《复变函数与积分变换》辅导资料七.doc

复变函数与积分变换辅导资料七主 题：第三章 复变函数的积分13节学习时间：2012年11月12日11月18日内 容：在复变函数中，积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。本周首先给出复变函数积分的概念、性质及其计算法，其次介绍关于解析函数积分的柯西积分定理（柯西古萨定理），并将柯西积分定理从单连通区域推广到多连通区域，从而得到复合闭路定理。柯西积分定理和复合闭路定理是探讨解析函数性质的理论基础。在以后的章节中，直接或间接地经常要用到它们，所以我们要透彻地理解和熟练地掌握。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、理解复变函数积分的定义及性质2、熟练掌握复变函数积分的计算3、深刻理解柯西古萨定理4、了解复合闭路定理的解析性质、运算性质基本概念：复变函数积分知识点：复变函数积分的计算、柯西古萨定理、复合闭路定理第一节、复变函数积分的概念（要求达到“领会”层次）一、积分的定义定义：设函数在区域D内有定义，C是区域D内一条以A为起点B为终点的一条光滑有向曲线。把曲线C任意分成n个小弧段，设分点为，在每个小弧段上任取一点，并作和式。其中。记是所有小弧段弧长的最大值。当时，如果不论对C的分法及的取法如何，都有唯一的极限，那么称函数在C上可积，并称此极限值为函数在曲线上的积分，记作（如下图）。沿C的负方向（由点B到点A）的积分记为。若C为闭曲线，则将积分记为，此时C的正方向取为逆时针方向。显然，当C取轴上的一段，而为实函数时，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。定理1：设C是复平面上光滑曲线，函数在C上连续，则积分存在，并且利用上式还可将复积分化为定积分来计算，设C的参数方程为，则有典型例题：例1、计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段。解：此直线方程可写作或在C上，于是因易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以的值，不论是对怎样的连接原点到3+4i的曲线，都等于。例2、计算积分，其中C为以为圆心，r为半径的正向圆周（如下图），n为整数。解：圆周C的方程可表示为时，积分结果为；时，积分结果为因此此例的结果很重要，以后经常要用到。以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点。二、复变函数积分的性质设及在简单曲线C上连续，则有1、2、为复常数3、4、5、设曲线C的长度为L，函数在C上满足，则第二节、柯西古萨基本定理（要求达到“简单应用”层次）定理2：设G为复平面上的单连通区域，C为G内的任意一条简单闭曲线（如下图），若在G内解析，则。上述定理称为积分基本定理，有常称作柯西-古萨基本定理。上述定理揭示了解析函数的一个深刻性质，即解析函数沿其解析区域内的任意一条简单闭曲线的积分为零，亦即解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关。典型例题：例3、计算积分解：因为均在复平面上解析，所以，它们的和在一包含积分路径的单连通区域G内解析，而积分路径是简单闭曲线，所以，由柯西-古萨基本定理得定理3：设在单连通区域D内解析，与为D内任意两点，与为D内连接与的任意两条简单曲线（如下图），则典型例题：例4、计算积分，其中C是圆周的下半圆周，z从-2到0。解：由于被积函数在z平面上解析，故积分与路径无关，取为实轴上从-2到0的直线，由定理3，有第三节、基本定理的推广复合闭路定理（要求达到“简单应用”层次）定理4：设与是两条简单闭曲线，在内部，在由与所围成的多连通区域D内解析，在闭区域上连续（如下图），则定理5（复合闭路定理）：设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边