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四维间隔 两个事件P1 x1 y1 z1 t1 和 x2 y2 z2 t2 间的四维时空间隔s为 1 类空间隔s2 0 2 类时间隔s2 0 3 类光间隔s2 0 在某参考系中 两事件同时不同地发生 间隔为其空间间隔 在某参考系中 两事件同地不同时发生 间隔为其时间间隔 在所有参考系中 两事件通过光信号联系 间隔为其时间间隔 世界线在闵科夫斯基空间中画一个运动物体的四维时空坐标的变化曲线 时空点 世界点 一个事件P x y z t 对应于闵科夫斯基空间中的一个点 世界距离两事件P1 x1 y1 z1 w1 和P2 x2 y2 z2 w2 间的距离s 1 光速不变原理 在所有的惯性系中 真空中的光速恒为c 与光源或观察者的运动无关 一切物理定律在所有的惯性系中都有相同数学形式 2 狭义相对性原理 相对论的两条基本原理 一 理解爱因斯坦广义相对论的两条基本原理 二 理解时空弯曲和短程线的概念 三 理解引力场中的时空 掌握施瓦西度规 四 了解行星近日点的进度 星光的引力偏转 雷达回波的延迟 光频在引力场中的移动以及黑洞等现象 第十六章广义相对论的基本概念 16 1等效原理和局部惯性系 16 2时空弯曲和短程线 16 3引力场中的时空和施瓦西度规 16 4行星近日点的进动 16 5星光的引力偏转和雷达回波的延迟 16 6光频在引力场中的移动 16 7黑洞 爱因斯坦为什么要创立广义相对论 1 狭义相对论只适用于惯性系 即惯性系比非惯性系 优越 所反映的自然规律的对称性不完善 2 狭义相对论的洛仑兹变换不能保持引力形式不变 即狭义相对论不能包容万有引力定律 爱因斯坦的目标 实现非惯性系与惯性系的平权改造引力理论 建立时空与物质的关联 广义相对论 GeneralRelativity 是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论 统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律 将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空 以取代传统对于引力是一种力的看法 狭义相对论和万有引力定律 都只是广义相对论在特殊情况之下的特例 狭义相对论是在没有重力时的情况 万有引力定律是在距离近 引力小和速度慢时的情况 广义相对论是一种把时空结构几何化的引力理论 它认为 物质分布将影响时空的几何结构 而时空结构又会反过来影响物质的分布 16 1等效原理和局部惯性系 牛顿力学 一 引力质量与惯性质量 惯性质量 万有引力定律 引力质量 事实上 到目前为止的一切实验研究都没有找到惯性质量和引力质量之间的差别 这说明 加速运动的参考系和万有引力 二者之间可能存在某种深刻的联系 引力质量 物体在地球上静止 在万有引力环境下的测量的质量 惯性质量 同一物体在加速度为g的条件下运动 由于保持惯性而产生加速度 此时测量到的质量为惯性质量 或在惯性力环境下的测量的质量 如果物体不参照其他东西 是无法判断自己由于引力所引起的质量 还是由于加速运动而引起的质量 对引力质量和惯性质量的理解 惯性质量和引力质量 地面静止 加速飞行 引力和惯性力都可以使物体加速下落 引力质量 惯性质量 证明引力质量与惯性质量相等的实验结果 牛顿第二定律的表达式 惯性力的定义式 号表示惯性力的方向与非惯性系的加速度方向相反 注意不要混淆 m 叫做惯性质量 观察自由小球的运动 惯性力 引力 爱因斯坦理想实验一 自由空间加速上升的密封舱 引力场中静止的密封舱 惯性力和引力等效惯性力场与同方向引力场等效 二 广义相对论两条基本原理 1 等效原理 揭示引力场与惯性力场的内在联系 观察小球的运动 爱因斯坦理想实验二 引力场中自由下降的电梯 自由空间中静止或匀速运动的电梯 惯性力和引力等效惯性力场抵消反方向引力场 任何力学实验都不能区分引力和惯性力的效果 惯性系和非惯性系不可用力学实验来区分 引力场和加速场是等价的 在一个相当小的时空范围内 不可能通过力学实验来区分引力与惯性力 它们是等效的 等效原理 一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价 等效原理的另一种表述 1 适用条件 相当小的时空范围内 说明 2 引力与惯性力的等效仅限于力学实验 弱等效原理 3 任何物理实验都等效的原理为强等效原理 重力加速度的大小和方向不随时间和地点改变 即惯性系与非惯性系等价 广义相对性原理 在所有的参考系中 自然定律的表述都相同 广义相对论的实质是关于引力场的理论 2 广义相对性原理 一个均匀的引力场与一个做匀加速运动得参考系等价 根据等效原理 任何参考系 包括非惯性系 中物理规律都有相同的形式 或 广义相对论两条基本原理 1 等效原理 在一个相当小的时空范围内 不可能通过力学实验来区分引力与惯性力 它们是等效的 2 广义相对性原理 在所有的参考系中 自然定律的表述都相同 2 惯性参考系 消除了引力场的参考系 3 局部惯性参考系 在局部空间范围内消去了引力场的参考系 如 在地面上自由下落的实验室 三 局部惯性系 1 非惯性参考系 有引力场的参考系 一般的说 有引力场的参考系都不是惯性参考系 只有消除了引力场的参考系才是惯性参考系 在一个局部惯性系中 引力的效应消失了 其中所有物理定律和在远离任何引力物体的真正的惯性系中一样 反过来说 一个在太空中加速的参考系中将会出现表观的引力 在这样的参考系中 物理定律就和该参考系静止在一个引力物体附近一样 注意广义相对论惯性系与经典力学惯性系的区别 2 在地球表面的局部参考系与地面有没有相对运动 如果有会是什么形式的运动 1 在地面上静止的参考系是惯性参考系吗 为什么 思考题 解答 由于引力场的存在 在地面上静止的参考系都不是惯性参考系 1 在地面上静止的参考系是惯性参考系吗 为什么 思考题 解答在局部空间范围内消去了引力场的参考系为局部惯性参考系 要想消去引力场 必须找一个加速参考系 是其中的引力刚好与惯性力相消 所以 在地球表面的局部参考系相对于地面向下做加速度为g加速运动 2 在地球表面的局部参考系与地面有没有相对运动 如果有会是什么形式的运动 思考题 16 2时空弯曲和短程线 一 弯曲空间的几何与短程线 1 弯曲空间的几何 非欧几何 欧氏几何 平直空间的几何 可采用笛卡儿坐标 描述一个n维弯曲空间 至少需要n 1维平直空间 非欧氏几何 弯曲空间的几何 不借助于n 1维平直空间 直接在n维空间中研究其弯曲性 平面是二维平直空间 两点间大圆弧距离最短 欧氏几何 两点间直线距离最短 球面是二维弯曲空间 三角形内角和 三角形内角和 非欧氏几何 两条平行线会相交 两条平行线会相交 2 判断空间是否弯曲的方法 测圆周长与直径的比 平面 凹面 空间的弯曲 是空间的整体性质 凸面 小范围平直空间 大范围不一定平直 只是弯曲空间的局部效果 弯曲空间的局部小范围 平直空间 短程线是曲线 欧氏几何 短程线是直线 短程线两点间的最短路径 非欧氏几何 3 短程线 定义 空间两点间距离最短的路径 二 非惯性系中的空间弯曲与短程线 半径为r的圆盘放在平板上 以匀角速度绕通过盘心且与盘面垂直的轴旋转 问题 相对于平板静止的观察者 看放于盘边随盘转动的钟的快慢和尺的长短如何 注意 运动尺度缩短和运动时钟变慢与运动方向的关系 由洛仑兹变换 平板 S 系 惯性系 转盘 S系 非惯性系 S系中的钟 尺处于与盘边缘 如P 点 相联的瞬时共动惯性系中 根据狭义相对论 盘边缘的钟变慢 盘上观测者测得的空间是弯曲的 弯曲程度与r有关 由等效原理 在非惯性系中 空间是弯曲的 引力的几何作用归结为弯曲空间 非惯性系可视为惯性系 三 时空的弯曲和短程线 在时空平面 x ict 中 设P点于O点有类时间隔 如图 粒子从事件O到事件P间匀速运动的世界线 沿一世界线从O到P的时间间隔一般可写为 世界线在O与P之间的间隔最大 短程线 在时空两世界点间使间隔取极值的世界线 称为两世界点间的时空短程线 惯性系中 短程线为直世界线 为此 把时间轴转到与重合 其中 v是粒子的速度 非惯性系中 短程线为弯曲世界线 16 3引力场中的时空和施瓦西度规 一 引力场钟的钟与尺 在地面附近的重力场中 以重力加速度g自由下落的实验室S 是一局部惯性系 狭义相对论成立 其中钟与尺的标度不变 时空是平直的 而地面参考系S相对于它以加速度g向上运动 却是非惯性系 钟与尺的标度随高度变化 时空是弯曲的 欧氏几何 平直空间的几何 可采用笛卡儿坐标 描述一个n维弯曲空间 至少需要n 1维平直空间 非欧几何 弯曲空间的几何 不借助于n 1维平直空间 直接在n维空间中研究其弯曲性 一 引力场钟的钟与尺 理想实验 S 在引力场中自由降落 局域惯性系 其中狭义相对论成立 时空平直 S 引力场源 相对S 以a g r 向上运动 非惯性系 每时刻都处于瞬时共动惯性系中 最初 S与S 相对静止 二者中的钟 尺标度相同 下落 S相对于S 运动 引力场强越大处的钟越慢 竖直尺越短 S 中的观察者认为 S中的钟慢尺缩 相对速度越大 钟慢尺缩越显著 引力场中不同位置处的时空标度不同 时空弯曲 引力场强越强 引力势越低的地方 钟越慢 径向尺越短 空间曲率越大 二 时空度规 无引力场强的平直空间 相邻两事件的间隔 笛卡尔直坐标系中 球坐标系中 一般地 其中 1 2 3为空间分量 4为时间分量 x4 ict g 时空度规 爱因斯坦约定 一对相同的上下标意味着对它求和 笛卡尔直坐标系中 球坐标系中 三 施瓦西度规 在球对称质量分布M的引力场中 以对称中心为坐标原点O 建立球坐标 r M 0时 无引力场时空是平直的 M 0时 有引力场 因为引力场中的钟变慢 径向尺变短 所以做如下代换 其中 v是r处场点相对于局部惯性系S 落到该点时的速度 假设r足够大时 牛顿万有引力定律成立 有 相邻两事件的间隔为 相应的时空度规为 施瓦西度规 物理意义 反映了球对称质量分布M的引力场中时空的弯曲 四 爱因斯坦引力场方程的基本思想 时空是由物质分布状况决定的引力场的结构性质 只有在无引力场存在时 时空才是平直的 有引力场存在时 时空是弯曲的 引力场强度分布与空间曲率分布一一对应 当用弯曲空间取代引力场后 受引力场作用的质点就成了自由质点 沿弯曲空间中的短程线运动 惯性定律 在引力场中 自由粒子沿时空短程线运动 引力场使空间弯曲 牛顿的惯性定律与广义的惯性定律表述相同但含义不同 时空的几何性质 完全由时空度规决 时空度规又是由物质的分布和运动决定的 知道了引力场中的时空度规 就可以确定粒子在引力场中的运动 爱因斯坦引力场方程 联系时空度规和由物质分布及其运动 能量 动量密度张量 依赖于物质分布及运动 爱因斯坦张量 曲率张量 描述时空弯曲的程度 依赖于时空度规及其微商 的线性组合 引力场张量 决定了引力场中时空的弯曲及引力场中粒子的运动 引力场使时空弯曲 引力场越强 钟越慢 尺越缩 时空弯曲愈烈 时空的性质由物质和运动决定 形象描绘 绷紧的橡皮薄膜上放一重物 引起膜面下陷或弯曲 使放在膜上的其它小球滚向重物 造成重物 吸引 小球的印象 爱因斯坦认为 引力的唯一效果就是引起时空弯曲 自由粒子并非由于引力的作用在平直空间沿弯曲的轨道运动 而是沿着弯曲空间中称为短程线的轨迹运动 任何有质量的物体都使它周围的空间区域产生向着它的 弯曲 说明 相对论的基本原理 狭义相对论 广义相对论 不同的惯性参考系中一切物理规律都是相同的 任何参考 包括非惯性系 中物理规律都是相同的 真空中的光速在不同惯性参考系中都是相等的 一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价 更进一步 等效原理 光速恒定 爱因斯坦相对性原理 广义相对性原理 对于时空观的认识 物质本身的存在决定时空的性质 时空性质和物质的运动有关 狭义相对论 广义相对论 惯性系平权 所有参考系平权 时空观 光速恒定 等效原理 广义相对论可解释牛顿引力理论不能解释的天文现象 使它的一些基本原则得到了验证 技术的进步以及对太阳系飞船的精确跟踪能力的提高 使检验引力理论的能力大大提高 这里介绍 三大经典检验 包括水星近日点旋进 光线弯曲和引力红移 1 水星近日点的进动 按牛顿引力理论 作为二体问题 水星绕太阳应做封闭的椭圆运动 近日点的位置不变 1859年法国天文学家勒威耶发现 水星每转一圈其轨道长轴略有转动 这称作行星近日点的进动 16 4行星近日点的进动 按牛顿引力理论 作为二体问题 水星绕太阳应做封闭的椭圆运动 近日点的位置不变 1859年法国天文学家勒威耶发现 水星每转一圈其轨道长轴略有转动 运动轨道不再是一个封闭的椭圆 这中现象称作行星近日点的进动 牛顿理论 行星的轨道是严格闭合的椭圆 观测表明 行星的椭圆轨道存在进动现象 即椭圆的长轴也缓慢转动 行星近日点的进动 根据牛顿力学 近日点距离为 行星椭圆轨道方程为 根据广义相对论 进动角为 行星进动的椭圆轨道方程为 其中 几个行星的近日点进动 用牛顿理论无法解释这种现象 然而根据广义相对论 在太阳周围空间发生弯曲 使行星轨道在近日点处进一步弯向太阳 不再是一个封闭的椭圆 水星离太阳最近 轨道弯曲效应最大 用爱因斯坦方程施瓦西解计算出水星近日点每百年旋进43 03 牛顿理论的偏差 正是爱因斯坦理论的必然结果 广义相对论在这里取得了首次的成功 16 5星光的引力偏转和雷达回波的延迟 太阳引力的作用 使太阳附近空间弯曲 光线被弯折 一 星光的引力偏转 由于太阳光太强 这种现象只能在日全食时才能观察到 爱因斯坦预言星光偏转角为1 75 著名物理学家爱因斯坦本世纪初曾根据其广义相对论预言说 天体发出的光在经过质量巨大的星系时 会星系引力的影响发生偏移和弯曲 按照爱因斯坦理论 质量巨大的星系可以起到 引力透镜 作用 不仅能使光线弯曲 还能使其聚焦 其效果与日常生活中的普通透镜类似 当发出光线的天体 起 引力透镜 作用的星系以及观测望远镜处于同一条直线时 可以观测到天体发出的光线在星系周围形成一个圆环 这就是所谓的 爱因斯坦环 原因 一个质量为太阳十分之一的超级天文密晕物体通过恒星与地球之间 恒星光被吸引聚集 现象 一个恒星突然发出比平常强7倍的光 两个月后恢复正常 引力透镜 1993年 美国 澳大利亚天文小组发现 引力微凸透镜成象 1998年3月英国用 默林 射电望远镜和哈勃太空望远镜观测到完整的引力透镜成象 爱因斯坦环 用雷达向水星和金星发射电磁波 1 雷达波经过太阳附近时测往返时间 t1 2 雷达波不经过太阳附近时测往返时间 t2 表明 太阳引力场引起时间延缓效应 二 雷达回波延迟 通过太阳附近的无线电信号往返时间增长 16 6光频在引力场中的移动 从高H处自由下落的局部惯性系射向地面的光 地面观察者测到的光的频率有多普勒移动 地面观察者测到的相对频率移动为 一 庞德 瑞布卡试验 二 星光的引力红移 根据广义相对论 时间也受引力的影响 即时间也要弯曲 离太阳越近钟走的越慢 由太阳表面原子发出的光的频率到达地球时要减小 这种现象称为引力红移 引力场中光速变慢 光谱线在引力场中的红移 距引力场源较远处接收到光的频率较低 原因 光 逃离 引力场源需要做功 16 7黑洞 黑洞在经典物理中是一个 只进不出 的东西 仅由三个物理量 质量 电荷 角动量描述 任何物质一旦掉入 信息就全部消失 在量子理论中黑洞有量子蒸发 黑洞拉伸 撕裂并吞噬一小部分恒星 最终将恒星大部分质量抛向宇宙空间的模拟过程图 恒星演化的晚期 其核心部分经过核反应 T 6 109K 各类中微子过程都能够发生 中微子将核心区的能量迅速带走 引力坍缩 强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体 白矮星 中子星 黑洞 黑洞 不 黑 1974年 霍金结合量子力学和相对论 指出黑洞并非全黑 黑洞能够辐射 这就是著名的霍金辐射 黑洞在辐射过程中 将能量辐射出去 这意味着黑洞将逐渐缩小 最后在爆炸中结束生命 天文学家还发现 黑洞吸引其他恒星的物质 不是一下子就吸引过去 而是在看不见的周围形成一个会转的物质盘 叫做吸积盘 另外一个恒星的物质是先打到这个盘上去 盘上的物质才像螺旋一样进入黑洞 霍金原先的计算显示 黑洞蒸发完全属于热效应 它不应该包含任何信息 当黑洞变得越来越小 最后蒸发到没有时 就意味着已经丢失了全部信息 但霍金的理论同 信息守恒定律 矛盾 一度被人们称为 黑洞悖论 但是现在霍金认为 信息进入了黑洞后还是能出来的 只是物质被吸进去以后 黑洞把信息都打散了 不再是原来的样子 面目全非 目前很多科学家都在研究被黑洞重组之后出来信息以何种方式释放 为验证广义相对论 2004年4月20日美国发射 引力探测器B 卫星 最大最古老的黑洞 新中型黑洞 迄今为止天文学家发现的黑洞只有两类 一类是大型黑洞 它们坐落在一个星系的中心 质量是太阳的几百万倍甚至几十亿倍 另一类是小型黑洞 它们坐落在一个恒星附近 质量不过是太阳的几倍 但唯独没有发现质量在太阳的几十倍 几百倍和几千倍的中型黑洞 科学家现在已经发现宇宙中几十个可能存在中型黑洞的地方 但还没有肯定这里一定有黑洞 中型黑洞应该是在宇宙早期形成的 有的科学家还猜测 大型黑洞是在宇宙发展的过程中 通过中性黑洞的相互结合而形成的 因此 研究中型黑洞对研究宇宙的演变有很大意义 黑洞吞噬着气体尘埃 黑洞 艺术照 它正吞噬着气体和尘埃盘 在另一面成为超热气流的尘埃盘被喷射出去 仙女座中心存在着10个新的准黑洞 最近天文学家在仙女座的中央区域发现了10个类似于黑洞的天体 仙女座距离地球250万光年 是离地球最近的螺旋状星团 新的研究方法可能将帮助天文学家在银河系和其他更为遥远的星系发现更多的黑洞 此次新发现的准黑洞 都属于恒星型 这意味着它们都有几个太阳那么大 是恒星燃烧净尽后的产物 它们每一个都有伴星 一个正常绕它旋转的恒星 它最终成为黑洞的食物 这就是著名的小质量X射线双星系统 美国科学家发现另类X射线 美国天文学家近日表示 钱德拉 X射线宇宙观测台发现宇宙间新的 黑洞 类型 其质量约