2014年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答.pdf

教 兹 竞 赛 l 富 黪 中学生数学 2 0 1 4 年 1 O月上 第 4 9 9期 高中 2 0 1 4年北京市中学生数学竞赛 高一年级复赛试题及 参考解答 一 填 空题 满分 4 O分 每 小题 8分 1 S z 表示 自然 数 z的 数 字 和 则 满 足 S S S z 一 2 0 1 4的 z 的 集 合 是 一 答 j 2 解 无论 自然 数 z 为何 值 z S z s s z 被 3 整除 而 2 0 1 4被 3除余 1 所 以等 式 不 能成立 因此解 集为 2 记 z 一5 x 6 0的解 集 为 P z 一2 a x n 一1 0的解 集 为 Q 已 知 PCQ 则 实 数 n 的取 值范 围是 答 2 a 3 解 由 x 一5 x 6 O 得 P一 2 3 由 z 2 a x 十n 一1 O得 Q一 zl a 一1 口 1 已知 P CQ 即 2 3 是 zl 口 一1 z n 1 的真子集 因此 a 一1 2且 3 n 4 1 解 得 2 3 即实数 a的取值 范围是 2 n 3 3 图 1 为 偶 函数 厂 的 图像 图 2为奇 函 数 g z 的 图 像 记 方 程 f f 一 0 厂 g z 0 g g 一0 g 厂 一0的 实 数 根 的个数 分 别 为 a b C d 则 a b c d 一 一 1 l I I 图 1 图 2 解 由图像可知 函数 Y 一 z 的值域为 一1 1 g z 的值域为 一2 2 方 程 厂 z 一0的根 为 0 z 三个 l l l 2 I 1 2 方程 g z 一0的根 为 0 z 三个 l z 一 l z 0 1 则方 程 厂 厂 z 一0的根 为方 程 0 或 z 一 或 厂 一z 2的根 因为函数 f x 的值域为 一1 1 且 l z I l l 1 2 所 以 方 程 f z 一 z 和 一 z 无 根 而 方程 厂 0有 3个 根 所 以方 程 厂 一0的根 的个 数 为 3 方程 g 一0的根 为方程 g z 一0或 g z 一 1 或 g z 一z 2的根 因为函数 g z 的值域 为 一2 2 且 i l J l 1 2 所 以方程 g 一 和g 各有 3个 根 同时 方程 g z 一0也 有 3个 根 所 以方程 厂 g 一0的根 的个 数为 9 同理 可得方程 g g Lz 一0和 g z 一0也 各有 9 个 根 所 以 n b f d一3 9 9 9 3 O 4 在 AB C 中 AB 7 AC一5 角 平 分 线 A D 与 中线 B M 相 交于点 P 则 一 解过 A 作 B M 的 平 行 线 交 c B 延 长 线 于 N 根据平 行 截割 定理 有Nt N 一 1 3 AP N B 3 图 P D一面 即 AP一 一 一 但 由于 AD 是 A 的平 分线 所 以 D 到 AB AC的距离 相等 因 此面D C 一 一 一 号 所以而AP一1 了 5一了1 2 网址 t i t 3 0 电 子 邮 箱 ni aj t 寸 位参 中学生 数学 2 0 1 4年 1 O月上 第 4 9 9 期 高中 5 设 集合 P一 1 2 3 2 0 1 4 A P 若 集合 A 中任 意两个 数 的差都不是 9 9的倍 数 且任意两个数的和也不是 9 9的倍数 则集合 A 中最 多含 有 个 元 素 解设 集合 B 一 9 9 1 i 9 9 2 i 9 9 2 O i i 一 0 1 2 3 4 B 一 9 9 1 9 9 2 J 9 9 1 9 J J 一3 5 3 6 9 8 任取 a b A 因为 集 合 A 中任 意 两 个 数 的 差都 不是 9 9的倍 数 所 以 a b不 同属 于集 合 B 或 B 中 再 由集 合 A 中 任 意 两个 数 的 和 也 不 是 9 9的倍 数 则 a b又不 是 集 合 M B B B B B B 中 的一 个 数 对 所 以集 合 A 中最 多 有 5 O个元 素 如在 集合 B B 一 B 中各取 一个 元 素 即可 二 满 分 1 0分 如 图 4 以 锐 角 三 角 形 AB C 的 B C 边 为直 径 的 圆分 别 交 边 AC AB于点 D 和 E 求 证 BE BA CD CA BD 证 明连 接 BD C E相 交 于 点H 则 B DC 一 CEB一 9 0 o 图 4 因此 BD c E 是 k AB C 的两条 高 线 H 是 ABC的垂心 连 接 AH 交 B C 于 点 F 则 AF 也 是 AB C的 高线 AF 上BC 易见 由 A E F C 四点 共 圆 A B F D 四点 共 圆 根 据 割线定 理 得 BE BA BF BC CD CA CF CB 得 BE BA CD C lA BF BC CF CB BC BF CF 一 BC BC BC 三 满分 1 0分 对 6 6的方 格 表 的方 格 中任 意排 布 的 1至 3 6的全 部整 数 每个方 格 只 有 一 个 数 证 明 在 表 中 的 某 行 里 存 在 这 样 两 个 相邻 的数 如 果 取 它 们 中 的较 小 者 作 为 二次 三 项式 z z q的 系 数 P 较 大 者 作 为 系数 q 那 么得 到 的一元 二 次方 程 z q 0具 有 两个 不 同的实 根 证 明如果 在 6 6的方 格 表 的一 行 中相 邻的这两个数都不小于 1 3 我们称这个相邻的 数 对为 好 数对 否 则 为不好 的数 对 下 面 我 们 证 明 对 6 6的方 格表 的方 格 中任 意 排布 的 1至 3 6的 全 部 整 数 这 样 的好 数 对 都 是 可 以找 到 的 为 此 我 们 将 表 中 的 每一 行 都 分 成 3对 整 表 髓 图 5 即分成 1 8对 则在 这 1 8对 中至 少有 6个 为 好 数 对 对 任 何好 数对 P q 其 中 0 也就 是一 元二 次 方程 p x q 一0具 有 两个 不 同的 实数 根 四 满 分1 0 分 求 满 足 不 等 式 组 f Z 3 y J 3 z 4 的 整 数 对 z I 5 x 7 y 2 0 解作 变量 替换 J u 2 x 3 y 或 者 I 一 3 x一 4 j 3 v 一 4 u 正 如 所 见 Y一 2 一 3 整 数 对 对 应 整 数 图6 f 况 0 有 形式 0 l 2 0 网址 Z X S S c b p t c n k i n e t o 3 1 o 电 子 邮 箱 zxss chin ajourna1 n et cn 数 鸶 竞 赛 0 富 黪 寸 毽泰学 教 学 竞 赛 富 中学生 数学 2 0 1 4年 1 O月上 第 4 9 9 期 高中 只需 求 出满 足 不 等 式 组 的整 数 对 坐 标 即可 满 足条 件 的全部 整 数 对 H 与 直 角 坐标 系 中AAO B 内和边 上 的所 有 整 点 坐标 为整数 的点 一 一对 应 在AABO的斜 边 AB 上 有 2 1个 整 点 而 AB 与 ABC 组 成 边 长 为 2 O 的 正 方 形 AOB C 它 包含 的整 点共 4 4 1个 从 中 除 去对 角 线 AB上 的点 得到 正方 形 的 一 半 包含 2 1 0 个 整点 即 AB O 中 包 含 的 整 点 个 数 是 2 1 2 1 0 2 3 1个 五 满 分 1 5分 已 知 AB C 中 A B C 1 2 4 三条 角平 分 线 分别 交 对 边 于 A B 和 C AB C的 内心 为 I 求 证 1 BB1 AB1 BC1 一 CCl I B1 一 I C CI CAl B 一 BC1 2 A B C 是等 腰 三角形 证 明 1 因为 A B C一1 2 4 所以 A 一 号 B 等 c 一 易 知 ABB 1 一 鲁 一 B AB B B1 一 A B CBC1 一 一 BCC1 Bc 一 CC1 I C B1一 等 一 I B1 C J B1一 c C A 一 一 一 c t 一 CA BI C 一 一 BC1 B 一 BC1 2 由角 平 分 线 定 理 得 BA1 一 AB 因 为 A B C 一1 2 4 易得 A B C I o 9 图7 AABC ABC1 C o o B1 I C 于 是有 AB BC BC BC CB CB1 A C B I 一 面一百一一C A 1 BA l CB卜 中 BC 1一 CCl A BC 一 ZB CC 7 BA 一 cB 所 以 A BC 1 ABl C C 1 因此 A C l B 1 C t 所 以 A B C 是等 腰 三角形 六 满分 1 5分 已知 厂 z 是定 义 在 实数 集 R上的函数 对任意的 z Y R 恒有 f x 厂 厂 q x f y 十 z 一1 求 厂 z 并计算 厂 丽 的值 解设函数 厂 z 的值域为 ACR 0 一 c 则 f A 对 于 lz 一0 可得 c 一L 厂 c c 1 所 以c o 令 z 一 得 0 一 z 厂 z 一1 即几 一 萼 将 代入 得 左 边 X 宇一 一 c 1 z 一2 x f y f z 一 2 2 一 号 一 厂 z 厂 一 掣 右 边 一 一 Y H 令 左 边 一 右 边 则 f z 厂 一 一 一 z