高等数学课后习题答案第三章.pdf

习题三习题三 1 1 解 所给函数在定义域 内连续 可导 且 2 612186 1 3 yxxxx 可得函数的两个驻点 12 1 3xx 在 1 1 3 3 内 y 分别取 号 故知函数在 1 3 内单调增加 在 1 3 内单调减少 2 解 函数有一个间断点 0 x 在定义域外 在定义域内处处可导 且 2 8 2y x 则函 数有驻点 2x 在部分区间 0 2 内 0y 0 故知函数在 2 内 单调增加 而在 0 2 内单调减少 3 解 函数定义域为 2 1 0 1 y x 故函数在 上单调增加 4 解 函数定义域为 2 2 1 21 yxx 则函数有驻点 1 1 2 xx 在 1 2 内 0y 函数单调增加 5 解 函数定义域为 0 11 eee nxnxxn ynxxxnx 函数的驻点为 0 xxn 在 0 n 上 0y 函数单调增加 在 n 上 0y 函数单调增加 在 1 11 2 18 上 0y 函数单调增加 在 2 内 0y 函数单调增加 故函数的单调区间为 1 2 1 11 2 18 11 18 2 1 证明 令 sintan2 f xxxx 则 2 2 1 cos coscos1 cos xxx fx x 当 0 2 x 为严格单调增加的函数 故 0 0f xf 即sin2 tan2 xxx 2 证明 令 2 esin1 2 x x f xx 则 ecos x fxxx esin1e sin1 0 xx fxxx 则 fx 为 严 格 单 调 减 少 的 函 数 故 0 0fxf 即 f x 为 严 格 单 调 减 少 的 函 数 从 而 0 0f xf 即 2 esin1 2 x x x 故 1x 为极小值点 且极小值为 1 2y 2 解 2 66yxx 令 0y 得驻点 12 0 1xx 126yx 01 0 0 xx yy 故极大值为 0 0y 极小值为 1 1y 3 解 2 612186 3 1 yxxxx 令 0y 得驻点 12 1 3xx 1212yx 13 0 0 xx yy 故极大值为 1 17y 极小值为 3 47y 4 解 1 10 1 y x 令 0y 得驻点 0 x 2 0 1 0 1 x yy x 故 0 0y 为极大值 5 解 32 444 1 yxxxx 令 0y 得驻点 123 1 0 1xxx 2 10 124 0 0 xx yxyy 故 1 1y 为极大值 0 0y 为极小值 6 解 1 1 2 1 y x 令 0y 得驻点 1 3 4 x 且在定义域 1 内有一不可导点 2 1x 当 3 4 x 时 0y 当 3 4 x 故 1 3 4 x 为极大值点 且极大值为 35 44 y 因为函数定义域为 1x 故 1x 不是极值点 7 解 23 125 45 x y x 令 0y 得驻点 12 5 x 当 12 5 x 时 0y 当 12 5 x 故极大值为 121 205 510 y 8 解 2 1 3 1 x y xx 22 2 1 x x y xx 令 0y 得驻点 12 2 0 xx 22 23 22 1 2 21 2 1 xxxxxx y xx 20 0 0 xx yy 故极大值为 0 4y 极小值为 8 2 3 y 9 解 e cossin x yxx 令 0y 得驻点 0 1 2 4 k xkk 2e sin x yx 2 21 44 0 0 xkxk yy 故 2 2 4 k xk 为极大值点 其对应的极大值为 2 4 2 2 e 2 k k y x 21 21 4 k xk 为极小值点 对应的极小值为 21 4 21 2 e 2 k k y x 10 解 11 2 11 ln ln xx x yxxx xx 令 0y 得驻点 ex 当 ex 时 0y 当 ex 故极大值为 1 e e ey 11 解 2ee xx y 令 0y 得驻点 ln2 2 x ln2 2 2ee 0 xx x yy 故极小值为 ln2 2 2 2 y 12 解 3 21 31 y x 无驻点 y的定义域为 且y在x 1 处不可导 当x 1 时 0y 当x 故有极大值为 1 2y 13 解 2 3 21 3 1 y x 无驻点 y在 1x 处不可导 但 y 恒小于 0 故 y无极值 14 解 2 1 sec0yx y为严格单调增加函数 无极值点 5 证明 2 32yaxbxc 令 0y 得方程 2 320axbxc 由于 22 2 4 3 4 3 0ba cbac 那么 0y 无实数根 不满足必要条件 从 而y无极值 6 解 f x 为可导函数 故在 3 x 处取得极值 必有 3 0 coscos3 3 x faxx 得a 2 又 3 30 2sin3sin3 3 x fxx 所以 3 x 是极大值点 极大值为 3 3 f 7 1 解 y的定义域为 0 3 2 2 27 0 x y x 得唯一驻点x 3 且当 3 x 时 0y y单调递增 因此x 3 为y的最小值点 最小值为f 3 27 又 lim x f x 故f x 无最大值 2 解 1 10 2 1 y x 在 5 1 上得唯一驻点 3 4 x 又 53 1 1 5 65 44 yyy 故函数 f x 在 5 1 上的最大值为 5 4 最小值为 65 3 解 函数在 1 3 中仅有两个驻点x 0 及x 2 而y 1 5 y 0 2 y 2 14 y 3 11 故在 1 3 上 函数的最大值是 11 最小值为 14 8 解 20yaxb 得 2 b x a 不可能属于以 0 和 b a为端点的闭区间上 而 2 2 0 0 bb yy aa 故当a 0 时 函数的最大值为 2 2bb y aa 最小值为 0 0y 当a 在 1000 上 0y 所以x 1000 为函数y的极大值点 也是最大值点 max 1000 1000 2000 yy 故数列 1000 n n 的最大项为 1000 1000 2000 a 10 证明 11 0 11 11 0 11 11 11 x xxa f xxa xxa xa xxa 当x 当 0 xa时 22 11 0 11 fx xxa 又 lim 0 x f x 且 2 0 1 a ff a a 而 f x 的最大值只可能在驻点 分界点 及无穷远点处取得 故 max 242 0 121 aa f x aaa 11 解 设圆柱体的高为h 则圆柱体底圆半径为 2 2 4 h r 2 2 23 2 4 4 h Vhr hh r 令 0V 得 2 3 3 hr 即圆柱体的高为 2 3 3 r 时 其体积为最大 12 解 由题设知 2 1 22 x xya 得 2 1 1 8 8 ax a yx xx 截面的周长 2 12112 2 2424 2 1 4 aa l xxyxxxxxx xx a l x x 令 0l x 得唯一驻点 8 4 a x 即为最小值点 即当 8 4 a x 时 建造材料最省 13 解 所需电线为 222 22 22 11 5 3 03 2 25 3 3 1 1 2 25 3 L xxxx xxxx L x xx 在 0 x 3 得唯一驻点x 1 2 km 即变压器设在输电干线离 A 处 1 2km 时 所需电线最短 14 解解 设小正方形边长为x时方盒的容积最大 2322 22 2 44 128 Vaxxxaxa x Vxaxa 令 0V 得驻点 2 a x 不合题意 舍去 6 a x 即小正方形边长为6 a 时方盒容积最大 15 1 解 42 20yx y 当 0 x 时 0y 故曲线图形在 0 是凹的 4 解 2 arctan 1 x yx x 22 2 0 1 y x 故曲线图形在 内是凹的 16 1 解 2 3103yxx 610yx 令 0y 可得 5 3 x 当 5 3 x 时 0y 时 0y 故曲线在 5 3 内是凹弧 因此 5 20 3 27 是曲线的唯一拐点 2 解 1 e e 2 xx yxyx 令 0y 得x 2 当x 2 时 0y 即曲线在 2 内是凹的 当x 2 时 0y 故函数的图形在 内是凹的 没有拐点 4 解 2 222 22 1 1 1 xx yy xx 令 0y 得x 1 或x 1 当 1 x 即曲线在 1 1 内是凹的 当x 1 或x 1 时 0y 时 0y 即曲线在 1 2 内是凸的 当 1 2 x 即曲线在 1 2 内是凹的 故有唯一拐点 1 arctan2 1 e 2 6 解 函数y的定义域为 0 且在定义域内二阶可导 32 4 12ln4 144ln yxxyxx 令 0y 在 0 得x 1 当x 1 时 0y 即曲线在 1 内是凹的 当 0 x 1 时 0y 则曲线y f x 是凹的 因此 x yR 22 f xf yxy f 即 1 22 n nn xy xy 则曲线y f x 是凹的 x yRxy 则 22 f xf yxy f 即 2 ee e 2 x yxy 0 1 ln1 0 0 fxxfxx x 则曲线 yf x 是凹的 x yR x y 有 22 f xf yxy f 即 1 ln lnln 222 xyxy xxyy 18 1 解 222 23 d33d3 1 d2d4 ytyt xtxt 令 2 2 d 0 d y x 得t 1 或t 1 则x 1 y 4 或x 1 y 4 当t 1 或t 曲线是凹的 当 0 t 1 或 1 t 0 时 2 2 d 0 d y x 0 不失一般性 当 3tan3 时 即 33 当tan 3 或tan 3 时 即 3 时 2 2 d 0 d y x 故当参数 3 或 3 时 都是y的拐点 且拐点为 2 33 32 aa 及 2 33 32 aa 19 证明 2 22 21 1 xx y x 23 2 1 23 23 1 xxx y x 令 0y 得 1 23 23xxx 当 1 x 时 0y 当 23 23 x 时 0y 因此 曲线有三个拐点 1 1 1313 23 23 44 因为 111 13 123 4 13 123 4 0 因此三个拐点在一条直线上 20 解 y 3ax2 2bx y 6ax 2b 依题意有 3 620 ab ab 解得 39 22 ab 21 解 令f x ax3 bx2 cx d 联立f 2 44 f 2 0 f 1 10 f 1 0 可解得a 1 b 3 c 24 d 16 22 解 22 4 3 12 1 ykx xyk x 令 0y 解得x 1 代入原曲线方程得y 4k 只要k 0 可验证 1 4k 1 4k 是曲线的拐点 1 8 x ky 那么拐点处的法线斜率等于 1 8k 法线方程为 1 8 yx k 由于 1 4k 1 4k 在此法线上 因此 1 4 8 k k 得 22 321 321kk 舍去 故 12 832 k 23 答 因 00 0fxfx 且 0 0fx 则x x0不是极值点 又在 0 U x 中 000 fxfxxxfxxf 故 fx 在 0 x 左侧与 0 fx 异号 在 0 x 右侧与 0 fx 同号 故 f x 在x x0左 右两侧凹凸性不同 即 00 xf x 是拐点 24 1 解 函数的定义域为 且为奇函数 222 2222 2 23 121 1 1 2 3 1 xxx y xx x x y x 令 0y 可得 1x 令 0y 得x 0 3 列表讨论如下 x0 0 1 1 1 3 3 3 y 0 y 0 0 y0极大拐点 当x 时 y 0 故y 0 是一条水平渐近线 函数有极大值 1 1 2 f 极小值 1 1 2 f 有 3 个拐点 分别为 3 3 4 0 0 3 3 4 作图如上所示 2 解 函数定义域为 且为奇函数 2 22 2 1 1 4 1 y x x y x 令y 0 可得x 1 令y 0 可得x 0 列表讨论如下 x0 0 1 1 1 y 0 y 0 y0极小 又 2 limlim 1arctan 1 xx f x x xx 且 lim lim 2arctan xx f xxx 故 yx 是斜渐近线 由对称性知 yx 亦是渐近线 函数有极小值 1 1 2 y 极 大值 1 1 2 y 0 0 为拐点 作图如上所示 3 解 函数的定义域为 1xR x 2 22 3 2 1 2 1 1 1 2 1 xxxx x yx xx y x 令 0y 得x 0 x 2 当 2 x 时 0 yf x 单调增加 当 2 1 x 时 0 yf x 单调减少 当 1 0 x 时 0 yf x 单调增加 故函数有极大值f 2 4 有极小值f 0 0 又 2 11 lim lim 1 xx x f x x 故x 1 为无穷型间断点且为铅直渐近线 又因 lim1 x f x x 且 2 lim lim1 1 xx x f xx x x 故曲线另有一斜渐近线y x 1 综上所述 曲线图形为 4 解 函数定义域为 2 2 1 1 2 2 1 e e2 241 x x yx yxx 令 0y 得x 1 令 0y 得 2 1 2 x 当 1 x 时 0 y 函数单调增加 当 1 x 时 0 y 曲线是凹的 当 22 1 1 22 x 时 0y g x 在 内单调增加 2222 44 ee2 1e ee 1 e 1e 1e cxcxcxcxcxcx cxcx AcAcAc gx 当x 0 时 0 gxg x 在 0 内是凸的 当x 在 0 内是凹的 当x 0 时 2 A g x 且 lim 0 lim xx g xg xA 故曲线有两条渐近线y 0 y A 且A为该种动物数量 在特定 环境中 最大值 即承载容量 如图 2 解 1e1e cxcx AA gxg xA 3 证明 1e1ee c x TcxcT AA y BB 取 e1 cT B 得 lnB T c 即曲线 1e cx A y B 是对g x 的图像沿水平方向作了 lnB T c 个单位的平移 26 解 32 4d 3d r VrArv t 2 ddd 4 ddd ddd 8 ddd VVr rv trt AAr r v trt 27 解 ddd ee ddd aa rr aa tt 28 解 2 2 cos 2 cossinsin2 xa yaa ddd 22cos sin 2sin2 ddd ddd 2 cos22cos ddd xx aa tt yy aa tt 29 解 方程 22 169400 xy 两边同时对t求导 得 dd 32180 dd xy xy tt 由 dd dd xy tt 得 16 1832 9 yxyx 代入椭圆方程得 2 9x 16 3 3 xy 即所求点为 1616 3 3 33 30 解 当水深为h时 横截面为 2 1 2 233 hh sh 体积为 2 22 12 124 3 33 h Vshhh dd 4 3 2 dd Vh h tt 当h 0 5m 时 31 d 3mmin d V t 故有 d 34 3 2 0 5 d h t 得 d3 d4 h t m3 min 1 31 解 设t小时后 人与船相距s公里 则 2222 2 4 8 0 2 800 04 d80 d 800 04 sttt st t t 且 1 20 20d 8 16 d6 t s t km h 1 32 解 ddd 236 ddd yyx xx txt 当x 2 时 d 6 212 d y t cm s 1 33 证明 如图 设在t时刻 人影的长度为ym 则 5 3 456 y yt 化简得 d 7280 40 40 d y ytyt t m min 1 即人影的长度的增长率为常值 34 解 y x 2 2 4 故抛物线顶点为 2 4 当x 2 时 0 2yy 故 2 3 2 2 1 y k y 35 解 sinh cosh yxyx 当x 0 时 0 1yy 故 23 2 1 1 y k y 36 解 cos sinyxyx 当 2 x 时 0 1yy 故 23 2 1 1