通信原理课件 第二章.ppt

1 第2章通信中的随机信号分析 2 1绪论2 2概率 随机变量及其分布2 3随机过程2 4平稳随机过程2 5高斯随机过程 正态随机过程 2 6窄带随机过程2 7白噪声过程2 8正弦波加窄带高斯过程2 9平稳随机过程通过系统的分析 2 2 1绪论 在实际生活中 信号可以分为这样两类 一类是在每个时刻信号都有确定的值 这种信号被称作确定信号 而另一类则在每个时刻信号的值是不确定的 这一类信号被称为随机信号或统计信号 是现实生活中更具普遍性的信号 通信系统中要传递的消息就属于这后一类的信号 因此 对随机信号及其分析方法的研究就成为通信系统学习中的重要内容 3 本章将在集中复习 学习概率 分布函数 随机变量 随机过程的基础上 重点介绍通信系统必备的随机信号分析的知识 为通信系统后续内容的学习打下牢固的基础 随机信号的随机不确定性常常表现在信号有 无的不确定 或者信号参数大小的不确定上 但是它们的这些随机不确定性都满足一定的统计规律 本章的重点就是研究这些规律 4 2 2概率 随机变量及其分布 2 2 1概率论的基本概念1 随机试验 样本空间 随机事件 1 随机试验满足以下三个条件的试验被称为随机试验E 简称试验 a在相同条件下可以重复进行 b每次试验的结果不止一个 但能事先明确试验所有可能的结果 c进行一次试验之前 不能确定会出现哪一个结果 5 2 样本空间由所有可能的试验结果构成的集合被称为该试验的样本空间 记作S 样本空间上的每个元素 被称为样本点或基本事件 3 随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生 而在大量重复试验中具有某种规律性的试验结果 称为随机事件 简称事件 6 2 概率 1 概率的公理化定义设E是一个随机试验 S为其样本空间 以E中所有事件组成的集合为定义域 对于其中的任一事件A 规定一个实数P A 如果P A 满足下列三个公理 则称P A 是事件A的概率 2 2 1 7 2 条件概率的定义设有两个随机事件A B 且P B 0 则 在给定B发生的条件下A发生的概率 记作P A B 定义为 2 2 2 8 3 概率的计算1 乘法公式 2 2 3 2 2 4 9 2 全概率公式若 A1 A2 An两两互斥 则对任一事件B 有 2 2 5 10 3 贝叶斯公式若 A1 A2 An两两互斥 则当时 有 2 2 6 11 4 事件的独立性定义若对任意的k 1 k n 任意 有则称事件A1 A2 An互相独立 简称独立 若P AB P A P B 则称事件A B独立 若事件A B相互独立 且P A 0 则P B A P B 反之亦然 2 2 7 12 2 2 2随机变量及其分布1 随机变量与分布函数 1 概念设随机试验E 样本空间S 在S上定义一个单值实函数X X S 如对 x R 事件 X x X x 总有确定的概率 则称X为随机变量 称函数F x P X x 为随机变量X的分布函数 13 2 分布函数F x 的主要性质1 F x 是一个不减函数 对于任意实数x1 x2 x1 x2 有2 2 2 8 2 2 9 14 2 离散型随机变量的概率分布 1 概念若随机变量X的全部可能取值为有限个或可列无限多个 就称X为离散型随机变量 其概率分布 或称分布律 为PX 可以用表格表示为 15 2 离散型随机变量分布律的基本性质 2 2 11 2 2 12 2 2 10 16 3 连续型随机变量的概率分布 1 概念若对随机变量X的分布函数F x 存在非负可积函数f x 使得对任意实数x 有成立 则称X为连续型随机变量 函数f x 称为X的概率密度函数 17 2 X的概率密度函数f x 的主要性质 2 2 13 2 2 14 2 2 15 2 2 16 18 2 3随机过程 2 3 1随机过程的概念随机过程定义一 设E是随机试验 样本空间S s 参数集T 如果对于每一个s S 总有一个确知的时间函数 s t 与之对应 这样对于所有的s S 就可以得到一族时间t的函数 称 s t t T 为随机过程 随机过程定义二 设E是随机试验 样本空间S s 参数集T 如果对于每一个t T 总有一个定义在S上的随机变量 s t 与之对应 称 s t t T 为随机过程 19 在不产生混淆的情况下 s t t T 简记为 t 20 例2 3 1考察信号 t acos t 其中 a 是常数 t 是在 0 2 上均匀分布的随机变量 解 对某一时刻t t1 t1 acos t1 是一随机变量 取若干时刻 则得到一族随机变量 如果在 0 2 内随机取一个数 1 就可以得到这个随机过程的一个样本函数 1 t acos t 其中t 取若干个相位 则得到一族样本函数 所以 t 是一随机过程 一般称该信号为随机相位正弦波 21 2 3 2随机过程的概率分布 随机过程 t 的一维分布函数 就是随机过程 t 在t1时刻所对应的随机变量的分布函数 随机过程 t 的一维概率密度函数 用一维分布函数来表述随机过程的统计特性是极不充分的 通常需观察足够多的时刻 这就要考虑随机过程 t 的n维分布函数 2 3 1 2 3 2 22 2 3 3 2 3 4 23 2 3 3随机过程的数字特征 1 随机过程 t 的数学期望E t 注 a t 是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值 因此 随机过程的数学期望也被称为随机过程的均值 它表示了随机过程 t 在每个时刻的波动中心 反映了随机过程的一维统计特性 一般情况下 它是时间t的函数 2 3 5 24 2 随机过程 t 的方差D t 记作 其中 是随即过程 t 的方均值 2 3 6 2 3 7 25 注 是随机过程的所有样本函数在时刻t与均值偏离量的平方的统计平均值 它表示了随机过程 t 的各个样本对于其数学期望的偏离程度 反映的是随机过程的一维统计特性 且总是正数 一般情况下 它是时间的函数 随机过程 t 的数学期望E t 方均值E 2 t 和方差分别表示了随机信号的直流分量 平均功率和交流平均功率 它们之间的关系如下 2 3 8 26 3 自协方差函数B t1 t2 自协方差函数描述了随机过程 t 在任意两个时刻t1和t2 相对于均值的起伏量之间的相关程度 随机过程 t 的自协方差函数定义为其中 f2 x1 x2 t1 t2 是随机过程 t 的二维概率密度函数 2 3 9 27 4 自相关函数R t1 t2 设 t1 t2 是随机过程 t 在任意两个时刻t1和t2上的两个随机变量 其相应的二维概率密度函数为f2 x1 x2 t1 t2 随机过程的自相关函数为 2 3 10 28 注 自协方差函数和自相关函数体现了随机过程的二维统计特性 自协方差函数和自相关函数二者有如下关系 当a t1 或a t2 为零时 有 B t1 t2 R t1 t2 若t2 t1 则R t1 t2 可以表示为R t1 t1 即自相关函数与时间的起点t1和时间间隔 有关 当t1 t2 t时 有 2 3 11 29 5 相关系数 t1 t2 随机过程 t 的相关系数为 注 随机过程 t 的相关系数表示在任意两个时刻t1 t2上的两个随机变量 t1 t2 的相关程度 若 t1 t2 0 则B t1 t2 0 表明 t1 t2 不相关 2 3 12 30 6 互协方差函数B t1 t2 和互相关函数R t1 t2 随机过程 t 与 t 的互协方差函数定义为 随机过程 t 与 t 的互相关函数定义为 2 3 13 2 3 14 31 注 随机过程 t 与 t 的互协方差函数表明的是 在任意两个时刻 二过程起伏值之间的相关性 而互相关函数表明了在任意两个时刻 二过程之间的相关性 它们二者的关系可以用下式表示 2 3 15 32 例2 3 2有一随机信号为 t Vcos w0t 其中w0是常数 V是标准正态分布的随机变量 试求该随机信号的均值 方差 自相关函数和自协方差函数 解 因为V是标准正态分布 所以V的均值为E V 0 方差为D V 1 由式 2 3 8 可以求出随机变量V的均方值 E V2 D V E2 V 1随机信号的数学期望E t 为 a t D t D Vcos w0t cos2 w0t D V cos2 w0t 33 因cos w0t 是非随机变量 所以 在做统计平均运算时应将其当作常数 34 2 4平稳随机过程 平稳随机过程是随机过程中非常重要的过程之一 这不仅表现在它具有许多突出的特性上 还表现在 它提供了一类分析问题的方法 许多非平稳随机过程的分析可以化为局部平稳过程来分析 而实际中我们关心的通信信号正是采用了这样的分析方法和思路 35 2 4 1平稳随机过程的基本概念及统计特性 1 平稳随机过程一个随机过程 t 如果在时域上时移 而其统计特性不变 则称之为严格的平稳随机过程 或狭义平稳过程 以概率密度函数来表示 其平稳性可描述为 所以 平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而改变 例如 今天我们测得某个随机过程的统计特性 与上次 可能是一个月前 测得的统计特性是一样的 2 4 1 36 2 平稳随机过程概率密度函数的基本性质1 平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关2 平稳随机过程的二维概率密度函数与时间的起点无关 只与时间间隔 有关 2 4 2 2 4 3 37 3 平稳随机过程的数字特征1 数学期望及方差平稳随机过程 t 的数学期望 方差和均方值都与时间t无关 是常数 这是因为 数学期望 方差和均方值反映的都是随机过程的一维统计特性 而平稳随机过程 t 的一维概率密度函数由式 2 4 2 可知与时间t无关 2 4 6 2 4 5 2 4 4 38 2 自相关函数平稳随机过程 t 的自相关函数只与时间间隔 有关 与时间的起点无关 即这是因为 平稳随机过程 t 的二维概率密度函数由式 2 4 3 可知与时间的起点无关 只与时间间隔 有关 2 4 7 39 3 协方差函数平稳随机过程 t 的协方差函数只与时间间隔 有关 与时间的起点无关 即 2 4 8 40 例2 4 1有一随机相位信号为 t Asin 0t 其中A 0是常数 是在 0 2 上均匀分布的随机变量 试求该随机信号的均值 方差 相关函数和协方差函数 解 依题意 的概率密度为 由随机过程数字特征的定义可求得 41 随机信号的数学期望E t 为 随机信号的方差D t 为 42 随机信号的自相关函数为R t1 t2 随机信号的协方差函数为 43 4 广义平稳随机过程若随机过程的数学期望和方差与时间t无关 分别为a及 2 且其自相关函数只与时间间隔 有关 即R t1 t2 R t1 t2 R 则称该随机过程为广义平稳随机过程 也称宽平稳随机过程 44 一个严平稳随机过程必定是宽平稳随机过程 但反过来 一个宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程 可也有例外 如正态随机过程 因为后面我们将看到 正态随机过程的维概率密度函数是由均值和协方差函数完全确定的 因而 如果其均值和协方差函数不随时间平移而变化 其n维概率密度函数也将不随时间的变化而变化 所以 一个宽平稳的正态随机过程也是严平稳的随机过程 以后如果没有特别指出 我们所说的平稳过程均为宽平稳随机过程 45 5 平稳随机过程的各态历经性在附加一定的补充条件后 对平稳随机过程的一个样本函数观察足够长的时间 对该样本函数取时间平均 得到的时间平均特性从概率上趋于统计平均 对于这样的平稳随机过程我们就说它具有各态历经性 或称遍历性 平稳随机过程的各态历经性可以理解为 平稳随机过程的各个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态 因此从随机过程的任何一个样本函数都能得到随机过程的全部统计特性 即可以用其任意一次的试验样本函数的时间平均代替其统计平均 从而方便的得到随机过程的统计特性 46 设平稳遍历随机过程 t 的一次试验样本函数为x t 则其统计平均可以用如下时间平均来代替 平稳随机过程 t 数学期望的时间平均表示为 与时间无关 平稳随机过程方差的时间平均为 与时间无关 平稳随机过程自相关函数的时间平均为 与时间的起点无关 2 4 9 2 4 10 2 4 11 47 对于平稳遍历随机过程 t 则有 必须指出 只有平稳随机过程才具有各态历经性 但并不是所有的平稳过程都具有各态历经性 平稳过程的各态历经性 大大简化了实际试验和计算 2 4 12 48 2 4 2平稳随机过程相关函数的性质平稳随机过程的相关函数中包含了随机过程的一 二阶统计特性 而随机过程的一 二阶统计特性有明确的物理意义 正是我们关注的焦点 因此 我们非常关心平稳随机过程相关函数的特性 平稳随机过程的相关函数的性质如下 49 1 它是随机信号的方均值 表示了信号在1欧姆电阻上的平均功率 2 它是随机信号在1欧姆电阻上的直流平均功率 在这里我们认为当t 时 t 和 t 统计独立 2 4 13 2 4 14 50 3 随机信号的方差是它在1欧姆电阻上的交流平均功率 它等于平均功率减去直流平均功率 4 说明平稳随机过程的自相关函数有上界 在 0取得最大值 5 R R 实平稳随机过程的自相关函数是一个偶函数 2 4 15 2 4 16 2 4 17 51 2 4 3平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1 平稳随机过程的功率谱密度我们知道确定功率信号s t 的功率谱密度函数Ps w 可以表示为 其中 称作s t 的截断信号 2 4 18 52 设随机过程 t 的功率谱密度为P fT t 是过程某一实现的截断函数 且有fT t FT 于是 平稳随机过程 t 的功率谱密度P 为有了随机过程 t 的功率谱密度为P 则随机过程 t 的平均功率P 可表示为 2 平稳随机过程的功率谱密度P 与其自相关函数R 互为傅里叶变换与反变换 2 4 19 53 这就是著名的维纳 辛钦定理 它是分析随机信号的最重要 最基本的定理之一 注意在上面的推导中用到平稳随机过程的自相关函数与时间的间隔有关 与时间的起点无关的性质 对于非平稳过程的功率密度谱 也有类似的结论 感兴趣的同学可以阅读其它相关资料 54 例2 4 2设平稳随机过程 t 的自相关函数为 求其功率谱密度函数P 解 依据平稳随机过程的性质 可以求出该过程的功率谱密度函数P 为 55 2 5高斯随机过程在电子系统中遇到最多的是高斯随机过程 例如 电阻的热噪声 半导体器件中的散弹噪声等 加之高斯过程的一些特性 使其便于数学分析 因此在实际中 它常作为噪声过程的数学模型 高斯过程将是以后各章研究的主要随机过程 下面我们就介绍该过程的概念及性质 56 2 5 1高斯随机过程的一般概念有一随机过程 t 如果其n维概率分布符合高斯分布 则称它为高斯随机过程 也称为正态随机过程 高斯过程的n维联合概率密度函数可表示为 2 5 1 57 其中 是随机过程在tk时刻对应的随机变量 tk 的数学期望 是随机过程在t时刻对应的随机变量 tk 的方差 是随机过程的归一化协方差矩阵的行列式 B Jk为行列式 B 中元素的代数余子式 bjk是归一化协方差函数 2 5 2 58 2 5 2高斯过程的重要性质 1 高斯过程 t 的全部统计特性由它的一阶 均值 方差 和二阶 协方差函数 统计特性完全确定 2 高斯过程 t 如果是宽平稳的话 也将是严平稳过程 3 如果对高斯过程 在n个不同时刻t1 t2 tn进行采样 所得一组n个随机变量 t1 t2 tn两两之间互不相关 则这些随机变量也是相互独立的 59 上式表明 若高斯随机过程的随机变量之间互不相关 则它们之间互相统计独立 其n维联合概率密度函数等于n个一维高斯概率密度函数之积 对于高斯过程来说 不相关与独立是等价的 该结论可推广到多个高斯过程的情况去 如两个高斯过程不相关 则它们也是相互独立的 4 高斯过程经过线性变换仍是高斯过程 60 例2 5 1随机过程 t Acos 0t Bsin 0t 其中 0是常量 A B是两个互相独立的高斯随机变量 它们有 E A 0 E B 0 E A2 E B2 2 试求此过程的自相关函数和一维概率密度函数 解 依题意以及高斯过程经过线性变换仍是高斯过程的性质可知 随机过程 t 也是高斯过程 因此要求出该过程的均值 方差和协方差函数 61 高斯随机过程 t 的均值 高斯随机过程 t 的相关函数 1 2 62 由于 A B是两个互相独立的高斯随机变量 所以有 E AB E A E B 代入 2 式由 1 3 式可知 该高斯过程是一个宽平稳过程 也即严平稳过程 3 63 由 3 式可以求出该过程的方差高斯随机过程 t 的一维概率密度函数为 4 64 2 5 3高斯过程的一维统计特性 1 高斯过程在时间得到一随机变量 t 其概率密度函数为 它是高斯过程的一维统计特性 其中a 2 分别表示该随机变量的均值和方差 是常数 f x 如图2 5 1所示 2 5 4 65 一维概率密度函数具有以下特性 66 2 高斯过程在时间t得到一随机变量 t 的分布函数F x 式中 是概率积分函数 其定义如下 2 5 8 2 5 9 67 3 用误差函数或误差互补函数表示分布函数误差函数erf定义如下误差互补函数erfc定义如下 2 5 10 2 5 11 2 5 12 2 5 13 68 例2 5 2有一高斯平稳过程 均值是0 相关函数为 试求在时刻t1 随机变量 t1 取值大于0 5的概率 解 69 2 6窄带随机过程通信系统中遇到的宽带和窄带随机过程 是依据它们的功率谱密度来划分的 前者的功率谱密度占有较宽的频率带宽 并往往从零频或很低频率就开始分布 而后者的功率谱密度以远远大于零频率的 0为中心 占据的频带宽度 满足 0 是通信系统中常见的随机信号 70 一 窄带随机过程1 定义 一个平稳随机过程 t 若其功率谱密度P 满足 而且 带宽 满足 0 则称该过程为窄带随机过程 如图2 6 1所示 2 6 1 71 72 2 窄带随机过程 t 的表示方法 1 准正弦表示式 t Z t cos 0t t 其中 Z t t 分别是窄带过程的包络和相位 它们都是相对于来说的慢变化的限带随机过程 2 6 2 73 2 莱斯表示式 分别称作随机过程 t 的同相分量和正交分量 它们都是相对于 0来说的慢变化的限带随机过程 2 6 3 2 6 5 2 6 4 74 3 均值为零 方差为 2的平稳高斯窄带随机过程的统计特性 1 均值为零 方差为 2的平稳高斯窄带随机过程 其同相与正交随机过程X t Y t 的均值也为零 方差也为 2 2 平稳高斯窄带随机过程的同相与正交分量X t Y t 也是平稳高斯过程 3 平稳高斯窄带随机过程的同相与正交分量X t Y t 在同一时刻的取值是不相关的 也即相互独立的随机变量 75 4 现在我们可以得到零均值 2方差的平稳高斯随机过程相互独立的X t Y t 联合概率密度函数f x y 为 5 依据X t Y t 的联合概率密度函数f x y 求解高斯窄带随机过程准正弦表示式中随机包络Z t 和随机相位 t 过程的统计特性 随机包络Z t 和随机相位 t 的联合概率密度函数为 2 6 21 2 6 22 76 2 6 23 77 将 2 6 23 代入式 2 6 22 可以求得随机包络Z t 和随机相位 t 的联合概率密度函数为 注意 因为Z t 是包络过程 所以应有z 0 而 在 0 2 区间上取值 6 依据Z t t 的联合概率密度函数f z 求解边际概率密度f z 和f 2 6 24 2 6 25 78 由式 2 6 25 可以看出 包络过程的一维统计特性服从瑞利分布 由 2 6 26 式可以看出 相位过程的一维统计特性是在 0 2 区间上的均匀分布 由 2 6 25 式和 2 6 26 式可以看出 有 因此 在同一时刻得到的包络随机变量和相位随机变量统计独立 2 6 26 79 总结以上我们对平稳高斯窄带随机过程的分析 可以得到如下的结论 均值为零 方差为的平稳高斯窄带随机过程 其同相分量和正交分量是平稳高斯随机过程 而且均值都为零 方差都为 在同一时刻 得到的同相和正交随机变量相互独立 平稳高斯窄带随机过程的随机包络过程的一维统计特性服从瑞利分布 随机相位过程的一维统计特性服从均匀分布 在同一时刻得到的包络随机变量和相位随机变量统计独立 80 2 7白噪声过程 2 7 1理想白噪声理想白噪声是宽带随机过程的一个典型例子 在理论分析中有极其重要的作用 它常常作为信道噪声的数学模型 其定义如下 随机过程的功率谱密度Pn 在整个频域内都是大于零的正常数的噪声过程称为白噪声 即 Pn n0 2 2 7 1 81 其中 n0是正常数 功率谱密度的单位是 瓦 弧度或瓦 赫兹 如图2 7 1 a 所示 在式 2 7 1 里 我们给出的是双边功率谱密度 它的频率范围从 到 如果按单边定义功率谱密度 则应为 pn n00 2 7 2 82 由平稳随机过程功率谱密度与其自相关函数的关系 白噪声的自相关函数R 为 可见 白噪声只有在 0时才相关 当均值为零时 它在任意两个不同时刻的随机变量均不相关 图2 7 1给出白噪声自相关函数R 和功率谱密度函数的图形 2 7 3 83 84 实际中是不存在理想的白噪声的 因为实际系统的频带总是有限的 但一般来说 如果噪声的功率谱在比使用频带宽的多的范围上保持常数 我们仍可以把它当作白噪声来处理 85 2 7 2带限白噪声在通信系统中 传输系统的带宽是有限的 当白噪声信号通过低通滤波器时 通带里的频率成分得到了输出 阻带里的频率成分受到了衰减 白噪声的输出功率谱p 将不再是一条直线 如图2 7 2所示 这样的噪声被称为频带受限的噪声 1 带限白噪声的等效带宽一个带限噪声的功率谱密度函数为p 如图2 7 2所示 其等效噪声带宽为 2 7 4 86 其中 pmax是p 的最大幅度 87 等效噪声带宽Bn的含义是 白噪声通过带宽为Bn的理想低通滤波器的平均功率等于白噪声通过实际低通滤波器的平均功率 而在等效噪声带宽Bn里 噪声的功率谱密度保持常数pmax 就像白噪声在整个频带上保持常数一样 因此也称其为带限白噪声 有了这样的等效 我们可以方便的求解噪声平均功率N BnPmax Bnn0 并依此来计算信噪比 用以评价噪声的影响 我们也将具有图2 7 2中虚线所示的功率谱密度的带限噪声称为理想带限白噪声 88 2 理想带限白噪声的自相关函数R 设理想带限白噪声的功率谱密度函数p 如图2 7 3 b 所示 由平稳随机过程功率谱密度函数与其自相关函数的关系 带限白噪声的自相关函数为 2 7 5 89 由 2 7 5 式可以看出 在 k Bn k 1 2 时 R 0 这表明 理想带限白噪声波形以 Bn等间隔采样时 各样值间是互不相关的随机变量 注意这里的不相关隐含着平稳理想带限白噪声均值为零的条件 由 2 7 5 式可得理想带限白噪声的自相关函数R 的波形如图2 7 3 a 所示 90 2 7 3带通白噪声在通信系统中 当白噪声信号通过带通系统时 各频率成分在通带和阻带里受到了不同的处理 噪声的输出功率谱密度函数不再是一条直线 如图2 7 4所示 这样的噪声被称为带通型的噪声 1 带通白噪声的等效带宽一个带通噪声的功率谱密度函数为p 如图2 7 4所示 c为中心频率 则等效噪声带宽Bn为 2 7 6 91 其中pmax是p 的最大幅度 92 等效噪声带宽Bn的含义是 白噪声通过Bn带宽的理想带通滤波器后的平均功率等于白噪声通过实际带通滤波器的平均功率 而在等效噪声带宽Bn里 噪声的功率谱密度保持常数pmax 就像白噪声在整个频带上保持常数一样 因此也称其为带通型白噪声 同样 我们也称具有图2 7 4中虚线所示的功率谱密度函数的噪声为理想带通白噪声 93 2 理想带通白噪声的自相函数R 设理想带通白噪声的功率谱密度函数p 如图2 7 5 a 所示 由平稳随机过程功率谱密度函数与其自相关函数的关系 带通白噪声的自相关函数R 为 2 7 7 94 由式 2 7 7 可以看出 在 2k Bn k 1 2 或 m c 2 c m 0 1 2 时 R 0 这表明 理想带限白噪声波形在抽样满足上述条件时抽得的样值是互不相关的随机变量 且它的自相关函数R 是包络为的幅度调制信号 载波频率为 c 理想带限白噪声的自相关函数R 的波形如图2 7 5 b 所示 95 96 2 9平稳随机过程通过系统的分析 平稳随机过程通过系统后 其输出也是一个随机过程 如果已知输入过程的统计特性和系统特性 那么输出过程的统计特性如何 要得到答案 显然是一个非常困难的事情 下面我们就两类在通信系统中常见的系统 进行分析 97 2 9 1平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程X t 通过单位冲击响应为h t 的线性系统后 其输出仍是随机过程Y t 如图2 9 1 就一次试验而言 输入x t 和输出y t 均为确知信号 它们之间应满足卷积关系 2 9 1 98 由随机过程的概念可知 所有试验样本的集合 yi t i 1 2 就是输出随机过程Y t 若每次试验式 2 9 1 都存在 则在均方意义下 随机输出过程Y t 等于输入过程X t 与系统单位冲击响应h t 的卷积 2 9 2 99 1 输出随机过程的数学