-75-R ，起点半径（左偏为-，右偏为+）-50-M ，.终点半径48.166-H ,曲线全长48.166-W ,计算点距起点长以下是节点系数赋值0.1184634425-A0.2393143352-B1/R-C(R-M)/(2*RMH)-D180/-E0.2844444444-G0.046910077-K0.2307653449-LX= W(Acos (F+EKW(C+KWD)+Bcos (F+ELW(C+LWD)+Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD)+Bcos (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD)+Acos (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)=30.16036838Y= W(Asin (F+EKW(C+KWD)+Bsin(F+ELW(C+LWD)+Gcos (F+0.5EW(C+0.5WD)+Bsin (F+E(1-L)W(C+(1-L)WD)+Asin (F+E(1-K)W(C+(1-K)WD)=35.889595981.3) 变步长辛普森迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=712418.5”QiDianBanJin=-75ZhongDianBanJin=-50HHQX Chang=48.166JiSuanChang=48.166计算结果：X=30.16036819，迭代次数31次Y=35.88959622，迭代次数31次1.4）高斯-勒让德迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=712418.5”QiDianBanJin=-75ZhongDianBanJin=-50HHQX Chang=48.166JiSuanChang=48.166计算结果：X=30.16036839，迭代次数15次Y=35.88959599，迭代次数15次1.5）利用内置的积分计算内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：X=(cos (712418.5”+(1(-75)X+(-150+175)X2/48.1662180/),0,48.166)=30.16036839X=(sin (712418.5”+(1(-75)X+(-150+175)X2/48.1662180/),0,48.166)=35.889595992，有一完整回旋线，起点切线方位为0，终点半径200，缓和曲经长20000。计算终点相对起点的坐标增量。其形状如下2.1）、利用复化辛普森公式计算如下（取n=2）：距起点5000处方位角：1/20000*50002/（2*20000）*180/=14725.78”距起点10000处方位角：1/20000*100002/（2*20000）*180/=70943.1”距起点15000处方位角：1/20000*150002/（2*20000）*180/=160651.98”距起点20000处方位角：1/20000*200002/（2*20000）*180/=283852.4”X= 2000026(cos0+4(cos70943.1”+cos283852.4”)+2cos160651.98”+ cos283852.4”)=18796.86999Y= 2000026(sin0+4(sin70943.1”+sin283852.4”)+2sin160651.98”+ sin283852.4”)=5751.5667982.2)利用高斯-勒让德5节点求积公式为简便计算，对参数进行先赋值：0-F ,起点方位1E45-R ,以1045代替无究大计算200-M ，终点半径20000-H ,曲线全长20000-W ,计算点距起点长节点系数和公式不变，计算结果为：X=2878.253465Y=-175.47248711.3) 变步长辛普森迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=0QiDianBanJin=0ZhongDianBanJin=200HHQX Chang=20000JiSuanChang=20000计算结果：X=1718.067513，迭代次数4095次Y=1580.04231，迭代次数4095次2.4）高斯-勒让德迭代求积法按示例程序进行计算，取计算精度为0.00001，并修改FX，分别计算X、Y增量输入为：QiDianFangWei=0QiDianBanJin=0ZhongDianBanJin=200HHQX Chang=20000JiSuanChang=20000计算结果：X=1717.99522，迭代次数600次Y=1580.042596，迭代次数765次2.5）利用内置的积分计算内置积分公式的精度为0.00001，计算结果为：X=(cos (0+（1200)X2（200002）180/),0,20000)=1718.067513Y=(sin (0+（1200)X2（200002）180/),0,20000)=1580.04231该示例精确值为：X=1718.067512949Y=1580.042309965例1)中：几种计算方法都可以较好的处理回旋线的计算。复化辛普森（2节点）的精度最低，一般计算时要适当的增加节点个数。高斯-勒让德迭代求积法的迭代次数明显的少于变步长辛普森迭代求积法。9860中内置的积分公式采用高斯求积法，区别于以前的CASIO系列中采用的辛普森求积法，也有较高的精度。例2）中:由于使用了比较极端的参数，直接使用复化辛普森（2节点）和高斯-勒