11.Euclid空间,正交变换,对称变换.ppt

1 第十一讲Euclid空间 正交变换和对称变换 定义1设V是一个实线性空间 如果对V中任意的两个向量 都有唯一的一个实数 与之对应 且满足以下性质 1 V 2 V 3 V k R k k 4 V 0 且 0 0 则称 是向量 与 的内积 定义了内积的实线性 空间V称为欧几里得空间 或简称欧氏空间 2 定义2设 1 2 n是欧氏空间V的一组基 对任意 V 可设 1 2 n X x x2 2 xn n 1 2 n Y y y2 2 yn n 并计算 A称为V的内积关于基 1 2 n的度量矩阵 度量矩阵为单位矩阵的基称为标准正交基 3 定理1n维欧氏空间V中任意n个线性无关的向量 n 可用施密特正交化方法转化成一个正交向量组 n 其中 再通过把 n单位化可得标准正交向量组 2 n 定义3设Q是n阶实矩阵 QTQ I 则称Q是正交矩阵 4 定义4设 是欧氏空间V的一个线性变换 如果 保持向量的内积不变 即对任意向量 V 都有 则称 是正交变换 例1设 是把平面上的向量绕坐标原点顺时针旋转 角的 变换 记 则 令 则 A 是一个正交变换 称为旋转变换 例2设 是把平面上的点映射到其关于某条直线的对称 点 以这条直线为x轴建立平面直角坐标系 设 则 是一个正交变换 称为境面反射变换 5 定理2设 是欧氏空间V的一个线性变换 则下列四个命题相互等价 1 是正交变换 2 保持向量长度不变 即 3 把标准正交基还变为标准正交基 4 在任意一组标准正交基下的矩阵A是正交矩阵 证明 1 2 因为 是正交变换 所以 两边开方即得 3 4 因为 1 2 n 亦为标准正交基 并且 设A A1 A2 An 则 6 4 1 设A是 在标准正交基 n下的矩阵 已知A是正交阵 且 故 1 2 n 亦为标准正交基 有 设A是欧氏空间V的正交变换 在V的一组标准正交基 n下的矩阵 由定理1有ATA I 所以 A 1 若detA 1 则称 是第一类正交变换 若detA 1 则称 是第2类正交变换 旋转变换 是第一类正交变换 镜面反射是第二类正交变换 7 上学期我们定义了 设 L V 定义 和 的复合映射为 亦称为映射的乘积 V 定义 易证 L V 还定义了 设 L V 若存在 L V 使得 则称 可逆 为 的逆 易证可逆线性变换的逆变换是唯一的 的逆记为 1 上学期我们还证明了 1 I是正交阵 2 正交阵Q可逆 且Q的逆矩阵Q 1 QT还是正交阵 3 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵 线性变换的乘积 即复合映射 对应于矩阵的乘积 L V 可逆 对应的矩阵可逆 推论 1 是正交变换 2 正交变换 可逆 且 的逆变换还是正交变换 3 正交变换的乘积仍是正交变换 8 例3平面正交变换或为旋转或为境面反射变换 证明设 O 1 2 是一个平面直角坐标系 是一个平 面正交变换 在 1 2下的矩阵为Q 则由定理1可知Q是一个二阶正交阵 故 Q 1 记 则a2 b2 1 c2 d2 1 ac bd 0 ad bc 1 设a cos b sin c cos d sin 则cos 0 sin 1 故 2 分两种情况 1 若 2 则a cos b sin c sin d cos 为把平面上的向量绕坐标原点顺时针旋转 角的旋转 2 若 2 则a cos b sin c sin d cos 9 解得 这是 的两个特征值 设 分别为 属于特征值 1 1 2 1的单位特征向量 故 O 1 2 也是一个平面直角坐标系 在 1 2下的矩阵为 故 为以 1为境面的境面反射变换 正交补与直和分解 定义5设V是欧几里得空间 W是V的子空间 则称 为W在V中的正交补 W 恰好由所有与W正交的向量组成 例4设W1是R3中一个过原点的平面上的全体向量构成的子空间 W2是R3中过原点且垂直于平面的向量构成的子空间 则W2是W1的正交补 10 例5对标准内积 求与 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 2 1 1 3 T都正交的向量 解设与 都正交的向量为 x x2 x3 x4 T 则 所以 x x2 x3 x4 T k 4 0 1 3 T 这里k为任意常数 实系数齐次线性方程组 的解向量X可以看作是与系数矩阵的行向量的转置都正交的向量 这是齐次线性方程组的另一种理解方式 11 定理3设W是欧几里得空间V的子空间 则 证明设dimV n 1 2 n是V的一组标准正交基 dimW m 1 m为W的一组标准正交基 它们在 1 n下的坐标为X1 Xm 以它们转置为行组成的m行n列的矩阵记为A r A m AX 0的解空间N A 的维数为n m 记N A 的一组标准正交基为Xm 1 Xm 2 Xn 并设 m 1 n在 1 2 n下的坐标为Xm 1 Xm 2 Xn 则由定义2可知 m 1 n即为W 的一组标准正交基 12 推论设W是欧几里得空间V的子空间 则 证明 又由定理3有 13 例6已知方程组 求其解空间N A 及N A 的标准正交基 解用初等行变换化系数矩阵为既约阶梯形矩阵 是N A 的标准正交基 解 得 14 是N A 的标准正交基 它们即为A的行空间的一组基 15 定理4已知 是n维欧氏空间V的一个正交变换 W是 的不变子空间 证明W的正交补W 也是 的不变子空间 证明设dimW m 1 m为W的一组标准正交基 并设 m 1 n为W 的一组标准正交基 由定理3可知 1 m m 1 n即为V的一组标准正交基 由定理1可知 1 m m 1 n 为V的一组标准正交基 由于W是V的m维 不变子空间 所以 1 2 m 也是W的一组标准正交基 又由于 i j 1 i n m 1 j m 有 m i j m i j 0 所以 m 1 n 属于W 故为W 的一组基 所以W 也是 不变子空间 16 定义6设 是欧氏空间V的一个线性变换 如果对任意向量 V 都有 则称 是对称变换 定理5n维欧氏空间V中线性变换 是对称变换 在V的任一组标准正交基下的矩阵是实对称阵 证明设 在V的一组标准正交基e e en下的矩阵是 则 17 定理6已知 是n维欧氏空间V的一个对称变