辽宁工业大学高数习题课10-1-2.ppt

第十章曲线积分与曲面积分习题课 二 对坐标的曲线积分 第二型曲线积分 一 对坐标的曲线积分的概念 1 定义 2 物理意义 变力沿所作的功 二 对坐标的曲线积分的性质 1 线性性质 若 方向不变 则 设是的反向曲线弧 则 3 与积分曲线的方向有关性 2 可加性 三 对坐标的曲线积分的计算方法 化为定积分计算 1 参数方程 1 直接计算法 设从变到 则 设 从变到 则 设从变到 则 2 直角坐标 设从变到 则 注 下限起点上限终点 3 利用积分与路径无关的条件计算法 与路径无关 单连域 单连域 2 格林 Green 公式计算法 注意使用条件 这里为区域的正向边界曲线 为区域内任意闭曲线 四 两类曲线积分之间的联系 其中为有向曲线弧在点处的切向量的方向角 五 对坐标的曲线积分的解题方法 4 斯托克斯 Stokes 公式计算法 这里是有向曲面的正向边界曲面 No 积分与路径无关 封闭 取特殊曲线 转化为定积分 积分与路径相关 封闭 确定D 应用Green公式 对L补上特殊曲线 在封闭曲线上应用Green公式 转化为定积分 Yes No Yes No Yes 解题方法流程图 由上图可以看出 计算第二型曲线积分时 首先要找出函数 及积分曲线然后判断等式是否 成立 若上述等式成立 则曲线积分在单连域内与积分路径 无关 此时的计算方法是 看积分曲线是否封闭 若为封闭 曲线 则利用积分与路径无关的等价命题 便可知所求积分为零 若上式不成立 则曲线积分与积分路径有关 此时的计算方 法是 看积分曲线是否封闭 若为封闭曲线 则直接利用 若不是封闭曲线 通常采用取特殊路径的方法 如取平行于 坐标轴的折线 来计算所给积分 即 Green公式计算所给积分 即 若不是封闭曲线 则计算方法一般有两种 一种是将曲线 再计算最后将两式相减便得原曲线积分的值 即 积分化为定积分来计算 另一方法是通过补特殊路径 使 与构成封闭曲线 然后在封闭曲线上应用Green 公式 即 六 典型例题 分析由于故曲线积分与路径有关 又因为曲线 不是封闭的 按解题方法流程图 计算本题有两种方法 一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算 二是采用补特殊路径 然后应用Green公式计算 本题采用第一种方法计算比较简便 这里应首先将积分曲线的方程改写为 再代入被积函数中计算 解 由于所以 分析本题为沿空间曲线的积分 从所给曲线来看 可采用参数法转化为定积分来计算 这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程 考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分 故又可利用斯托克斯 Stokes 公式将曲线积分转化为曲面积分计算 解法1 化为定积分计算 由于 如图 这里 所以 从变到 从变到 从变到 从而 解法2 利用斯托克斯公式计算 设为平面上所围成部分的上侧 由Stokes公式 得 为在坐标面上的投影区域 则 分析由于 故曲线积分与路径有关 又因为封闭曲线 如图 且 在所围区域上满足格林公式的条件 故本题可采用格林公式方法来计算 即采用框图中线路2 21的方法 解 令 则 即由于 故利用格林公式 得 解法1 化为定积分计算 的参数方程为 从变到 则 解法2 利用格林公式计算 设由所围区域为 则 于是 分析由例3的分析可知 曲线积分与路径有关 又因积分曲 接计算法 即转化为定积分的方法计算 不难看出沿着路径 的积分 被积函数中含有和的项 积分的计算将是非常困难的 因此 本题采用补特殊路径 然后应用Green公式的方法计算本题 即采用框图中线路2 22计算 线不是封闭的 按框图 计算本题有两种方法 但若利用直 解 补直线段 从变到 并设曲线 所围区域为 如图 则由Green公式 得 又 故 分析因 则 由于与在原点处不连续 因此 1 若给定的曲线所围成的闭区域不包括原点 则在 此区域内曲线积分与路径无关 2 若给定的曲线所围成 的闭区域包括原点 那么 在所围成的闭区域上不 满足格林公式 积分与路径无关的条件 此时 我们可取 一条特殊的封闭光滑曲线 在上应用Green公式 由此 将上的曲线积分转化为上的曲线积分 解 因 则 故 1 若给定的曲线围成的闭区域不包括原点 由 知曲线积分与路径无关 故 2 若给定的曲线所围成的闭区域包括原点 则取一条 特殊的有向曲线 充分小 规定的方向为 逆时针 如图所示 设所围成的区域为 则在上应用Green公式 得 所以 而 故 或利用参数方程计算 令 从到 所以 解 记 则由于 则所给积分与路径无关 现取 从变到 则有 七 对坐标的曲线积分的物理应用 求变力沿曲线所作的功 例8 设位于点的质点对质点的引力大小为 为常数 为质点对质点之间的距离 质点 沿曲线自运动到 求在此运动过程 分析设质点对质点的引力 因此 问题的关键是写出引力的表达式 中质点对质点的引力所作的功 则所求的功为 解 作图如右图所示 可知 引力的方向与一致 故 于是 分析由