第四章 受弯截面弹塑性和过程分析.doc

第四章 受弯截面弹塑性和过程分析4.1 弹性分析4.1.1第一阶段（开裂前）（一）.基本方程1.平衡方程2.变形条件3.物理条件6个独立方程包含13个参数，即M，b，h，AS， ，E，ES，如果已知其中的任意7个，则可解出其余6个未知数。（二）中性轴位置将式（4-3）、（4-4）分别代入式（4-5）、（4-6）得：再将（4-7）、（4-8）代入（4-1）得：即：由式（4-9）即可求得x的值，也即确定了中性轴的位置。对于矩形截面，b为常数，则由式（4-9）可得：解得： 即： 式中： （4-10a）说明：在第阶段，中性轴位置与无关值略大于而接近于0.5，且偏于受拉区，若为纯砼截面，则=0， （三）、换算截面其中：按（4-10）式确定。（四）、弯矩曲率关系 （即内力与变形的关系）将（4-7）式、（4-8）式代入（4-2）式得：曲率的单位是：或者，且 ，为曲率半径。（五）、抗弯刚度 定义式： 将（4-14）式代入上式得：B的单位为： 或 （六）弯矩与应力的关系（）将式（4-14）变形得的表达式，再代入（4-7）式得：由物理条件，变形条件及（4-14）式得：4.1.2第阶段末（即将开裂） 在第阶段末，截面即将开裂，也就是说，受拉边缘的砼拉应力达到其抗拉强度，裂缝即将出现，此时的弯矩称为RC开裂弯矩，记为，可由式（4-16）确定：则 其中：由（4-10）式确定。4.1.3 第阶段（开裂后）（一）基本方程计算图式与第一阶段相比有所变化：（受拉区砼退出工作）（图）1、平衡条件2、变形条件 (平截面假定仍成立)3.物理条件 （线弹性本构关系）（二）、中性轴的位置将变形条件，物理条件代入（4-19）得：（消去）由式（4-21）即可求得中性轴的位置。对于矩形截面，b为常数，则由式（4-21）可得：注：仍为常数，与无关。由式（4-22）求得的式（4-10a）求得的，说明砼受拉区开裂时，中性轴突然上升，往受压区移动，使得减小，这是一个非常重要的物理现象。（三）、换算截面对于矩形截面，b为常数，则其中，按（4-22）确定。（四）、弯矩曲率关系（）、弯矩刚度关系（）、弯矩应力关系与前式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）相同，只不过式中应按式（4-24）计算。4.1.4 第阶段末（纵向钢筋达到屈服）由于，由式（4-17）得 其中：按式（4-21）计算。4.2 受弯截面弹塑性分析 平衡条件，变形条件与弹性分析时相同，物理关系不用虎克定律的线弹性模型，而采用与实验结果较为吻合的本构关系，即砼本构关系（拉、压）采用非线性模式（二次抛物线）。4.2.1 第阶段（开裂前）（一） 基本方程1平衡方程2相容条件3物理条件 a砼受压二次抛物线 b砼受拉二次抛物线c钢筋受拉（压）：（理想弹塑性）（二）、中性轴位置将变形（相容）条件代入物理条件得：压区砼：拉区砼：拉区钢筋： （4-30）再将式（4-28、4-29、4-30）代入式（4-1）得：上式为的一元三次方程，如已知材料性能、，几何尺寸b、h、，曲率，则可求解受压区高度。（三）、关系将变形条件代入物理条件，再代入第二个平衡方程式（4-2）得式中：由式（4-31）确定。由式（4-32）可知：为非线性关系。（四）抗弯刚度由，将式（4-32）代入该式得B不再是常数，与及有关，且为的非线性式。（五）、钢筋和砼的应力按（4-2830）进行计算。4.2.2 第阶段末（即将开裂）1、 曲率：2、 中性轴位置将式（4-31）类比变形，用代替式（4-31）中的，代替式（4-31）中的得：由式（4-35）可解得到。（迭代解一个一元三次方程）3、M可由式（4-32）变形改写得到，（用、代替，）3、 抗弯刚度B 4.2.3第阶段（开裂后）（不计中性轴以下受拉砼的作用）（一）基本方程1平衡方程2变形条件3物理条件 a受压区砼 ： b受拉钢筋：很显然，以上这些公式是将4.2.1第阶段的相应公式删去受拉区砼部分而得，同理可得下面的方程（关系）：（二）、中性轴的位置（三）、关系4.2.4 第阶段末（纵筋屈服）1、曲率：2、中性轴位置：将式（4-31）中用代替得：3、弯矩（纵筋屈服弯矩）4、抗弯刚度：4.2.5第阶段（纵筋屈服后）（一）基本方程1平衡方程2变形条件（只有砼）3物理条件 砼受压： 钢筋受拉：（二）、中性轴位置解出的一元三次方程。（二） 弯矩曲率关系（）4.2.6 第阶段末（砼压坏）1、曲率：2、中性轴位置：3、截面破坏时所承受的弯矩将式（4-51）代入（4-52），并整理得：如取：=0.002，=0.0033，则其中，4、抗弯刚度：4.3 受弯截面的延性概念：截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏，截面的变形能力。定义式：，即受弯截面的延性等于第阶段末与第阶段末的曲率的比值，为一无量纲的数。讨论：延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意义。（抗震的延性设计倒塌分析）4.4 受弯截面的塑性分析4.4.1 基本公式1、 物理条件受拉区钢筋：受压区砼：2、 平衡条件3、 中性轴位置由式（4-54）推得，或 将式（4-56）代入式（4-55）得4.5 塑性系数法（针对即将开裂截面）该法为另一种即将开裂时的简化计算方法。1、 方法原理：对受弯截面作弹性分析，然后乘以塑性系数，即得开裂弯矩。2、 公式： 按弹性分析得： 式中和分别按式（4-10）、（4-13）计算，则有由于式（4-18）没有考虑截面受拉的塑性，故按式（4-18）计算的值偏小，而实际的应乘以塑性系数，且式中：；按式（4-10）计算。则 对于矩形截面：一般可取=1.75例： 已知：=267mm，=2447930000mm4,=2.2,其余同例3.2。求：考虑塑性系数的。解： =1.752.210.5140.46 精确值： 误差：7.2% 可见塑性系数法具有一定的精度，且简便实用。作业：1、 将例3.2中的砼本构模型改为清华模式，对该轴心受压进行弹塑性分析，并与例3.2的结果（、）进行对比分析。已知条件：2、 已知某钢筋混凝土受弯构件，截面图如下所示。已知：，=2.0，=2.2，。（1） 假设砼与钢筋两种材料均为弹性，试求第、阶段的，的关系。（2） 如果已知材料的本构关系，按4.3.1的模型选用，其中：，=0.002，=2.2，=0.00015，